登录
15. (★★)$2^{615}$ 个位上的数字是 【 】
A.2
B.4
C.6
D.8
A.2
B.4
C.6
D.8
答案
D
解析
【分析】
要确定$2^{615}$个位上的数字，不需要计算完整的乘积，只需观察2的幂的个位数字的变化规律即可。首先计算2的低次幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数615除以周期，根据余数就能对应找到$2^{615}$的个位数字。
【解析】
我们先列举2的正整数次幂的个位数字，寻找规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字回到2，和$2^1$的个位数字相同。
由此可得，2的幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。
接下来计算615除以4的余数：$615÷4=153······3$，即余数为3。
余数为3，说明$2^{615}$的个位数字对应周期里的第3个数字，也就是8。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方；数字周期规律
【点评】
本题是乘方相关的规律探究类典型题，解题核心是先找到底数幂的个位数字的循环周期，再结合余数判定结果，熟练掌握这类规律的探究方法可以快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
要确定$2^{615}$个位上的数字，不需要计算完整的乘积，只需观察2的幂的个位数字的变化规律即可。首先计算2的低次幂的个位数字，找到其循环周期，再用指数615除以周期，根据余数就能对应找到$2^{615}$的个位数字。
【解析】
我们先列举2的正整数次幂的个位数字，寻找规律：
$2^1=2$，个位数字是2；
$2^2=4$，个位数字是4；
$2^3=8$，个位数字是8；
$2^4=16$，个位数字是6；
$2^5=32$，个位数字回到2，和$2^1$的个位数字相同。
由此可得，2的幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环，周期长度为4。
接下来计算615除以4的余数：$615÷4=153······3$，即余数为3。
余数为3，说明$2^{615}$的个位数字对应周期里的第3个数字，也就是8。
【答案】
D
【知识点】
有理数的乘方；数字周期规律
【点评】
本题是乘方相关的规律探究类典型题，解题核心是先找到底数幂的个位数字的循环周期，再结合余数判定结果，熟练掌握这类规律的探究方法可以快速解决同类型题目。
【难度系数】
0.7
16. (★★★)观察下面三行数：
2,-4,8,-16,32,-64,…;①
-1,2,-4,8,-16,32,…;②
3,-3,9,-15,33,-63,…. ③
(1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？
(2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
(3)取每行数的第9个数,计算这三个数的和.
2,-4,8,-16,32,-64,…;①
-1,2,-4,8,-16,32,…;②
3,-3,9,-15,33,-63,…. ③
(1)第①行中的数可以看成按什么规律排列？
(2)第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？
(3)取每行数的第9个数,计算这三个数的和.
答案
解：
(1) 第①行的数，绝对值依次为$2,2^2,2^3,2^4,\dots$，奇数位置的数为正，偶数位置的数为负，后一个数是前一个数的$-2$倍，第$n$个数可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$（$n$为正整数）。
(2) 第②行的每个数是第①行对应位置的数乘$-\frac{1}{2}$得到的；
第③行的每个数是第①行对应位置的数加$1$得到的。
(3) 第①行的第9个数为$2^9=512$，
第②行的第9个数为$512×(-\frac{1}{2})=-256$，
第③行的第9个数为$512+1=513$，
这三个数的和为$512+(-256)+513=769$。
(1) 第①行的数，绝对值依次为$2,2^2,2^3,2^4,\dots$，奇数位置的数为正，偶数位置的数为负，后一个数是前一个数的$-2$倍，第$n$个数可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$（$n$为正整数）。
(2) 第②行的每个数是第①行对应位置的数乘$-\frac{1}{2}$得到的；
第③行的每个数是第①行对应位置的数加$1$得到的。
(3) 第①行的第9个数为$2^9=512$，
第②行的第9个数为$512×(-\frac{1}{2})=-256$，
第③行的第9个数为$512+1=513$，
这三个数的和为$512+(-256)+513=769$。
解析
【分析】
解题时按三个小问逐步推导：
1. 解决第(1)问：分别从绝对值和符号两部分观察第①行的数，绝对值都是2的正整数次幂，符号呈现奇数位为正、偶数位为负的交替规律，综合两部分特征即可得到排列规律。
2. 解决第(2)问：将第②、③行的数与第①行同位置的数一一对比，通过简单的乘、加运算即可找到两行数和第①行数的对应关系。
