登录
根据题意列出代数式，并判断所列代数式是否为单项式，是单项式的指出系数和次数.
(1)棱长为$a$ cm的正方体的表面积.
(2)每件$a$元的上衣，降价20%后的售价是多少元？
(3)一辆汽车的行驶速度是$v$ km/h，$t$ h行驶多少千米？
(4)长方形绿地的长、宽分别是$a$ m，$b$ m，如果长增加$\frac{1}{2}$ m，那么新增加的绿地面积是多少？
(1)棱长为$a$ cm的正方体的表面积.
(2)每件$a$元的上衣，降价20%后的售价是多少元？
(3)一辆汽车的行驶速度是$v$ km/h，$t$ h行驶多少千米？
(4)长方形绿地的长、宽分别是$a$ m，$b$ m，如果长增加$\frac{1}{2}$ m，那么新增加的绿地面积是多少？
答案
(1) $6a^2\ \mathrm{cm}^2$，是单项式，系数是6，次数是2.
(2) $0.8a$ 元，是单项式，系数是0.8，次数是1.
(3) $vt\ \mathrm{km}$，是单项式，系数是1，次数是2.
(4) $\dfrac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$，是单项式，系数是$\dfrac{1}{2}$，次数是1.
(2) $0.8a$ 元，是单项式，系数是0.8，次数是1.
(3) $vt\ \mathrm{km}$，是单项式，系数是1，次数是2.
(4) $\dfrac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$，是单项式，系数是$\dfrac{1}{2}$，次数是1.
解析
【分析】
解题分两步开展：第一步，结合各小题的实际数量关系列出代数式：①正方体表面积=6×单个面的面积，单个面面积为棱长的平方；②降价20%后售价为原价的(1-20%)，乘原价即可得到现售价；③根据路程公式，路程=速度×时间直接计算；④新增绿地为长$\frac{1}{2}$m、宽$b$m的长方形，按长方形面积公式计算即可。第二步，结合单项式的定义（数与字母的乘积构成的代数式，单独的数或字母也属于单项式）判断所列代数式是否为单项式，再根据规则找系数（单项式中的数字因数）、次数（单项式中所有字母的指数和），注意系数为1时通常省略书写，不要漏认。
【解析】
(1) 正方体一个面的面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，表面积为6个面的面积和，因此列出代数式$6a^2\ \mathrm{cm}^2$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为6，故系数是6；仅含字母$a$，指数为2，故次数是2。
(2) 降价后售价为原价的$1-20\%=0.8$，因此列出代数式$0.8a$元。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为0.8，故系数是0.8；仅含字母$a$，指数为1，故次数是1。
(3) 根据路程=速度×时间，列出代数式$vt\ \mathrm{km}$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为省略书写的1，故系数是1；含字母$v$和$t$，指数均为1，指数和为2，故次数是2。
(4) 新增绿地为长$\frac{1}{2}$m、宽$b$m的长方形，面积=长×宽，列出代数式$\frac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为$\frac{1}{2}$，故系数是$\frac{1}{2}$；仅含字母$b$，指数为1，故次数是1。
【答案】
(1) $6a^2\ \mathrm{cm}^2$，是单项式，系数是6，次数是2.
(2) $0.8a$ 元，是单项式，系数是0.8，次数是1.
(3) $vt\ \mathrm{km}$，是单项式，系数是1，次数是2.
(4) $\dfrac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$，是单项式，系数是$\dfrac{1}{2}$，次数是1.
