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8. 已知$2^a = 5$，$4^b = 7$，则$2^{a + 2b}$的值是 （
A.35
B.19
C.12
D.10
A
）A.35
B.19
C.12
D.10
答案
8.A 【解析】因为$2^a=5$，$4^b=7$，所以$2^{a+2b}=2^a · 2^{2b}=2^a · (2^2)^b=2^a · 4^b=5×7=35$。
解析
【分析】
解题时先观察所求式子$2^{a+2b}$的指数是两个数相加的形式，首先想到逆用同底数幂的乘法法则，把它拆成两个同底数幂相乘的形式：$2^a · 2^{2b}$。再看拆分后的$2^{2b}$，已知条件里有$4^b=7$，而4恰好是$2^2$，所以逆用幂的乘方法则，把$2^{2b}$转化为$(2^2)^b=4^b$，这样就能直接代入已知的数值计算结果了。
【解析】
根据幂的运算法则逆用变形：
$\begin{aligned}2^{a+2b}&=2^a · 2^{2b} \quad \mathrm{（逆用同底数幂的乘法法则）} \\&=2^a · (2^2)^b \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则）} \\&=2^a · 4^b\end{aligned}$
已知$2^a=5$，$4^b=7$，代入得：
$2^a · 4^b=5 × 7=35$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方
3. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题型，核心考查对幂的运算法则的灵活运用能力，解题关键是熟练掌握公式的正向和逆向推导，将待求式子转化为含已知条件的形式后直接代入计算。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求式子$2^{a+2b}$的指数是两个数相加的形式，首先想到逆用同底数幂的乘法法则，把它拆成两个同底数幂相乘的形式：$2^a · 2^{2b}$。再看拆分后的$2^{2b}$，已知条件里有$4^b=7$，而4恰好是$2^2$，所以逆用幂的乘方法则，把$2^{2b}$转化为$(2^2)^b=4^b$，这样就能直接代入已知的数值计算结果了。
【解析】
根据幂的运算法则逆用变形：
$\begin{aligned}2^{a+2b}&=2^a · 2^{2b} \quad \mathrm{（逆用同底数幂的乘法法则）} \\&=2^a · (2^2)^b \quad \mathrm{（逆用幂的乘方法则）} \\&=2^a · 4^b\end{aligned}$
已知$2^a=5$，$4^b=7$，代入得：
$2^a · 4^b=5 × 7=35$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂的乘方
3. 幂的运算逆用
【点评】
本题是幂的运算模块的典型基础题型，核心考查对幂的运算法则的灵活运用能力，解题关键是熟练掌握公式的正向和逆向推导，将待求式子转化为含已知条件的形式后直接代入计算。
【难度系数】
0.8
9.若$x^n=2,y^n=3$,则$(xy)^{2n}=$
36
.答案
9.36 【解析】$(xy)^{2n}=(x^ny^n)^2=(2×3)^2=36$。
解析
【分析】
解题时先观察所求式子和已知条件的关联，我们可以借助幂的相关运算法则对所求式变形：首先逆用幂的乘方法则，把$(xy)^{2n}$转化为$[(xy)^n]^2$；再逆用积的乘方法则，把$(xy)^n$拆分为$x^n · y^n$，变形后的式子恰好包含已知的$x^n$和$y^n$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的乘方与积的乘方的运算法则：
$(xy)^{2n} = [(xy)^n]^2$（幂的乘方逆运算：$a^{mn}=(a^m)^n$）
$= (x^n · y^n)^2$（积的乘方运算：$(ab)^n=a^n b^n$）
将$x^n=2$，$y^n=3$代入得：
原式$=(2×3)^2 = 6^2 = 36$
【答案】
36
