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7.【例4】(人教九上$\mathrm{P}_{31}$练习$\mathrm{T}_{2}$改编)矩形的长比宽长2 cm,设矩形的宽为$x$ cm,面积为$y$ $\mathrm{cm}^2$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2)当$x=3$时,$y$的值为
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2)当$x=3$时,$y$的值为
15
.答案
7. 解:(1)y = x(x + 2) = x² + 2x(x ＞ 0). (2)15
解析
【分析】
(1) 要求y关于x的函数解析式，首先明确等量关系：矩形面积=长×宽。已知宽为x cm，长比宽长2 cm，可先表示出长为(x+2) cm，代入面积公式即可得到函数关系；再结合x的实际意义（矩形的宽为正数），确定自变量x的取值范围。(2) 求x=3时y的值，直接将x=3代入第一问得到的函数解析式计算即可。
【解析】
(1) 已知矩形的宽为$x$ cm，长比宽长2 cm，则矩形的长为$(x+2)$ cm。
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，可得：
$y = x(x+2) = x^2 + 2x$
因为矩形的宽度必须为正数，所以自变量$x$的取值范围是$x ＞ 0$。
(2) 将$x=3$代入$y = x^2 + 2x$中，得：
$y = 3^2 + 2×3 = 9 + 6 = 15$
【答案】
(1)$y=x^2+2x(x＞0)$；(2)15
【知识点】
矩形面积计算；二次函数解析式；代入求值
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是结合几何图形面积公式建立函数关系，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
(1) 要求y关于x的函数解析式，首先明确等量关系：矩形面积=长×宽。已知宽为x cm，长比宽长2 cm，可先表示出长为(x+2) cm，代入面积公式即可得到函数关系；再结合x的实际意义（矩形的宽为正数），确定自变量x的取值范围。(2) 求x=3时y的值，直接将x=3代入第一问得到的函数解析式计算即可。
【解析】
(1) 已知矩形的宽为$x$ cm，长比宽长2 cm，则矩形的长为$(x+2)$ cm。
根据矩形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长} × \mathrm{宽}$，可得：
$y = x(x+2) = x^2 + 2x$
因为矩形的宽度必须为正数，所以自变量$x$的取值范围是$x ＞ 0$。
(2) 将$x=3$代入$y = x^2 + 2x$中，得：
$y = 3^2 + 2×3 = 9 + 6 = 15$
【答案】
(1)$y=x^2+2x(x＞0)$；(2)15
【知识点】
矩形面积计算；二次函数解析式；代入求值
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是结合几何图形面积公式建立函数关系，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
8.一个直角三角形的两直角边的和为16 cm,其中一直角边为x cm,三角形面积为y cm².
(1)写出y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当$x=2$时,y的值为
(1)写出y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当$x=2$时,y的值为
14
.答案
8. 解:(1)y = $\frac{1}{2}x(16 - x) =8x - \frac{1}{2}x^2(0 ＜ x ＜ 16)$. (2)14
解析
【分析】
（1）要推导y关于x的函数解析式，首先回忆直角三角形面积公式：$面积=\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$。已知两直角边总和为16cm，其中一条直角边为x cm，可得出另一条直角边为$(16-x)$cm，代入面积公式即可得到函数关系式。确定x的取值范围时，结合直角边长度为正的要求，可得x＞0且$16-x＞0$，联立即可得到x的取值范围。
（2）求x=2时y的值，直接将x=2代入第一问得到的函数解析式中计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，另一条直角边的长度为$(16-x)$cm，根据直角三角形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x(16-x)\\&=8x-\frac{1}{2}x^2\end{aligned}$
结合直角边长度为正的要求：$\begin{cases}x＞0\\16-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜16$。
(2) 将$x=2$代入$y=8x-\frac{1}{2}x^2$中：
$\begin{aligned}y&=8×2-\frac{1}{2}×2^2\\&=16-2\\&=14\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=8x-\frac{1}{2}x^2(0＜x＜16)$
(2) 14
【知识点】
1. 直角三角形面积计算
2. 二次函数解析式确定
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，结合几何图形的面积公式建立函数关系，解题关键是准确梳理数量关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义，代入求值属于基础运算，整体考察内容较为基础。
【难度系数】
0.8
（1）要推导y关于x的函数解析式，首先回忆直角三角形面积公式：$面积=\frac{1}{2}×直角边1×直角边2$。已知两直角边总和为16cm，其中一条直角边为x cm，可得出另一条直角边为$(16-x)$cm，代入面积公式即可得到函数关系式。确定x的取值范围时，结合直角边长度为正的要求，可得x＞0且$16-x＞0$，联立即可得到x的取值范围。
（2）求x=2时y的值，直接将x=2代入第一问得到的函数解析式中计算即可。
【解析】
