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7.若关于x的一元二次方程$2x^2+bx+c=0$满足$2+b+c=0$，则这个方程必有一个根是（
A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=1$
D
）A.$x=-1$
B.$x=0$
C.$x=\frac{1}{2}$
D.$x=1$
答案
7.D
解析
【分析】
要判断一元二次方程必有哪个根，核心依据是一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以通过两种思路解题：一是将四个选项的x值分别代入方程左边，验证哪个代入后结果等于0，结合已知条件2+b+c=0即可判断；二是直接对比已知等式2+b+c=0和方程2x²+bx+c=0的结构，找到x的取值使左边代数式和已知等式一致。
【解析】
方法1：代入验证法
根据方程根的定义，将各选项的x值代入方程左边$2x^2+bx+c$，判断结果是否为0：
选项A：当$x=-1$时，左边$=2×(-1)^2 + b×(-1) + c=2 - b + c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项B：当$x=0$时，左边$=2×0^2 + b×0 + c=c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项C：当$x=\frac{1}{2}$时，左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + b×\frac{1}{2} + c=\frac{1}{2} + \frac{b}{2} + c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项D：当$x=1$时，左边$=2×1^2 + b×1 + c=2 + b + c$，结合已知条件$2+b+c=0$，可得左边=0=右边，因此$x=1$是方程的根。
方法2：结构匹配法
观察已知等式$2+b+c=0$和方程$2x^2+bx+c=0$，可以发现当$x^2=1$且$x=1$时，方程左边刚好等于$2+b+c$，即此时左边为0，满足方程，因此$x=1$是方程的根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、代入验证法
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，解题关键是理解“根代入方程可使等式成立”，既可以通过逐一代入选项验证得出结果，也可以通过观察等式结构快速匹配得到答案，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程必有哪个根，核心依据是一元二次方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。我们可以通过两种思路解题：一是将四个选项的x值分别代入方程左边，验证哪个代入后结果等于0，结合已知条件2+b+c=0即可判断；二是直接对比已知等式2+b+c=0和方程2x²+bx+c=0的结构，找到x的取值使左边代数式和已知等式一致。
【解析】
方法1：代入验证法
根据方程根的定义，将各选项的x值代入方程左边$2x^2+bx+c$，判断结果是否为0：
选项A：当$x=-1$时，左边$=2×(-1)^2 + b×(-1) + c=2 - b + c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项B：当$x=0$时，左边$=2×0^2 + b×0 + c=c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项C：当$x=\frac{1}{2}$时，左边$=2×(\frac{1}{2})^2 + b×\frac{1}{2} + c=\frac{1}{2} + \frac{b}{2} + c$，与已知$2+b+c=0$不符，不是方程的根；
选项D：当$x=1$时，左边$=2×1^2 + b×1 + c=2 + b + c$，结合已知条件$2+b+c=0$，可得左边=0=右边，因此$x=1$是方程的根。
方法2：结构匹配法
观察已知等式$2+b+c=0$和方程$2x^2+bx+c=0$，可以发现当$x^2=1$且$x=1$时，方程左边刚好等于$2+b+c$，即此时左边为0，满足方程，因此$x=1$是方程的根。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的定义、代入验证法
【点评】
本题是一元二次方程根的定义的基础应用，解题关键是理解“根代入方程可使等式成立”，既可以通过逐一代入选项验证得出结果，也可以通过观察等式结构快速匹配得到答案，属于基础常考题。
【难度系数】
0.8
8.若一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$的一个根为$x=2$，则一次函数$y=3x + c$的图象不经过第
四
象限。答案
8.四
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=2代入一元二次方程，即可求出参数c的值；第二步，把求得的c值代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的正负判断图象经过的象限，进而得出不经过的象限。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$的一个根为$x=2$，