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的灵活运用，尤其是逆用幂的运算性质对所求代数式变形的能力，熟练掌握各类幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
解题时先观察所求式子和已知条件的关联，我们可以借助幂的相关运算法则对所求式变形：首先逆用幂的乘方法则，把$(xy)^{2n}$转化为$[(xy)^n]^2$；再逆用积的乘方法则，把$(xy)^n$拆分为$x^n · y^n$，变形后的式子恰好包含已知的$x^n$和$y^n$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：根据幂的乘方与积的乘方的运算法则：
$(xy)^{2n} = [(xy)^n]^2$（幂的乘方逆运算：$a^{mn}=(a^m)^n$）
$= (x^n · y^n)^2$（积的乘方运算：$(ab)^n=a^n b^n$）
将$x^n=2$，$y^n=3$代入得：
原式$=(2×3)^2 = 6^2 = 36$
【答案】
36
【知识点】
积的乘方运算；幂的乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查幂的运算法则的灵活运用，尤其是逆用幂的运算性质对所求代数式变形的能力，熟练掌握各类幂的运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.85
10. 用简便方法计算下列各题：
(1) $-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$；
(2) $2^4 × 4^5 × (\frac{1}{8})^4$。
(1) $-2^{100} × 0.5^{100} × (-1)^{99}$；
(2) $2^4 × 4^5 × (\frac{1}{8})^4$。
答案
(1) 原式$=-(2×0.5)^{100}×(-1)=-1×(-1)=1$。
(2) 原式$=4×(2×4×\frac{1}{8})^4=4×1=4$。
(2) 原式$=4×(2×4×\frac{1}{8})^4=4×1=4$。
解析
【分析】
这两道题均利用积的乘方的逆运算进行简便计算，解题思路如下：
(1) 观察算式发现2和0.5互为倒数，乘积为1，且二者的指数均为100，符合积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$的形式，先将同指数的幂合并计算，再处理乘方的符号即可快速求解，无需计算高次幂。
(2) 算式中存在指数4和5，先将$4^5$拆分为$4×4^4$，使所有幂的指数统一为4，再利用积的乘方逆运算，将底数2、4、$\frac{1}{8}$合并计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 先逆用积的乘方公式合并同指数幂，再计算符号：
原式$=-(2×0.5)^{100}×(-1)$
$=-1^{100}×(-1)$
$=-1×(-1)$
$=1$
(2) 先拆分高次幂统一指数，再逆用积的乘方公式计算：
原式$=2^4 × 4^5 × (\frac{1}{8})^4$
$=2^4 × 4×4^4 × (\frac{1}{8})^4$
$=4×(2×4×\frac{1}{8})^4$
$=4×1^4$
$=4×1$
$=4$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的符号法则、幂的变形
【点评】
本题是幂的运算类简便计算的常见题型，核心考点是积的乘方逆运算的灵活应用，解题关键是观察底数的特点，通过统一指数将乘积为特殊值（如1）的底数合并计算，大幅降低高次幂的计算难度，同时要注意运算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.8
这两道题均利用积的乘方的逆运算进行简便计算，解题思路如下：
(1) 观察算式发现2和0.5互为倒数，乘积为1，且二者的指数均为100，符合积的乘方逆运算$a^n·b^n=(ab)^n$的形式，先将同指数的幂合并计算，再处理乘方的符号即可快速求解，无需计算高次幂。
(2) 算式中存在指数4和5，先将$4^5$拆分为$4×4^4$，使所有幂的指数统一为4，再利用积的乘方逆运算，将底数2、4、$\frac{1}{8}$合并计算，简化运算过程。
【解析】
(1) 先逆用积的乘方公式合并同指数幂，再计算符号：