(1) 由题意得，另一条直角边的长度为$(16-x)$cm，根据直角三角形面积公式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}x(16-x)\\&=8x-\frac{1}{2}x^2\end{aligned}$
结合直角边长度为正的要求：$\begin{cases}x＞0\\16-x＞0\end{cases}$，解得$0＜x＜16$。
(2) 将$x=2$代入$y=8x-\frac{1}{2}x^2$中：
$\begin{aligned}y&=8×2-\frac{1}{2}×2^2\\&=16-2\\&=14\end{aligned}$
【答案】
(1) $y=8x-\frac{1}{2}x^2(0＜x＜16)$
(2) 14
【知识点】
1. 直角三角形面积计算
2. 二次函数解析式确定
3. 函数自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，结合几何图形的面积公式建立函数关系，解题关键是准确梳理数量关系，同时注意实际问题中自变量的取值要符合实际意义，代入求值属于基础运算，整体考察内容较为基础。
【难度系数】
0.8
1. 下列各函数中，y是x的二次函数的是（
A.$y=-9 + x^2$
B.$y=-2x + 1$
C.$y=\sqrt{x^2 + 4}$
D.$y=-(x + 1) + 3$
A
）A.$y=-9 + x^2$
B.$y=-2x + 1$
C.$y=\sqrt{x^2 + 4}$
D.$y=-(x + 1) + 3$
答案
1. A
解析
【分析】
要解这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们先回忆二次函数的定义，再逐一分析每个选项是否满足上述三个判定要点，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=-9+x^2$整理为$y=x^2-9$，符合二次函数的形式，$a=1≠0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，属于二次函数；
选项B：$y=-2x+1$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合要求；
选项C：$y=\sqrt{x^2+4}$的表达式含二次根式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，排除；
选项D：将$y=-(x+1)+3$化简得$y=-x+2$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合要求。
综上，只有选项A符合二次函数的定义。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的识别；整式的概念
【点评】
本题是二次函数识别的基础题型，解题的核心是准确把握二次函数的三个判定要点，注意遇到能化简的表达式要先化简再判断次数，同时要注意排除非整式的函数表达式。
【难度系数】
0.85
要解这道题，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们先回忆二次函数的定义，再逐一分析每个选项是否满足上述三个判定要点，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数，叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=-9+x^2$整理为$y=x^2-9$，符合二次函数的形式，$a=1≠0$，自变量最高次数为2，且是整式函数，属于二次函数；
选项B：$y=-2x+1$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合要求；
选项C：$y=\sqrt{x^2+4}$的表达式含二次根式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，排除；
选项D：将$y=-(x+1)+3$化简得$y=-x+2$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合要求。
综上，只有选项A符合二次函数的定义。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的识别；整式的概念
【点评】
本题是二次函数识别的基础题型，解题的核心是准确把握二次函数的三个判定要点，注意遇到能化简的表达式要先化简再判断次数，同时要注意排除非整式的函数表达式。
【难度系数】
0.85
2. 已知二次函数$y=x^2 -6x -1$，则其二次项系数$a$，一次项系数$b$，常数项$c$分别是（
A.$a=1,b=-6,c=-1$
B.$a=1,b=6,c=1$
C.$a=0,b=-6,c=1$
D.$a=0,b=6,c=-1$
A
）A.$a=1,b=-6,c=-1$
B.$a=1,b=6,c=1$
C.$a=0,b=-6,c=1$
D.$a=0,b=6,c=-1$
答案
2. A
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，注意提取系数时要连同项前面的符号一起判断，再将题干给出的函数式和一般形式逐一对应，即可得到各系数的取值，最后匹配正确选项。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题干中的二次函数$y=x^2-6x-1$与一般式对比：
二次项$x^2$的系数为1，即$a=1$；
一次项$-6x$的系数为-6，即$b=-6$；
常数项为-1，即$c=-1$。
因此符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的一般式
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次函数一般式中各项系数的识别，解题时要注意系数需包含项前面的符号，避免漏看负号出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，注意提取系数时要连同项前面的符号一起判断，再将题干给出的函数式和一般形式逐一对应，即可得到各系数的取值，最后匹配正确选项。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题干中的二次函数$y=x^2-6x-1$与一般式对比：
二次项$x^2$的系数为1，即$a=1$；
一次项$-6x$的系数为-6，即$b=-6$；