【知识点】
列代数式；单项式的定义；单项式的系数与次数
【点评】
本题结合实际场景考察基础的列代数式能力和单项式核心概念，解题时要注意准确梳理数量关系，判断系数时不要遗漏省略书写的1，计算次数时仅统计所有字母的指数和即可。
【难度系数】
0.8
解题分两步开展：第一步，结合各小题的实际数量关系列出代数式：①正方体表面积=6×单个面的面积，单个面面积为棱长的平方；②降价20%后售价为原价的(1-20%)，乘原价即可得到现售价；③根据路程公式，路程=速度×时间直接计算；④新增绿地为长$\frac{1}{2}$m、宽$b$m的长方形，按长方形面积公式计算即可。第二步，结合单项式的定义（数与字母的乘积构成的代数式，单独的数或字母也属于单项式）判断所列代数式是否为单项式，再根据规则找系数（单项式中的数字因数）、次数（单项式中所有字母的指数和），注意系数为1时通常省略书写，不要漏认。
【解析】
(1) 正方体一个面的面积为$a^2\ \mathrm{cm}^2$，表面积为6个面的面积和，因此列出代数式$6a^2\ \mathrm{cm}^2$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为6，故系数是6；仅含字母$a$，指数为2，故次数是2。
(2) 降价后售价为原价的$1-20\%=0.8$，因此列出代数式$0.8a$元。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为0.8，故系数是0.8；仅含字母$a$，指数为1，故次数是1。
(3) 根据路程=速度×时间，列出代数式$vt\ \mathrm{km}$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为省略书写的1，故系数是1；含字母$v$和$t$，指数均为1，指数和为2，故次数是2。
(4) 新增绿地为长$\frac{1}{2}$m、宽$b$m的长方形，面积=长×宽，列出代数式$\frac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$。该式是数与字母的乘积，属于单项式，其中数字因数为$\frac{1}{2}$，故系数是$\frac{1}{2}$；仅含字母$b$，指数为1，故次数是1。
【答案】
(1) $6a^2\ \mathrm{cm}^2$，是单项式，系数是6，次数是2.
(2) $0.8a$ 元，是单项式，系数是0.8，次数是1.
(3) $vt\ \mathrm{km}$，是单项式，系数是1，次数是2.
(4) $\dfrac{1}{2}b\ \mathrm{m}^2$，是单项式，系数是$\dfrac{1}{2}$，次数是1.
【知识点】
列代数式；单项式的定义；单项式的系数与次数
【点评】
本题结合实际场景考察基础的列代数式能力和单项式核心概念，解题时要注意准确梳理数量关系，判断系数时不要遗漏省略书写的1，计算次数时仅统计所有字母的指数和即可。
【难度系数】
0.8
任务三 应用单项式解决问题
列代数式表示实际问题中的数量关系，并完成下列探究.
(1)长方形的长为$a$ cm，宽为$b$ cm，则长方形的面积为
(2)汽车在高速公路上行驶的速度为$a$ km/h，行驶了$b$ h，则行驶的路程为
(3)水果店的苹果单价为$a$元/千克，小明购买$b$ kg共需要
探究1：写出以上三个问题的答案，对比之后你有什么发现？
探究2：请根据探究1的结论，编写一道可以用单项式$ab$表示的实际问题.
即时测评
列代数式表示实际问题中的数量关系，并完成下列探究.
(1)长方形的长为$a$ cm，宽为$b$ cm，则长方形的面积为
$ab$
$\mathrm{cm}^2$；(2)汽车在高速公路上行驶的速度为$a$ km/h，行驶了$b$ h，则行驶的路程为
$ab$
km；(3)水果店的苹果单价为$a$元/千克，小明购买$b$ kg共需要
$ab$
元.探究1：写出以上三个问题的答案，对比之后你有什么发现？
探究2：请根据探究1的结论，编写一道可以用单项式$ab$表示的实际问题.
即时测评
答案
(1) ab
(2) ab
(3) ab
探究1 解：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境.
探究2 解：七年级(1)班共有$a$名同学，期中考试数学平均分为$b$分，则七年级(1)班的数学总分是多少分？(答案不唯一)
(2) ab
(3) ab
探究1 解：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境.
