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5. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式.
(1)一个矩形的长比宽多4，面积是96，求这个矩形的长.
(2)一个直角三角形的两条直角边的长的差是7，斜边长是13，求较短的直角边的长.
(1)一个矩形的长比宽多4，面积是96，求这个矩形的长.
(2)一个直角三角形的两条直角边的长的差是7，斜边长是13，求较短的直角边的长.
答案
5.【解】(1)设这个矩形的长为 $x$.
根据题意,得 $x(x - 4)=96$.
去括号,得 $x^2 - 4x=96$.
移项,得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96=0$.
(2)设较短的直角边的长为 $x$.
根据题意,得 $x^2 + (x + 7)^2=13^2$.
去括号,得 $x^2 + x^2 + 14x + 49=169$.
移项,合并同类项,得 $2x^2 + 14x - 120=0$.
$x^2$ 的系数化为 1,得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60=0$.
根据题意,得 $x(x - 4)=96$.
去括号,得 $x^2 - 4x=96$.
移项,得一元二次方程的一般形式 $x^2 - 4x - 96=0$.
(2)设较短的直角边的长为 $x$.
根据题意,得 $x^2 + (x + 7)^2=13^2$.
去括号,得 $x^2 + x^2 + 14x + 49=169$.
移项,合并同类项,得 $2x^2 + 14x - 120=0$.
$x^2$ 的系数化为 1,得一元二次方程的一般形式 $x^2 + 7x - 60=0$.
解析
【分析】
解决这类问题分为三步：第一步设未知数，将题目要求的未知量设为$x$，并用含$x$的代数式表示出其他相关量；第二步找等量关系列方程，(1)利用矩形面积=长×宽的等量关系，(2)利用直角三角形勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）的等量关系列方程；第三步化简为一元二次方程的一般形式，即整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，通常将二次项系数化为正整数且各项系数互质。
【解析】
(1) 设这个矩形的长为$x$，则矩形的宽为$x-4$。
根据矩形面积公式列方程：$x(x - 4)=96$
去括号得：$x^2 - 4x=96$
移项得到一元二次方程的一般形式：$x^2 - 4x - 96=0$
(2) 设较短的直角边的长为$x$，则较长的直角边的长为$x+7$。
根据勾股定理列方程：$x^2 + (x + 7)^2=13^2$
去括号得：$x^2 + x^2 + 14x + 49=169$
移项、合并同类项得：$2x^2 + 14x - 120=0$
将二次项系数化为1，得到一元二次方程的一般形式：$x^2 + 7x - 60=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-4)=96$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 - 4x - 96=0}$；
(2) 所列方程为$x^2+(x+7)^2=13^2$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 + 7x - 60=0}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 矩形面积计算
3. 勾股定理
【点评】
本题是结合几何实际背景的一元二次方程基础题，解题核心是准确找到等量关系，设出合适的未知数，化简为一般形式时注意要整理为最简形式，便于后续解方程。
【难度系数】
0.85
解决这类问题分为三步：第一步设未知数，将题目要求的未知量设为$x$，并用含$x$的代数式表示出其他相关量；第二步找等量关系列方程，(1)利用矩形面积=长×宽的等量关系，(2)利用直角三角形勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方）的等量关系列方程；第三步化简为一元二次方程的一般形式，即整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式，通常将二次项系数化为正整数且各项系数互质。
【解析】
(1) 设这个矩形的长为$x$，则矩形的宽为$x-4$。
根据矩形面积公式列方程：$x(x - 4)=96$
去括号得：$x^2 - 4x=96$
移项得到一元二次方程的一般形式：$x^2 - 4x - 96=0$
(2) 设较短的直角边的长为$x$，则较长的直角边的长为$x+7$。
根据勾股定理列方程：$x^2 + (x + 7)^2=13^2$
去括号得：$x^2 + x^2 + 14x + 49=169$
移项、合并同类项得：$2x^2 + 14x - 120=0$
将二次项系数化为1，得到一元二次方程的一般形式：$x^2 + 7x - 60=0$
【答案】
(1) 所列方程为$x(x-4)=96$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 - 4x - 96=0}$；
(2) 所列方程为$x^2+(x+7)^2=13^2$，一般形式为$\boldsymbol{x^2 + 7x - 60=0}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 矩形面积计算
3. 勾股定理
【点评】
本题是结合几何实际背景的一元二次方程基础题，解题核心是准确找到等量关系，设出合适的未知数，化简为一般形式时注意要整理为最简形式，便于后续解方程。
【难度系数】
0.85
1. 将方程$(x+2)^2=5x-2$化成$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式，下列选项中的内容正确的是（