原式$=-(2×0.5)^{100}×(-1)$
$=-1^{100}×(-1)$
$=-1×(-1)$
$=1$
(2) 先拆分高次幂统一指数，再逆用积的乘方公式计算：
原式$=2^4 × 4^5 × (\frac{1}{8})^4$
$=2^4 × 4×4^4 × (\frac{1}{8})^4$
$=4×(2×4×\frac{1}{8})^4$
$=4×1^4$
$=4×1$
$=4$
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
积的乘方逆运算、乘方的符号法则、幂的变形
【点评】
本题是幂的运算类简便计算的常见题型，核心考点是积的乘方逆运算的灵活应用，解题关键是观察底数的特点，通过统一指数将乘积为特殊值（如1）的底数合并计算，大幅降低高次幂的计算难度，同时要注意运算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.8
11. 求代数式的值：
$(-x)^{3} · (x^{2})^{5} · x - (-x^{4})^{2} · x^{6}$，其中$x=-1$。
$(-x)^{3} · (x^{2})^{5} · x - (-x^{4})^{2} · x^{6}$，其中$x=-1$。
答案
原式$=-x^3 · x^{10} · x - x^8 · x^6=-x^{14}-x^{14}=-2x^{14}$。当$x=-1$时，原式$=-2x^{14}=-2×(-1)^{14}=-2$。
解析
【分析】
本题属于代数式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先利用幂的运算法则化简原式，第二步将x=-1代入化简后的式子计算结果。化简时需注意三点：①运用幂的乘方法则时，底数不变指数相乘；②运用同底数幂的乘法法则时，底数不变指数相加；③负数的奇次幂为负、偶次幂为正，处理符号时要细心。先化简再代入可以减少计算量，比直接代入数值计算更简便，准确率更高。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(-x)^{3} · (x^{2})^{5} · x - (-x^{4})^{2} · x^{6}&=-x^3·x^{10}·x - x^8·x^6\\&=-x^{3+10+1} - x^{8+6}\\&=-x^{14}-x^{14}\\&=-2x^{14}\end{aligned}$
将$x=-1$代入化简后的式子：
原式$=-2×(-1)^{14}=-2×1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的掌握与应用，解题的关键是准确处理运算过程中的符号问题，熟练运用幂的相关运算性质，先化简后代入求值的思路能有效提升解题效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
本题属于代数式化简求值类题目，解题思路分为两步：第一步先利用幂的运算法则化简原式，第二步将x=-1代入化简后的式子计算结果。化简时需注意三点：①运用幂的乘方法则时，底数不变指数相乘；②运用同底数幂的乘法法则时，底数不变指数相加；③负数的奇次幂为负、偶次幂为正，处理符号时要细心。先化简再代入可以减少计算量，比直接代入数值计算更简便，准确率更高。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}(-x)^{3} · (x^{2})^{5} · x - (-x^{4})^{2} · x^{6}&=-x^3·x^{10}·x - x^8·x^6\\&=-x^{3+10+1} - x^{8+6}\\&=-x^{14}-x^{14}\\&=-2x^{14}\end{aligned}$
将$x=-1$代入化简后的式子：
原式$=-2×(-1)^{14}=-2×1=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方；代数式求值
【点评】
本题重点考查幂的运算法则的掌握与应用，解题的关键是准确处理运算过程中的符号问题，熟练运用幂的相关运算性质，先化简后代入求值的思路能有效提升解题效率，减少计算错误。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a^{2n+1}=5$，$a^n=2$，求a的值.
