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10. 观察下列单项式：$-x,3x^2,-5x^3,7x^4,···,-37x^{19},39x^{20}···$回答下列问题：
(1)这组单项式的系数的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第$n$个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想,写出第2023和2024个单项式。
(1)这组单项式的系数的规律是什么？
(2)这组单项式的次数的规律是什么？
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第$n$个单项式是什么吗？
(4)请你根据猜想,写出第2023和2024个单项式。
答案
解：
(1) 这组单项式的系数符号规律为：奇数项系数为负，偶数项系数为正；系数的绝对值是从1开始的连续奇数，第n个单项式的系数绝对值为$2n-1$。
(2) 这组单项式的次数是从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 当$n=2023$时，代入得第2023个单项式为$(-1)^{2023}×(2×2023-1)x^{2023}=-4045x^{2023}$；
当$n=2024$时，代入得第2024个单项式为$(-1)^{2024}×(2×2024-1)x^{2024}=4047x^{2024}$。
(1) 这组单项式的系数符号规律为：奇数项系数为负，偶数项系数为正；系数的绝对值是从1开始的连续奇数，第n个单项式的系数绝对值为$2n-1$。
(2) 这组单项式的次数是从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 当$n=2023$时，代入得第2023个单项式为$(-1)^{2023}×(2×2023-1)x^{2023}=-4045x^{2023}$；
当$n=2024$时，代入得第2024个单项式为$(-1)^{2024}×(2×2024-1)x^{2024}=4047x^{2024}$。
解析
【分析】
解决这类单项式规律探究题，可拆分三个部分逐一分析：①先看系数的符号：观察可得奇数项为负，偶数项为正，可用乘方的符号规律表示；②再看系数的绝对值：1、3、5、7……是从1开始的连续奇数，第n个的绝对值可表示为2n-1；③最后看x的次数：第1项次数为1，第2项为2，依次递增，第n个的次数就是n。将三部分规律整合即可得到第n个单项式的通用表达式，再代入对应n的值就能求出指定项。
【解析】
(1) 观察系数规律：符号上，奇数项系数为负，偶数项系数为正；系数的绝对值是从1开始的连续奇数，第n个单项式的系数绝对值为$2n-1$。
(2) 观察次数规律：单项式的次数是从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 结合三部分规律：符号用$(-1)^n$控制（n为奇数时结果为负，n为偶数时结果为正），系数绝对值为$2n-1$，x的次数为$n$，因此第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 求第2023个单项式：把$n=2023$代入通式，得：
$(-1)^{2023}×(2×2023-1)x^{2023}=-4045x^{2023}$
求第2024个单项式：把$n=2024$代入通式，得：
$(-1)^{2024}×(2×2024-1)x^{2024}=4047x^{2024}$
【答案】
(1) 奇数项系数为负，偶数项系数为正，系数的绝对值为$2n-1$（n为正整数）；
(2) 次数为从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为n；
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$；
(4) 第2023个单项式为$-4045x^{2023}$，第2024个单项式为$4047x^{2024}$。
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题关键是将单项式拆分为符号、系数绝对值、次数三个模块分别找规律，再整合得到通式，代入求值时注意准确判断符号，能够较好地考察学生的观察归纳能力和代数式表达能力。
【难度系数】
0.7
解决这类单项式规律探究题，可拆分三个部分逐一分析：①先看系数的符号：观察可得奇数项为负，偶数项为正，可用乘方的符号规律表示；②再看系数的绝对值：1、3、5、7……是从1开始的连续奇数，第n个的绝对值可表示为2n-1；③最后看x的次数：第1项次数为1，第2项为2，依次递增，第n个的次数就是n。将三部分规律整合即可得到第n个单项式的通用表达式，再代入对应n的值就能求出指定项。
【解析】
(1) 观察系数规律：符号上，奇数项系数为负，偶数项系数为正；系数的绝对值是从1开始的连续奇数，第n个单项式的系数绝对值为$2n-1$。
(2) 观察次数规律：单项式的次数是从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为$n$。
(3) 结合三部分规律：符号用$(-1)^n$控制（n为奇数时结果为负，n为偶数时结果为正），系数绝对值为$2n-1$，x的次数为$n$，因此第$n$个单项式为$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 求第2023个单项式：把$n=2023$代入通式，得：
$(-1)^{2023}×(2×2023-1)x^{2023}=-4045x^{2023}$
求第2024个单项式：把$n=2024$代入通式，得：
$(-1)^{2024}×(2×2024-1)x^{2024}=4047x^{2024}$
【答案】
(1) 奇数项系数为负，偶数项系数为正，系数的绝对值为$2n-1$（n为正整数）；
(2) 次数为从1开始的连续正整数，第n个单项式的次数为n；
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$；
(4) 第2023个单项式为$-4045x^{2023}$，第2024个单项式为$4047x^{2024}$。
【知识点】
单项式的概念，数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础题型，解题关键是将单项式拆分为符号、系数绝对值、次数三个模块分别找规律，再整合得到通式，代入求值时注意准确判断符号，能够较好地考察学生的观察归纳能力和代数式表达能力。
【难度系数】
0.7