A.$a=1,b=-3,c=-2$
B.$a=1,b=-1,c=6$
C.$a=1,b=-5,c=6$
D.$a=1,b=-5,c=2$
B
）A.$a=1,b=-3,c=-2$
B.$a=1,b=-1,c=6$
C.$a=1,b=-5,c=6$
D.$a=1,b=-5,c=2$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确解题目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，进而确定$a、b、c$的值匹配选项。解题步骤可分为三步：第一步利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步将右侧所有项移到方程左侧（移项注意变号），第三步合并同类项得到一般形式，最后对应系数选出正确选项即可。
【解析】
第一步：展开左侧完全平方项，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，原方程转化为：
$x^2+4x+4=5x-2$
第二步：移项，将右侧的$5x$和$-2$移到方程左侧，移项要变号，得：
$x^2+4x+4-5x+2=0$
第三步：合并同类项，分别合并二次项、一次项、常数项：
二次项系数为1，一次项$4x-5x=-x$，常数项$4+2=6$，因此方程的一般形式为：
$x^2 -x +6=0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1,b=-1,c=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.一元二次方程的一般形式
3.整式的化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键点在于准确展开完全平方公式，同时注意移项时符号的变化，计算时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确解题目标是将给定方程转化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，进而确定$a、b、c$的值匹配选项。解题步骤可分为三步：第一步利用完全平方公式展开方程左侧的平方项，第二步将右侧所有项移到方程左侧（移项注意变号），第三步合并同类项得到一般形式，最后对应系数选出正确选项即可。
【解析】
第一步：展开左侧完全平方项，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，可得$(x+2)^2=x^2+4x+4$，原方程转化为：
$x^2+4x+4=5x-2$
第二步：移项，将右侧的$5x$和$-2$移到方程左侧，移项要变号，得：
$x^2+4x+4-5x+2=0$
第三步：合并同类项，分别合并二次项、一次项、常数项：
二次项系数为1，一次项$4x-5x=-x$，常数项$4+2=6$，因此方程的一般形式为：
$x^2 -x +6=0$
对比一般形式$ax^2+bx+c=0$，可得$a=1,b=-1,c=6$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.完全平方公式
2.一元二次方程的一般形式
3.整式的化简
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查一元二次方程一般形式的化简，解题的关键点在于准确展开完全平方公式，同时注意移项时符号的变化，计算时细心即可避免出错。
【难度系数】
0.8
2. 若有 $ x $ 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则下列方程中符合题意的是（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
A
）A.$\frac{1}{2}x(x-1)=45$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=45$
C.$x(x-1)=45$
D.$x(x+1)=45$
答案
2.A
解析
【分析】
这是单循环比赛的实际应用题，解题思路如下：首先明确x支球队中，每支球队不需要和自身比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场；此时若直接计算x(x-1)，每场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，总场次被重复计算了2倍，因此需要除以2得到实际总比赛场数，最后结合已知总场数为45即可列出对应方程。
【解析】
已知共有x支球队，每两队之间仅比赛1场：
1. 计算单支球队场次：每队无需和自身比赛，因此1支球队的比赛场次为(x-1)场；
2. 去重计算总场次：每场比赛会被对阵的两队各统计1次，因此$x(x-1)$是实际总场次的2倍，实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 结合总场数为45的条件，可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解单循环赛制的计数规则，注意排除重复统计的场次即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
这是单循环比赛的实际应用题，解题思路如下：首先明确x支球队中，每支球队不需要和自身比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场；此时若直接计算x(x-1)，每场比赛会被对阵的两支球队各统计1次，总场次被重复计算了2倍，因此需要除以2得到实际总比赛场数，最后结合已知总场数为45即可列出对应方程。
【解析】
已知共有x支球队，每两队之间仅比赛1场：
1. 计算单支球队场次：每队无需和自身比赛，因此1支球队的比赛场次为(x-1)场；