答案
因为$a^{2n+1}=a^{2n} · a=(a^n)^2 · a=4a=5$，所以$a=\frac{5}{4}$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知两个幂的指数特征，思考如何建立未知量a与已知条件的联系：第一步根据同底数幂乘法的逆运算，将指数2n+1拆分为2n+1，把a^{2n+1}转化为a^{2n}·a的形式；第二步根据幂的乘方的逆运算，将a^{2n}转化为(a^n)^2的形式，此时式子中就出现了已知的a^n，代入数值后就能得到只含a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：由同底数幂乘法的逆运算可得：
$a^{2n+1}=a^{2n} · a$
由幂的乘方的逆运算可得：
$a^{2n}=(a^n)^2$
将$a^n=2$代入上式得：
$a^{2n+1}=(a^n)^2 · a=2^2 · a=4a$
已知$a^{2n+1}=5$，因此有$4a=5$，解得$a=\frac{5}{4}$。
【答案】
$a=\frac{5}{4}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的逆用，解题关键是学会拆分指数，将待求式转化为包含已知条件的形式代入计算，熟练掌握幂的运算法则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知两个幂的指数特征，思考如何建立未知量a与已知条件的联系：第一步根据同底数幂乘法的逆运算，将指数2n+1拆分为2n+1，把a^{2n+1}转化为a^{2n}·a的形式；第二步根据幂的乘方的逆运算，将a^{2n}转化为(a^n)^2的形式，此时式子中就出现了已知的a^n，代入数值后就能得到只含a的一元一次方程，求解即可得到a的值。
【解析】
解：由同底数幂乘法的逆运算可得：
$a^{2n+1}=a^{2n} · a$
由幂的乘方的逆运算可得：
$a^{2n}=(a^n)^2$
将$a^n=2$代入上式得：
$a^{2n+1}=(a^n)^2 · a=2^2 · a=4a$
已知$a^{2n+1}=5$，因此有$4a=5$，解得$a=\frac{5}{4}$。
【答案】
$a=\frac{5}{4}$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题侧重考查幂的运算性质的逆用，解题关键是学会拆分指数，将待求式转化为包含已知条件的形式代入计算，熟练掌握幂的运算法则就能快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 已知 $32^m = 4 × 2^{2n - 1}$，$3^n = 9^m$，求 $m,n$ 的值.
答案
因为$32^m=4×2^{2n-1}$，所以$2^{5m}=2^2×2^{2n-1}=2^{2n+1}$，所以$5m=2n+1$。因为$3^n=9^m$，所以$3^n=3^{2m}$，所以$n=2m$。解$\begin{cases}5m=2n+1,\\n=2m,\end{cases}$得$\begin{cases}m=1,\\n=2.\end{cases}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用幂的运算性质把等式两边转化为同底数幂，再根据“同底数幂相等，则指数相等”得到关于m、n的等量关系，联立成方程组求解即可。首先处理第一个等式：32和4都可以写成以2为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则合并右侧的项，得到第一个方程；再处理第二个等式：9可以写成以3为底的幂，得到第二个方程；最后联立两个方程解二元一次方程组就能得到m、n的值。
【解析】
因为$32^m = 4 × 2^{2n - 1}$，将32转化为$2^5$，4转化为$2^2$，所以等式可变形为：
$2^{5m}=2^2×2^{2n-1}$
根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，右侧合并得$2^{2 + 2n -1}=2^{2n+1}$，因此可得：
$5m = 2n + 1$ ①
又因为$3^n = 9^m$，将9转化为$3^2$，所以等式可变形为：
$3^n=3^{2m}$，因此可得：
$n=2m$ ②
将②代入①中，得：
$5m=2×2m +1$
解得$m=1$，再将$m=1$代入②，得$n=2×1=2$。
【答案】
$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算与方程结合的典型基础题，解题核心是利用幂的运算性质将异底数幂转化为同底数幂，进而建立关于未知参数的等量关系，熟练掌握幂的相关运算性质是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以利用幂的运算性质把等式两边转化为同底数幂，再根据“同底数幂相等，则指数相等”得到关于m、n的等量关系，联立成方程组求解即可。首先处理第一个等式：32和4都可以写成以2为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则合并右侧的项，得到第一个方程；再处理第二个等式：9可以写成以3为底的幂，得到第二个方程；最后联立两个方程解二元一次方程组就能得到m、n的值。
【解析】
因为$32^m = 4 × 2^{2n - 1}$，将32转化为$2^5$，4转化为$2^2$，所以等式可变形为：
$2^{5m}=2^2×2^{2n-1}$