将$x=2$代入方程得：$2^2 - 3×2 + c = 0$，
计算得：$4 - 6 + c = 0$，解得$c=2$。
∴ 一次函数解析式为$y=3x + 2$，
其中$k=3＞0$，函数图象从左到右上升，过一、三象限；
$b=2＞0$，函数图象与y轴交于正半轴，还经过第二象限，
因此该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
方程根的定义；一次函数图象性质；待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础综合题，将方程根的应用和一次函数的性质结合考查，难度较低，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，根据一元二次方程根的定义，将已知根x=2代入一元二次方程，即可求出参数c的值；第二步，把求得的c值代入一次函数解析式，根据一次函数中k、b的正负判断图象经过的象限，进而得出不经过的象限。
【解析】
∵ 一元二次方程$x^2 - 3x + c = 0$的一个根为$x=2$，
将$x=2$代入方程得：$2^2 - 3×2 + c = 0$，
计算得：$4 - 6 + c = 0$，解得$c=2$。
∴ 一次函数解析式为$y=3x + 2$，
其中$k=3＞0$，函数图象从左到右上升，过一、三象限；
$b=2＞0$，函数图象与y轴交于正半轴，还经过第二象限，
因此该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
【答案】
四
【知识点】
方程根的定义；一次函数图象性质；待定系数法求参数
【点评】
本题属于基础综合题，将方程根的应用和一次函数的性质结合考查，难度较低，只要熟练掌握相关基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.若$3a+6＞0$，且$ax^2 -5x +3=0$是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是
$a＞-2$且$a≠0$
.答案
9.$a＞-2$ 且 $a ≠ 0$
解析
【分析】
解题时需同时满足题目给出的两个限制条件：①先根据已知不等式$3a+6＞0$求出a的第一个取值范围；②再根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，得到a的第二个限制条件；最后取两个范围的公共部分，即为a的最终取值范围。
【解析】
第一步：解不等式$3a+6＞0$
移项得：$3a ＞ -6$
两边同时除以3得：$a ＞ -2$
第二步：根据一元二次方程的定义，方程$ax^2 -5x +3=0$是一元二次方程，要求二次项系数不为0，即$a ≠ 0$
第三步：综合两个条件，a需同时满足$a ＞ -2$和$a ≠ 0$
【答案】
$a＞-2$ 且 $a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程的定义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题时需要全面考虑题目中的所有限制条件，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的要求，导致漏写$a≠0$的条件。
【难度系数】
0.7
解题时需同时满足题目给出的两个限制条件：①先根据已知不等式$3a+6＞0$求出a的第一个取值范围；②再根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，得到a的第二个限制条件；最后取两个范围的公共部分，即为a的最终取值范围。
【解析】
第一步：解不等式$3a+6＞0$
移项得：$3a ＞ -6$
两边同时除以3得：$a ＞ -2$
第二步：根据一元二次方程的定义，方程$ax^2 -5x +3=0$是一元二次方程，要求二次项系数不为0，即$a ≠ 0$
第三步：综合两个条件，a需同时满足$a ＞ -2$和$a ≠ 0$
【答案】
$a＞-2$ 且 $a ≠ 0$
【知识点】
一元二次方程的定义；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题，解题时需要全面考虑题目中的所有限制条件，易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的要求，导致漏写$a≠0$的条件。
【难度系数】
0.7
10.已知$m,n$是方程$x^2 + 3021x - 3022 = 0$的两根，试求代数式$(m^2 + 3021m - 3021)(n^2 + 3021n + 1)$的值。
答案
10.【解】$\because m,n$ 是方程 $x^2 + 3\ 021x - 3\ 022 = 0$ 的两根，
$\therefore m^2 + 3\ 021m - 3\ 022 = 0, n^2 + 3\ 021n - 3\ 022 = 0$.
$\therefore m^2 + 3\ 021m = 3\ 022, n^2 + 3\ 021n = 3\ 022$.
$\therefore$ 原式 $=(3\ 022 - 3\ 021) × (3\ 022 + 1) = 3\ 023$.
$\therefore m^2 + 3\ 021m - 3\ 022 = 0, n^2 + 3\ 021n - 3\ 022 = 0$.
$\therefore m^2 + 3\ 021m = 3\ 022, n^2 + 3\ 021n = 3\ 022$.
$\therefore$ 原式 $=(3\ 022 - 3\ 021) × (3\ 022 + 1) = 3\ 023$.