探究2 解：七年级(1)班共有$a$名同学，期中考试数学平均分为$b$分，则七年级(1)班的数学总分是多少分？(答案不唯一)
解析
【分析】
解题思路分为两步：首先解决三个基础填空问题，分别对应长方形面积、路程、总价三类常见的数量关系，直接套用对应公式，将字母代入相乘即可得到结果；其次完成探究问题，对比三个填空的结果可以发现，三个完全不同的实际场景最终得到的代数式都是ab，由此可总结出同一个单项式可以表示多种不同实际情境的结论，再结合生活中存在“两个量相乘求总量”关系的场景，就能编写出符合要求的实际问题。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式：面积=长×宽，已知长为a cm，宽为b cm，因此面积为$a × b = ab$ $\mathrm{cm}^2$；
(2) 根据路程计算公式：路程=速度×时间，已知速度为a km/h，行驶时间为b h，因此行驶路程为$a × b = ab$ km；
(3) 根据总价计算公式：总价=单价×数量，已知苹果单价为a元/千克，购买数量为b kg，因此总费用为$a × b = ab$ 元；
探究1：观察三个问题的计算结果，均为代数式$ab$，但三个问题分别对应几何、行程、购物三类完全不同的实际情境，因此可得出结论：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境；
探究2：编写符合“两个量的乘积为$ab$”的实际问题即可，例如参考答案给出的班级总分问题，只要场景合理均符合要求。
【答案】
(1) $ab$
(2) $ab$
(3) $ab$
探究1：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境。
探究2：七年级(1)班共有$a$名同学，期中考试数学平均分为$b$分，则七年级(1)班的数学总分是多少分？(答案不唯一)
【知识点】
列代数式、单项式的实际意义、常见数量关系
【点评】
本题结合生活中的常见场景，考查了用单项式表示实际数量关系的能力，引导学生理解代数式的抽象性和广泛适用性，有助于提升用数学符号表示现实问题的能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：首先解决三个基础填空问题，分别对应长方形面积、路程、总价三类常见的数量关系，直接套用对应公式，将字母代入相乘即可得到结果；其次完成探究问题，对比三个填空的结果可以发现，三个完全不同的实际场景最终得到的代数式都是ab，由此可总结出同一个单项式可以表示多种不同实际情境的结论，再结合生活中存在“两个量相乘求总量”关系的场景，就能编写出符合要求的实际问题。
【解析】
(1) 根据长方形面积公式：面积=长×宽，已知长为a cm，宽为b cm，因此面积为$a × b = ab$ $\mathrm{cm}^2$；
(2) 根据路程计算公式：路程=速度×时间，已知速度为a km/h，行驶时间为b h，因此行驶路程为$a × b = ab$ km；
(3) 根据总价计算公式：总价=单价×数量，已知苹果单价为a元/千克，购买数量为b kg，因此总费用为$a × b = ab$ 元；
探究1：观察三个问题的计算结果，均为代数式$ab$，但三个问题分别对应几何、行程、购物三类完全不同的实际情境，因此可得出结论：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境；
探究2：编写符合“两个量的乘积为$ab$”的实际问题即可，例如参考答案给出的班级总分问题，只要场景合理均符合要求。
【答案】
(1) $ab$
(2) $ab$
(3) $ab$
探究1：代数式$ab$可以表示生活中不同的情境。
探究2：七年级(1)班共有$a$名同学，期中考试数学平均分为$b$分，则七年级(1)班的数学总分是多少分？(答案不唯一)
【知识点】
列代数式、单项式的实际意义、常见数量关系
【点评】
本题结合生活中的常见场景，考查了用单项式表示实际数量关系的能力，引导学生理解代数式的抽象性和广泛适用性，有助于提升用数学符号表示现实问题的能力，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.9
观察下列单项式：$-x$，$3x^2$，$-5x^3$，$7x^4$……
(1)第10个单项式是什么？它的系数、次数分别是多少？
(2)根据上面的结论，猜想第$n$个单项式的系数、次数分别是多少。
(1)第10个单项式是什么？它的系数、次数分别是多少？
(2)根据上面的结论，猜想第$n$个单项式的系数、次数分别是多少。
答案
(1) 第10个单项式为$19x^{10}$，它的系数为19，次数为10.