根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”，右侧合并得$2^{2 + 2n -1}=2^{2n+1}$，因此可得：
$5m = 2n + 1$ ①
又因为$3^n = 9^m$，将9转化为$3^2$，所以等式可变形为：
$3^n=3^{2m}$，因此可得：
$n=2m$ ②
将②代入①中，得：
$5m=2×2m +1$
解得$m=1$，再将$m=1$代入②，得$n=2×1=2$。
【答案】
$\begin{cases}m=1\\n=2\end{cases}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；解二元一次方程组
【点评】
本题是幂的运算与方程结合的典型基础题，解题核心是利用幂的运算性质将异底数幂转化为同底数幂，进而建立关于未知参数的等量关系，熟练掌握幂的相关运算性质是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
14. 比较大小：
(1) 比较$3^{55},4^{44},5^{33}$的大小；
(2) 已知$a=16^6,b=8^9,c=4^{13}$，试比较a,b,c的大小。
(1) 比较$3^{55},4^{44},5^{33}$的大小；
(2) 已知$a=16^6,b=8^9,c=4^{13}$，试比较a,b,c的大小。
答案
(1)$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。因为$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。
(2)$a=16^6=(2^4)^6=2^{24}$，$b=8^9=(2^3)^9=2^{27}$，$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}$。因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
(2)$a=16^6=(2^4)^6=2^{24}$，$b=8^9=(2^3)^9=2^{27}$，$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}$。因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
解析
【分析】
这两道题均为幂的大小比较类问题，解题核心是逆用幂的乘方性质，将不同底数、不同指数的幂转化为同指数或同底数的幂后再比较大小。第(1)题观察可得三个幂的指数都是11的倍数，因此可统一指数为11，通过比较底数大小判断幂的大小；第(2)题三个幂的底数都是2的整数次幂，因此可统一底数为2，通过比较指数大小判断幂的大小。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方公式将三个幂的指数统一为11：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。
指数相同时，底数越大幂越大，因为$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。
(2) 逆用幂的乘方公式将三个幂的底数统一为2：
$a=16^6=(2^4)^6=2^{24}$，
$b=8^9=(2^3)^9=2^{27}$，
$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}$。
底数大于1时，指数越大幂越大，因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
【答案】
(1)$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$；(2)$a＜c＜b$
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型常考题，重点考查幂的乘方性质的逆用，解题的关键是根据式子的特征灵活选择统一底数或统一指数的转化方法。
【难度系数】
0.7
这两道题均为幂的大小比较类问题，解题核心是逆用幂的乘方性质，将不同底数、不同指数的幂转化为同指数或同底数的幂后再比较大小。第(1)题观察可得三个幂的指数都是11的倍数，因此可统一指数为11，通过比较底数大小判断幂的大小；第(2)题三个幂的底数都是2的整数次幂，因此可统一底数为2，通过比较指数大小判断幂的大小。
【解析】
(1) 逆用幂的乘方公式将三个幂的指数统一为11：
$3^{55}=(3^5)^{11}=243^{11}$，
$4^{44}=(4^4)^{11}=256^{11}$，
$5^{33}=(5^3)^{11}=125^{11}$。
指数相同时，底数越大幂越大，因为$125＜243＜256$，所以$125^{11}＜243^{11}＜256^{11}$，即$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$。
(2) 逆用幂的乘方公式将三个幂的底数统一为2：
$a=16^6=(2^4)^6=2^{24}$，
$b=8^9=(2^3)^9=2^{27}$，
$c=4^{13}=(2^2)^{13}=2^{26}$。
底数大于1时，指数越大幂越大，因为$24＜26＜27$，所以$2^{24}＜2^{26}＜2^{27}$，即$a＜c＜b$。
【答案】
(1)$5^{33}＜3^{55}＜4^{44}$；(2)$a＜c＜b$
【知识点】
幂的乘方运算、幂的大小比较
【点评】
本题是幂的运算模块的典型常考题，重点考查幂的乘方性质的逆用，解题的关键是根据式子的特征灵活选择统一底数或统一指数的转化方法。
【难度系数】
0.7