解析
【分析】
解题时首先结合一元二次方程根的定义，将方程的根代入原方程，可得到关于m、n的等式，变形后得到$m^2 + 3021m$和$n^2 + 3021n$的取值；观察所求代数式的结构，发现代数式中正好含有这两个式子，因此无需计算m、n的具体值，直接将得到的结果整体代入代数式，就能快速算出最终结果，还能避免求解方程带来的复杂运算。
【解析】
解：$\because m,n$ 是方程 $x^2 + 3021x - 3022 = 0$ 的两根，
$\therefore$ 将m、n分别代入方程可得：$m^2 + 3021m - 3022 = 0, n^2 + 3021n - 3022 = 0$，
移项得：$m^2 + 3021m = 3022, n^2 + 3021n = 3022$，
将上述结果代入所求代数式：
原式$=(3022 - 3021) × (3022 + 1)$
$=1×3023$
$=3023$
【答案】
3023
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于典型的根的定义应用类题型，核心是利用方程根的含义得到对应代数式的值，通过整体代入的方法简化计算，无需直接求解方程的根，能有效降低运算量和出错率。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合一元二次方程根的定义，将方程的根代入原方程，可得到关于m、n的等式，变形后得到$m^2 + 3021m$和$n^2 + 3021n$的取值；观察所求代数式的结构，发现代数式中正好含有这两个式子，因此无需计算m、n的具体值，直接将得到的结果整体代入代数式，就能快速算出最终结果，还能避免求解方程带来的复杂运算。
【解析】
解：$\because m,n$ 是方程 $x^2 + 3021x - 3022 = 0$ 的两根，
$\therefore$ 将m、n分别代入方程可得：$m^2 + 3021m - 3022 = 0, n^2 + 3021n - 3022 = 0$，
移项得：$m^2 + 3021m = 3022, n^2 + 3021n = 3022$，
将上述结果代入所求代数式：
原式$=(3022 - 3021) × (3022 + 1)$
$=1×3023$
$=3023$
【答案】
3023
【知识点】
一元二次方程根的定义；整体代入求值
【点评】
本题属于典型的根的定义应用类题型，核心是利用方程根的含义得到对应代数式的值，通过整体代入的方法简化计算，无需直接求解方程的根，能有效降低运算量和出错率。
【难度系数】
0.8
11.已知$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$.若$-2$是关于$x$的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c)=0$的一个根，则$△ ABC$是底边和腰不相等的等腰三角形还是等边三角形？请写出你的结论，并说明理由.
答案
11.【解】$△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形. 理由如下：
$\because -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，
$\therefore (b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$.
整理,得 $4b - 4a = 0$.
$\therefore b = a$.
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
$\because$ 方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，
$\therefore b - c ≠ 0$.
$\therefore b ≠ c$.
$\therefore △ ABC$ 不是等边三角形.
故 $△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形.
$\because -2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 的一个根，
$\therefore (b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$.
整理,得 $4b - 4a = 0$.
$\therefore b = a$.
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.
$\because$ 方程 $(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c) = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，
$\therefore b - c ≠ 0$.
$\therefore b ≠ c$.
$\therefore △ ABC$ 不是等边三角形.
故 $△ ABC$ 是底边和腰不相等的等腰三角形.
解析
【分析】
解决本题可按照两步思路推导：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=-2代入原方程，通过化简运算得到三角形三边的等量关系，初步判断三角形是否为等腰三角形；第二步，结合一元二次方程的定义，抓住“二次项系数不为0”的隐含条件，得到三边的不等关系，排除等边三角形的可能，最终确定三角形的具体类型。
【解析】
解：△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形，理由如下：
∵ -2是关于x的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c)=0$的一个根，
∴ 将$x=-2$代入方程得：$(b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$，
展开计算得：$4(b-c) + 8(c-a) + 4(a-c) = 0$，
去括号合并同类项得：$4b - 4a = 0$，即$b = a$，
∴ △ABC是等腰三角形。
又
∵ 方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c)=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$b - c ≠ 0$，
∴ $b ≠ c$，
∴ △ABC不是等边三角形。
综上，△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【答案】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题结合一元二次方程相关概念和三角形形状判定出题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误判为等边三角形，需注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
解决本题可按照两步思路推导：第一步，根据方程根的定义，将已知根x=-2代入原方程，通过化简运算得到三角形三边的等量关系，初步判断三角形是否为等腰三角形；第二步，结合一元二次方程的定义，抓住“二次项系数不为0”的隐含条件，得到三边的不等关系，排除等边三角形的可能，最终确定三角形的具体类型。
【解析】
解：△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形，理由如下：
∵ -2是关于x的一元二次方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c)=0$的一个根，
∴ 将$x=-2$代入方程得：$(b - c) × (-2)^2 - 4(c - a) × (-2) + 4(a - c) = 0$，
展开计算得：$4(b-c) + 8(c-a) + 4(a-c) = 0$，
去括号合并同类项得：$4b - 4a = 0$，即$b = a$，
∴ △ABC是等腰三角形。
又
∵ 方程$(b - c)x^2 - 4(c - a)x + 4(a - c)=0$是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$b - c ≠ 0$，
∴ $b ≠ c$，
∴ △ABC不是等边三角形。
综上，△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【答案】
△ABC是底边和腰不相等的等腰三角形。
【知识点】
一元二次方程的定义、方程根的定义、等腰三角形的判定
【点评】
本题结合一元二次方程相关概念和三角形形状判定出题，解题时容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误判为等边三角形，需注意挖掘题目中的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