常数项为-1，即$c=-1$。
因此符合条件的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的一般式
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查二次函数一般式中各项系数的识别，解题时要注意系数需包含项前面的符号，避免漏看负号出错。
【难度系数】
0.9
3. 函数$y=(m-5)x^2 + x$是二次函数的条件为（
A.$m≠0$
B.$m≠5$
C.$m=0$
D.$m$可以为任意实数
B
）A.$m≠0$
B.$m≠5$
C.$m=0$
D.$m$可以为任意实数
答案
3. B
解析
【分析】
要判断函数为二次函数，需结合二次函数的定义分析：二次函数的核心要求是自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。本题中函数已经是整式形式且存在二次项，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值条件。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数为二次函数。
在函数$y=(m-5)x^2 + x$中，二次项系数为$m-5$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m-5\ne0$
解得$m\ne5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查二次函数的判定条件，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”这个关键限制，牢记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断函数为二次函数，需结合二次函数的定义分析：二次函数的核心要求是自变量最高次数为2，且二次项系数不为0。本题中函数已经是整式形式且存在二次项，因此只需保证二次项系数不为0即可，据此列不等式求解就能得到m的取值条件。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a\ne0$）的函数为二次函数。
在函数$y=(m-5)x^2 + x$中，二次项系数为$m-5$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$m-5\ne0$
解得$m\ne5$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查二次函数的判定条件，易错点是容易遗漏“二次项系数不为0”这个关键限制，牢记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. 正方体的表面积$ S $（单位:$ \mathrm{cm}^2 $）与正方体的棱长$ a $（单位:$ \mathrm{cm} $）之间的函数关系式为
$S=6a^2$
，自变量$ a $的取值范围为$a＞0$
。答案
4. $S=6a^2$，$a＞0$
解析
【分析】
解题时首先回忆正方体的结构特征：正方体由6个完全相同的正方形面围成，表面积是6个面的面积总和。先计算单个正方形面的面积，再乘6即可得到表面积与棱长的函数关系式；其次自变量a是表示长度的几何量，结合实际意义确定其取值范围即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
正方体的每个面都是边长为$a$的正方形，单个面的面积为$a × a = a^2 \, (\mathrm{cm}^2)$，
正方体共有6个完全相同的面，因此表面积$S = 6 × a^2$，即$S=6a^2$。
2. 确定自变量取值范围：
棱长$a$表示实际长度，长度不能为0或负数，因此$a$的取值范围是$a＞0$。
【答案】
$S=6a^2$，$a＞0$
【知识点】
正方体表面积计算；函数关系式列写；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，考查几何量与函数的结合应用，解题时需注意除了保证代数式本身有意义外，自变量的取值还要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆正方体的结构特征：正方体由6个完全相同的正方形面围成，表面积是6个面的面积总和。先计算单个正方形面的面积，再乘6即可得到表面积与棱长的函数关系式；其次自变量a是表示长度的几何量，结合实际意义确定其取值范围即可。
【解析】
1. 推导函数关系式：
正方体的每个面都是边长为$a$的正方形，单个面的面积为$a × a = a^2 \, (\mathrm{cm}^2)$，
正方体共有6个完全相同的面，因此表面积$S = 6 × a^2$，即$S=6a^2$。
2. 确定自变量取值范围：
棱长$a$表示实际长度，长度不能为0或负数，因此$a$的取值范围是$a＞0$。
【答案】
$S=6a^2$，$a＞0$
【知识点】
正方体表面积计算；函数关系式列写；实际问题自变量取值范围
【点评】
本题属于基础题，考查几何量与函数的结合应用，解题时需注意除了保证代数式本身有意义外，自变量的取值还要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.9
5. 已知二次函数$y=x^2+2x$，当$x=-3$时，函数值为
3
。答案
5. 3
解析
【分析】
本题考查二次函数的函数值求解，解题思路清晰明确：当已知二次函数解析式和自变量x的取值时，只需将x的取值直接代入函数解析式，按照有理数的运算规则逐步计算，即可得到对应的函数值，计算时需注意负数参与运算的符号问题，避免符号出错。
【解析】
将$x=-3$代入二次函数$y=x^2+2x$中，得：
$\begin{aligned}y&=(-3)^2 + 2×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握代入法求函数值的方法，计算时只要注意负数乘方、乘法的符号规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的函数值求解，解题思路清晰明确：当已知二次函数解析式和自变量x的取值时，只需将x的取值直接代入函数解析式，按照有理数的运算规则逐步计算，即可得到对应的函数值，计算时需注意负数参与运算的符号问题，避免符号出错。
【解析】
将$x=-3$代入二次函数$y=x^2+2x$中，得：
$\begin{aligned}y&=(-3)^2 + 2×(-3)\\&=9 - 6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