3. 解决第(3)问：先根据第(1)问的规律求出第①行第9个数，再结合第(2)问的对应关系分别求出第②、③行的第9个数，最后计算三个数的和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：绝对值依次为$2,2^2,2^3,2^4,\dots$，即第n个数的绝对值为$2^n$；符号上奇数位置的数为正，偶数位置的数为负，后一个数是前一个数的$-2$倍，因此第$n$个数可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$（$n$为正整数）。
(2) 对比同位置的数可得：
第②行的每个数是第①行对应位置的数乘$-\frac{1}{2}$得到的；
第③行的每个数是第①行对应位置的数加$1$得到的。
(3) 第①行的第9个数为$(-1)^{9+1}·2^9=2^9=512$，
第②行的第9个数为$512×(-\frac{1}{2})=-256$，
第③行的第9个数为$512+1=513$，
这三个数的和为$512+(-256)+513=769$。
【答案】
(1) 第n个数为$(-1)^{n+1}·2^n$（n为正整数），规律为后一个数是前一个数的$-2$倍，绝对值为2的对应次幂，奇数位为正、偶数位为负；
(2) 第②行每个数是第①行对应位置数乘$-\frac{1}{2}$得到，第③行每个数是第①行对应位置数加1得到；
(3) $769$
【知识点】
有理数乘方，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是数字规律探究类的典型习题，需要学生从符号、数值两部分归纳数列特征，同时考察不同数列之间关联的分析能力，以及有理数的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时按三个小问逐步推导：
1. 解决第(1)问：分别从绝对值和符号两部分观察第①行的数，绝对值都是2的正整数次幂，符号呈现奇数位为正、偶数位为负的交替规律，综合两部分特征即可得到排列规律。
2. 解决第(2)问：将第②、③行的数与第①行同位置的数一一对比，通过简单的乘、加运算即可找到两行数和第①行数的对应关系。
3. 解决第(3)问：先根据第(1)问的规律求出第①行第9个数，再结合第(2)问的对应关系分别求出第②、③行的第9个数，最后计算三个数的和即可。
【解析】
(1) 观察第①行的数：绝对值依次为$2,2^2,2^3,2^4,\dots$，即第n个数的绝对值为$2^n$；符号上奇数位置的数为正，偶数位置的数为负，后一个数是前一个数的$-2$倍，因此第$n$个数可表示为$(-1)^{n+1}· 2^n$（$n$为正整数）。
(2) 对比同位置的数可得：
第②行的每个数是第①行对应位置的数乘$-\frac{1}{2}$得到的；
第③行的每个数是第①行对应位置的数加$1$得到的。
(3) 第①行的第9个数为$(-1)^{9+1}·2^9=2^9=512$，
第②行的第9个数为$512×(-\frac{1}{2})=-256$，
第③行的第9个数为$512+1=513$，
这三个数的和为$512+(-256)+513=769$。
【答案】
(1) 第n个数为$(-1)^{n+1}·2^n$（n为正整数），规律为后一个数是前一个数的$-2$倍，绝对值为2的对应次幂，奇数位为正、偶数位为负；
(2) 第②行每个数是第①行对应位置数乘$-\frac{1}{2}$得到，第③行每个数是第①行对应位置数加1得到；
(3) $769$
【知识点】
有理数乘方，数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是数字规律探究类的典型习题，需要学生从符号、数值两部分归纳数列特征，同时考察不同数列之间关联的分析能力，以及有理数的基础运算能力。
【难度系数】
0.7
17. (★★★)概念学习规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如$2÷2÷2$,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$等.类比有理数的乘方,我们把$2÷2÷2$记作$2^{③}$,读作“2的圈3次方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)^{④}$,读作“-3的圈4次方”.一般地,把$a÷a÷a÷…÷a$($n$个$a$,$a≠0$)记作$a^{ⓝ}$,读作“$a$的圈$n$次方”.
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑤}=$;
(2)将下列运算结果直接写成幂的形式:$5^{⑥}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=$;
(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$($n≥3$且$n$为整数)次方写成幂的形式为;
(4)算一算:$4^2×(-\dfrac{1}{3})^{④}$.
(1)直接写出计算结果:$2^{③}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑤}=$;
(2)将下列运算结果直接写成幂的形式:$5^{⑥}=$, $(-\dfrac{1}{2})^{⑩}=$;
(3)想一想:将一个非零有理数$a$的圈$n$($n≥3$且$n$为整数)次方写成幂的形式为;
(4)算一算:$4^2×(-\dfrac{1}{3})^{④}$.