(2) 第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，它的系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$.
(2) 第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，它的系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$.
解析
【分析】
我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、字母的次数三个部分分别找规律：①先看符号：第1个单项式符号为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得奇数项为负、偶数项为正，符号规律和项数n的关系是$(-1)^n$；②再看系数的绝对值：第1个是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7，都是连续的奇数，第n个的系数绝对值就是$2n-1$；③最后看x的次数：第1个是1次，第2个是2次，第3个是3次，第4个是4次，次数等于项数n。找到三个部分的规律后，代入n=10就能解决第(1)问，把规律用含n的式子整合就能解决第(2)问。
【解析】
我们先逐项拆分分析规律：
| 项数n | 单项式 | 符号 | 系数绝对值 | x的次数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $-x$ | 负 | $1=2×1-1$ | 1 |
| 2 | $3x^2$ | 正 | $3=2×2-1$ | 2 |
| 3 | $-5x^3$ | 负 | $5=2×3-1$ | 3 |
| 4 | $7x^4$ | 正 | $7=2×4-1$ | 4 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
(1) 计算第10个单项式：
当n=10时，10是偶数，符号为正；系数绝对值为$2×10-1=19$；x的次数为10，因此第10个单项式是$19x^{10}$，对应系数为19，次数为10。
(2) 总结第n个单项式的规律：
整合符号、系数绝对值、次数的规律，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，其中系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$。
【答案】
(1) 第10个单项式为$19x^{10}$，它的系数为19，次数为10；
(2) 第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，它的系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$。
【知识点】
单项式的相关概念；数字规律探究
【点评】
本题考查对单项式系数、次数概念的理解，以及从已知序列中拆分维度找规律的能力，解题核心是将复杂的单项式规律拆分为符号、系数绝对值、次数三个简单部分分别探究，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、字母的次数三个部分分别找规律：①先看符号：第1个单项式符号为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，可得奇数项为负、偶数项为正，符号规律和项数n的关系是$(-1)^n$；②再看系数的绝对值：第1个是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7，都是连续的奇数，第n个的系数绝对值就是$2n-1$；③最后看x的次数：第1个是1次，第2个是2次，第3个是3次，第4个是4次，次数等于项数n。找到三个部分的规律后，代入n=10就能解决第(1)问，把规律用含n的式子整合就能解决第(2)问。
【解析】
我们先逐项拆分分析规律：
| 项数n | 单项式 | 符号 | 系数绝对值 | x的次数 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | $-x$ | 负 | $1=2×1-1$ | 1 |
| 2 | $3x^2$ | 正 | $3=2×2-1$ | 2 |
| 3 | $-5x^3$ | 负 | $5=2×3-1$ | 3 |
| 4 | $7x^4$ | 正 | $7=2×4-1$ | 4 |
| ... | ... | ... | ... | ... |
(1) 计算第10个单项式：
当n=10时，10是偶数，符号为正；系数绝对值为$2×10-1=19$；x的次数为10，因此第10个单项式是$19x^{10}$，对应系数为19，次数为10。
(2) 总结第n个单项式的规律：
整合符号、系数绝对值、次数的规律，可得第n个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，其中系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$。
【答案】
(1) 第10个单项式为$19x^{10}$，它的系数为19，次数为10；
(2) 第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$，它的系数为$(-1)^n(2n-1)$，次数为$n$。
【知识点】
单项式的相关概念；数字规律探究
【点评】
本题考查对单项式系数、次数概念的理解，以及从已知序列中拆分维度找规律的能力，解题核心是将复杂的单项式规律拆分为符号、系数绝对值、次数三个简单部分分别探究，是整式章节的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