3
【知识点】
二次函数求值；有理数混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握代入法求函数值的方法，计算时只要注意负数乘方、乘法的符号规则，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
6. (易错题)若$y=(m-1)x^{m^2+1}-2mx+1$是关于x的二次函数，则$m=$
-1
.答案
6. -1
解析
【分析】
要解这道题，需紧扣二次函数的定义，二次函数需同时满足两个核心条件：一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，最高次就不是二次，不再属于二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 + 1 &= 2 \\m^2 &= 1 \\m &= \pm 1\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m - 1 &≠ 0 \\m &≠ 1\end{aligned}$
结合两个约束条件，舍去$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论。求解此类定义类题目时，要完整梳理定义的所有限制要求，逐一验证，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
要解这道题，需紧扣二次函数的定义，二次函数需同时满足两个核心条件：一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0，最高次就不是二次，不再属于二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合要求的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
根据二次函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量$x$的最高次数为2，即：
$\begin{aligned}m^2 + 1 &= 2 \\m^2 &= 1 \\m &= \pm 1\end{aligned}$
2. 二次项系数不为0，即：
$\begin{aligned}m - 1 &≠ 0 \\m &≠ 1\end{aligned}$
结合两个约束条件，舍去$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
二次函数的定义；解一元二次方程；不等式求解
【点评】
本题是典型的易错题，解题时很容易忽略二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结论。求解此类定义类题目时，要完整梳理定义的所有限制要求，逐一验证，避免因漏看条件出错。
【难度系数】
0.6
7.某种产品现在的年产量是5吨，若接下来平均每年的增长率都是x，则两年后这种产品的年产量y关于x的函数解析式为
$y=5(1+x)^2$
。答案
7. $y=5(1+x)^2$
解析
【分析】
本题考查平均增长率相关的函数解析式求解，解题思路如下：首先明确初始年产量为5吨，平均年增长率为x；第一步先计算1年后的年产量，1年后的产量是在初始产量基础上增长x，遵循“增长后产量=初始产量×(1+增长率)”的逻辑；第二步计算2年后的年产量，第二年的增长是在第一年的产量基础上进行的，因此用第一年的产量再乘(1+x)，整理后即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：已知当前产品年产量为5吨，后续平均每年的增长率为x。
1. 求1年后的年产量：
1年后产量是在当前产量基础上增长x，即：$5(1+x)$ 吨
2. 求2年后的年产量：
第二年的增长以第一年的产量为基准，因此两年后产量为第一年产量乘(1+x)：
$y = 5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$
即可得到y关于x的函数解析式。
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题，二次函数实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，核心是明确平均增长率的计算逻辑：每一期的增长都以上一期的量为基准，掌握该规律即可快速列出对应函数关系式。
【难度系数】
0.85
本题考查平均增长率相关的函数解析式求解，解题思路如下：首先明确初始年产量为5吨，平均年增长率为x；第一步先计算1年后的年产量，1年后的产量是在初始产量基础上增长x，遵循“增长后产量=初始产量×(1+增长率)”的逻辑；第二步计算2年后的年产量，第二年的增长是在第一年的产量基础上进行的，因此用第一年的产量再乘(1+x)，整理后即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：已知当前产品年产量为5吨，后续平均每年的增长率为x。
1. 求1年后的年产量：
1年后产量是在当前产量基础上增长x，即：$5(1+x)$ 吨
2. 求2年后的年产量：
第二年的增长以第一年的产量为基准，因此两年后产量为第一年产量乘(1+x)：
$y = 5(1+x) × (1+x) = 5(1+x)^2$
即可得到y关于x的函数解析式。
【答案】
$y=5(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题，二次函数实际应用
【点评】
本题是增长率类基础应用题，核心是明确平均增长率的计算逻辑：每一期的增长都以上一期的量为基准，掌握该规律即可快速列出对应函数关系式。
【难度系数】
0.85
8.（拓展题）如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 12\ \mathrm{mm}$，$BC = 24\ \mathrm{mm}$. 动点$P$从点$A$开始沿边$AC$向点$C$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度移动；动点$Q$从点$C$开始沿边$CB$向点$B$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度移动. 如果$P$，$Q$两点同时出发，那么$△ PCQ$的面积$S$随出发时间$t$如何变化？写出函数关系式及$t$的取值范围.