2. 去重计算总场次：每场比赛会被对阵的两队各统计1次，因此$x(x-1)$是实际总场次的2倍，实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$；
3. 结合总场数为45的条件，可列方程$\frac{1}{2}x(x-1)=45$，对应A选项。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程应用，单循环场次计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是理解单循环赛制的计数规则，注意排除重复统计的场次即可快速得出正确结论。
【难度系数】
0.8
3.若关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程，则$m + n =$
2
。答案
3.2
解析
【分析】
要解决本题，需紧扣一元二次方程的定义分析：一元二次方程需满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且最高次项系数不为0。首先方程中存在三次项$mx^3$，要满足最高次数为2，需令三次项系数为0消去三次项；再令剩余项的最高次数为2，即可求出m、n的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 三次项系数为0，即$m=0$，且未知数的最高次数为2，即$n=2$
∴ $m+n=0+2=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握一元二次方程的判定要点，既要保证未知数最高次数为2，也要注意次数高于2的项的系数必须为0，避免忽略高次项系数的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
要解决本题，需紧扣一元二次方程的定义分析：一元二次方程需满足三个条件：①只含1个未知数；②未知数的最高次数为2；③是整式方程，且最高次项系数不为0。首先方程中存在三次项$mx^3$，要满足最高次数为2，需令三次项系数为0消去三次项；再令剩余项的最高次数为2，即可求出m、n的值，最后计算$m+n$即可。
【解析】
∵ 关于$x$的方程$mx^3 + 2x^n - 3x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 三次项系数为0，即$m=0$，且未知数的最高次数为2，即$n=2$
∴ $m+n=0+2=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确把握一元二次方程的判定要点，既要保证未知数最高次数为2，也要注意次数高于2的项的系数必须为0，避免忽略高次项系数的限制条件出错。
【难度系数】
0.8
4. 已知2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根，则实数k的值是
-2
。答案
4.$-2$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路为：根据方程根的定义，若一个数是一元二次方程的根，则将这个数代入方程后，方程左右两边相等。因此只需将已知根x=2代入原方程，即可得到只含未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的值。
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根
∴将x=2代入方程得：$2^2 - 3×2 - k = 0$
计算得：$4 - 6 - k = 0$
化简得：$-2 - k = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是对一元二次方程根的概念的理解，掌握“方程的根满足方程”这一要点就能快速求解，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路为：根据方程根的定义，若一个数是一元二次方程的根，则将这个数代入方程后，方程左右两边相等。因此只需将已知根x=2代入原方程，即可得到只含未知数k的一元一次方程，解该方程就能求出k的值。
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程$x^2 - 3x - k = 0$的一个根
∴将x=2代入方程得：$2^2 - 3×2 - k = 0$
计算得：$4 - 6 - k = 0$
化简得：$-2 - k = 0$
解得：$k = -2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心是对一元二次方程根的概念的理解，掌握“方程的根满足方程”这一要点就能快速求解，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.9
5.若关于$x$的一元二次方程$(x+2)^2 = m(2x+1)$中不含一次项，则实数$m$的值是________。
答案
5.2
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确“方程不含一次项”的含义：将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）后，一次项系数$b=0$。解题可按三步展开：第一步先将原方程展开、移项，整理为一般形式；第二步提取一次项系数，令其等于0；第三步解关于$m$的一元一次方程，即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x+2)^2&=m(2x+1)\\x^2+4x+4&=2mx+m\\x^2+4x+4-2mx-m&=0\\x^2+(4-2m)x+(4-m)&=0\end{aligned}$
因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$4-2m=0$