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{-8}$；
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{5})^4}$，$\boldsymbol{(-2)^8}$；
(3) $\boldsymbol{(\frac{1}{a})^{n-2}}$；
(4) $\boldsymbol{144}$。
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{5})^4}$，$\boldsymbol{(-2)^8}$；
(3) $\boldsymbol{(\frac{1}{a})^{n-2}}$；
(4) $\boldsymbol{144}$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义：n个相同非零有理数a相除记作a的圈n次方。解题时先从简单的小问入手，先按定义直接计算前两小问的结果，再通过多个例子的运算总结出除方转化为普通幂的通用规律，最后用推导得到的规律解决混合运算问题。具体思考步骤：①先根据定义将除方运算转化为连除运算，再将除法转化为乘法计算；②观察计算结果的指数、底数和原数、圈的次方数的关系，总结通用公式；③套用公式完成后续计算。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{⑤}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1×(-2)×(-2)×(-2)=-8$。
(2) 将除方转化为连乘后写成幂的形式：
$5^{⑥}=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{4}$；
$(-\frac{1}{2})^{⑩}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷\dots÷(-\frac{1}{2})（共10个）=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×\dots×(-2)（共9个-2）=(-2)^{8}$。
(3) 推导通用公式：
对非零有理数a的圈n次方（n≥3），$a^{ⓝ}=a÷a÷a÷\dots÷a（共n个a）=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}$。
(4) 代入规律计算混合运算：
先分别计算两部分：
$4^2=16$；
$(-\frac{1}{3})^{④}=(\frac{1}{-\frac{1}{3}})^{4-2}=(-3)^2=9$；
则原式$=16×9=144$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$-8$；
(2) $(\frac{1}{5})^4$，$(-2)^8$；
(3) $(\frac{1}{a})^{n-2}$；
(4) $144$
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义探究题，需要结合已学的有理数运算规则理解新概念，通过从特殊到一般的推导过程总结运算规律，既考查对基础知识的掌握程度，也考查逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算类题目，解题核心是先准确理解“除方”的定义：n个相同非零有理数a相除记作a的圈n次方。解题时先从简单的小问入手，先按定义直接计算前两小问的结果，再通过多个例子的运算总结出除方转化为普通幂的通用规律，最后用推导得到的规律解决混合运算问题。具体思考步骤：①先根据定义将除方运算转化为连除运算，再将除法转化为乘法计算；②观察计算结果的指数、底数和原数、圈的次方数的关系，总结通用公式；③套用公式完成后续计算。
【解析】
(1) 根据除方定义计算：
$2^{③}=2÷2÷2=1÷2=\frac{1}{2}$；
$(-\frac{1}{2})^{⑤}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})=1×(-2)×(-2)×(-2)=-8$。
(2) 将除方转化为连乘后写成幂的形式：
$5^{⑥}=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}×\frac{1}{5}=(\frac{1}{5})^{4}$；
$(-\frac{1}{2})^{⑩}=(-\frac{1}{2})÷(-\frac{1}{2})÷\dots÷(-\frac{1}{2})（共10个）=(-\frac{1}{2})×(-2)×(-2)×\dots×(-2)（共9个-2）=(-2)^{8}$。
(3) 推导通用公式：
对非零有理数a的圈n次方（n≥3），$a^{ⓝ}=a÷a÷a÷\dots÷a（共n个a）=a×(\frac{1}{a})^{n-1}=(\frac{1}{a})^{n-2}$。
(4) 代入规律计算混合运算：
先分别计算两部分：
$4^2=16$；
$(-\frac{1}{3})^{④}=(\frac{1}{-\frac{1}{3}})^{4-2}=(-3)^2=9$；
则原式$=16×9=144$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$，$-8$；
(2) $(\frac{1}{5})^4$，$(-2)^8$；
(3) $(\frac{1}{a})^{n-2}$；
(4) $144$
【知识点】
新定义运算，有理数乘除运算，有理数乘方运算
【点评】
本题属于新定义探究题，需要结合已学的有理数运算规则理解新概念，通过从特殊到一般的推导过程总结运算规律，既考查对基础知识的掌握程度，也考查逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6