答案
解:由题意,得 $AP = 2t,CQ = 4t$,则 $PC = 12 - 2t$.
$\therefore S=\frac{1}{2}(12 - 2t)·4t=-4t^2 + 24t(0 ＜ t ＜ 6).$
$\therefore S=\frac{1}{2}(12 - 2t)·4t=-4t^2 + 24t(0 ＜ t ＜ 6).$
解析
【分析】
要解决该问题，首先需要用出发时间$t$表示出$△ PCQ$两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式推导面积$S$关于$t$的函数关系式，最后根据动点的运动边界确定$t$的取值范围。第一步先分析动点运动路程：点$P$速度为$2\ \mathrm{mm/s}$，$t$秒移动距离$AP=2t$，因此$PC=AC-AP$；点$Q$速度为$4\ \mathrm{mm/s}$，$t$秒移动距离$CQ=4t$。第二步代入直角三角形面积公式，即可得到$S$与$t$的关系式。第三步确定$t$的范围：动点到达端点后停止运动，结合两点的运动总时间即可得到$t$的取值区间。
【解析】
解：由题意可知，出发$t$秒后，点$P$的运动路程$AP=2t\ \mathrm{mm}$，点$Q$的运动路程$CQ=4t\ \mathrm{mm}$。
$\therefore PC=AC-AP=12-2t\ (\mathrm{mm})$
$\because ∠ C=90°$，$△ PCQ$为直角三角形
$\therefore △ PCQ$的面积$S=\frac{1}{2} × PC × CQ$
将$PC=12-2t$、$CQ=4t$代入得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t \\&= -4t^2+24t\end{aligned}$
再确定$t$的取值范围：
点$P$从$A$到$C$的总时间为$\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，点$Q$从$C$到$B$的总时间为$\frac{24}{4}=6\ \mathrm{s}$，且时间$t＞0$，因此$t$的取值范围是$0＜t＜6$。
【答案】
$S=-4t^2+24t(0＜t＜6)$
【知识点】
二次函数的应用，动点问题分析，三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合二次函数的基础应用题，解题核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，结合几何图形的面积公式推导函数关系，要注意根据动点的运动边界正确写出自变量的取值范围，避免漏写出错。
【难度系数】
0.7
要解决该问题，首先需要用出发时间$t$表示出$△ PCQ$两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式推导面积$S$关于$t$的函数关系式，最后根据动点的运动边界确定$t$的取值范围。第一步先分析动点运动路程：点$P$速度为$2\ \mathrm{mm/s}$，$t$秒移动距离$AP=2t$，因此$PC=AC-AP$；点$Q$速度为$4\ \mathrm{mm/s}$，$t$秒移动距离$CQ=4t$。第二步代入直角三角形面积公式，即可得到$S$与$t$的关系式。第三步确定$t$的范围：动点到达端点后停止运动，结合两点的运动总时间即可得到$t$的取值区间。
【解析】
解：由题意可知，出发$t$秒后，点$P$的运动路程$AP=2t\ \mathrm{mm}$，点$Q$的运动路程$CQ=4t\ \mathrm{mm}$。
$\therefore PC=AC-AP=12-2t\ (\mathrm{mm})$
$\because ∠ C=90°$，$△ PCQ$为直角三角形
$\therefore △ PCQ$的面积$S=\frac{1}{2} × PC × CQ$
将$PC=12-2t$、$CQ=4t$代入得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × (12-2t) × 4t \\&= -4t^2+24t\end{aligned}$
再确定$t$的取值范围：
点$P$从$A$到$C$的总时间为$\frac{12}{2}=6\ \mathrm{s}$，点$Q$从$C$到$B$的总时间为$\frac{24}{4}=6\ \mathrm{s}$，且时间$t＞0$，因此$t$的取值范围是$0＜t＜6$。
【答案】
$S=-4t^2+24t(0＜t＜6)$
【知识点】
二次函数的应用，动点问题分析，三角形面积计算
【点评】
本题是动点结合二次函数的基础应用题，解题核心是将动点的运动路程转化为对应线段的长度，结合几何图形的面积公式推导函数关系，要注意根据动点的运动边界正确写出自变量的取值范围，避免漏写出错。
【难度系数】
0.7