解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.多项式不含某项的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是先把方程化为标准的一元二次方程形式，明确“不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确“方程不含一次项”的含义：将方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）后，一次项系数$b=0$。解题可按三步展开：第一步先将原方程展开、移项，整理为一般形式；第二步提取一次项系数，令其等于0；第三步解关于$m$的一元一次方程，即可求出$m$的值。
【解析】
首先将原方程展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$\begin{aligned}(x+2)^2&=m(2x+1)\\x^2+4x+4&=2mx+m\\x^2+4x+4-2mx-m&=0\\x^2+(4-2m)x+(4-m)&=0\end{aligned}$
因为方程不含一次项，所以一次项系数为0，即：
$4-2m=0$
解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
1.一元二次方程的一般形式
2.多项式不含某项的条件
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是先把方程化为标准的一元二次方程形式，明确“不含某一项”等价于该项的系数为0，掌握基本概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.若$m$是一元二次方程$3x^2 + 2x - 1 = 0$的一个根,求代数式$(m+1)^2 - (m+2)·(m-2)+3m^2$的值.
答案
6.【解】$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore 3m^2 + 2m - 1 = 0$,即 $3m^2 + 2m = 1$.
$\therefore (m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2 = 3m^2 + 2m + 5 = 1 + 5 = 6$.
$\therefore 3m^2 + 2m - 1 = 0$,即 $3m^2 + 2m = 1$.
$\therefore (m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2 = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2 = 3m^2 + 2m + 5 = 1 + 5 = 6$.
解析
【分析】
解题时首先结合一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，将其代入方程等式成立，因此可得到关于m的等式$3m^2+2m=1$。观察待求代数式，直接解方程求m代入计算步骤繁琐，所以先对代数式进行整式化简，去括号、合并同类项后，可发现化简结果恰好包含$3m^2+2m$的结构，此时将已得的$3m^2+2m=1$整体代入，就能快速算出结果，避免解方程的复杂步骤。
【解析】
解：$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得 $3m^2 + 2m - 1 = 0$，即 $3m^2 + 2m = 1$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&(m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2\\=&3m^2 + 2m + 5\end{aligned}$
将$3m^2 + 2m = 1$代入化简后的式子，得：
原式$=1 + 5 = 6$。
【答案】
$6$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，解题核心是熟练应用一元二次方程根的定义，灵活运用整体代入思想，无需计算m的具体值即可简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合一元二次方程根的定义思考：若一个数是方程的根，将其代入方程等式成立，因此可得到关于m的等式$3m^2+2m=1$。观察待求代数式，直接解方程求m代入计算步骤繁琐，所以先对代数式进行整式化简，去括号、合并同类项后，可发现化简结果恰好包含$3m^2+2m$的结构，此时将已得的$3m^2+2m=1$整体代入，就能快速算出结果，避免解方程的复杂步骤。
【解析】
解：$\because m$ 是一元二次方程 $3x^2 + 2x - 1 = 0$ 的一个根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得 $3m^2 + 2m - 1 = 0$，即 $3m^2 + 2m = 1$。
化简代数式：
$\begin{aligned}&(m+1)^2 - (m+2)(m-2) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4) + 3m^2\\=&m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4 + 3m^2\\=&3m^2 + 2m + 5\end{aligned}$
将$3m^2 + 2m = 1$代入化简后的式子，得：
原式$=1 + 5 = 6$。
【答案】
$6$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值类的常见题型，解题核心是熟练应用一元二次方程根的定义，灵活运用整体代入思想，无需计算m的具体值即可简化运算，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
