1. (2025 山东临沂临沭县期中)在代数式$\frac{2}{x}$，$x^2+x-\frac{2}{3}$，$\frac{x+2}{2}$，$\frac{y^3+y^2-2}{y}$，$x$，$0$，$\frac{1}{2}yx^2$中，单项式有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1. C

【分析】
要解决本题，首先需要明确单项式的定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；另外需要注意，分母中含有字母的代数式是分式，不属于整式，因此一定不是单项式。解题时只需逐个判断给出的代数式是否符合单项式的定义，统计符合条件的个数即可选出正确选项。
【解析】
首先回忆单项式的判定规则：① 只含数与字母的乘积运算，不含加减运算；② 分母中不能含有字母；③ 单独的数、单独的字母都是单项式。
逐个分析给出的代数式：
1. $\frac{2}{x}$：分母含字母$x$，属于分式，不是单项式；
2. $x^2+x-\frac{2}{3}$：含有加法、减法运算，是几个单项式的和，属于多项式，不是单项式；
3. $\frac{x+2}{2}=\frac{x}{2}+1$：含有加法运算，属于多项式，不是单项式；
4. $\frac{y^3+y^2-2}{y}$：分母含字母$y$，属于分式，不是单项式；
5. $x$：单独的字母，是单项式；
6. $0$：单独的数，是单项式；
7. $\frac{1}{2}yx^2$：是数$\frac{1}{2}$与字母$y、x^2$的乘积，是单项式。
综上，符合条件的单项式共有3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对单项式判定标准的掌握，易错点是容易误将分母含字母的代数式、含加减运算的整式判定为单项式，或漏判单独的数、单独的字母为单项式，解题时需严格按照定义逐一排查即可。
【难度系数】
0.7

2. 下列各组代数式中，全是单项式的一组是（）

A.$2xy, \frac{x-1}{3}, a$
B.$\frac{x}{π}, -2, \frac{a^2b}{3}$
C.$\frac{1}{x}, x^2y, -m$
D.$x+y, xyz, 2a^2$

2. B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式的判定规则：①由数和字母的乘积组成的代数式是单项式，单独的一个数或单独的一个字母也属于单项式；②单项式中不能含有加、减运算；③单项式的分母中不能含有字母（注意π是常数，不属于字母）。解题时我们逐一排查每个选项中的三个代数式，只要某选项存在一个不符合单项式定义的代数式，即可排除该选项，最终选出全部是单项式的组别。
【解析】
首先明确单项式的定义：数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，且单项式不含加减运算，分母不含字母。
选项A：$\frac{x-1}{3}$可变形为$\frac{x}{3}-\frac{1}{3}$，含有减法运算，属于多项式，不符合要求，排除A；
选项B：$\frac{x}{π}$中π是常数，属于数与字母的乘积，是单项式；-2是单独的数，是单项式；$\frac{a^2b}{3}$是数与字母的乘积，是单项式，三个均为单项式，符合要求；
选项C：$\frac{1}{x}$的分母含有字母x，不属于单项式，排除C；
选项D：$x+y$含有加法运算，属于多项式，不符合要求，排除D。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单项式的定义
2. 整式的判定
【点评】
本题核心考查对单项式概念的掌握程度，解题的易错点在于容易误将π当作字母、误将分母含字母的式子判定为单项式，或忽略含加减运算的式子属于多项式，解题时只要牢记单项式的判定标准即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8

3. (2025 黑龙江哈尔滨双城区期末) 单项式$-\dfrac{3^2 x^3 y^2}{4}$的系数和次数分别是 ()

A.$-\dfrac{3}{4},7$
B.$-\dfrac{9}{4},5$
C.$-3,7$
D.$-3,5$

3. B

【分析】
要解决这道题，首先需要明确单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是指单项式中的数字因数；②单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和，注意数字的指数不算入次数。解题时第一步先计算数字部分的取值，确定系数；第二步统计所有字母的指数相加得到次数，再对应选项判断即可。
【解析】
首先计算单项式的系数：
单项式中的数字部分为$-\dfrac{3^2}{4}$，计算得$3^2=9$，因此数字因数为$-\dfrac{9}{4}$，即该单项式的系数是$-\dfrac{9}{4}$。
再计算单项式的次数：
单项式里的字母是x和y，x的指数是3，y的指数是2，次数为所有字母指数之和，即$3+2=5$。
综上，该单项式的系数是$-\dfrac{9}{4}$，次数是5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题是单项式概念的基础考查题，易错点是容易将数字部分3的指数2计入单项式的次数，或者错误计算系数为$-\dfrac{3}{4}$，解题时注意区分数字的指数和字母的指数即可。
【难度系数】
0.7

4. ❶易错 $-2π a^2b$ 的系数是，次数是。

4. -2π;3

【分析】
解题时首先回忆单项式系数和次数的定义：①单项式的系数是单项式中的数字因数；②单项式的次数是单项式中所有字母的指数之和。思考时注意两个易错点：一是π是常数，不属于字母，不能算在次数里，要归入系数部分；二是单独出现的字母，默认指数为1，计算次数时不要遗漏。首先提取数字部分得到系数，再累加所有字母的指数得到次数即可。
【解析】
根据单项式系数、次数的定义：
1. 确定系数：单项式$-2π a^2b$中的数字因数为$-2π$，因此系数是$-2π$；
2. 计算次数：单项式中的字母为$a$和$b$，$a$的指数是2，$b$的指数是1，所有字母指数的和为$2+1=3$，因此次数是3。
【答案】
$-2π$；$3$
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于单项式概念的基础考查题，易错点在于容易误将π当作字母参与次数计算，或忽略单独字母的指数为1，牢固掌握基础定义即可避开易错点顺利解题。
【难度系数】
0.7

5. (2026湖北随州随县期中)若单项式$-3x^2y$的系数是$m$,次数是$n$,则$mn$的值是.

5. -9

【分析】
解题时需先回忆单项式的系数和次数的定义，按照两步走的思路计算：第一步先确定单项式的系数m，注意系数要包含数字前的符号；第二步确定单项式的次数n，要计算所有字母的指数之和；最后将m和n相乘即可得到结果。
【解析】
对于单项式$-3x^2y$：
1. 求系数$m$：单项式中的数字因数是$-3$，因此$m=-3$；
2. 求次数$n$：该单项式中$x$的指数是2，$y$的指数是1，所有字母的指数和为$2+1=3$，因此$n=3$；
3. 计算$mn$：$mn=(-3)×3=-9$。
【答案】
-9
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是准确识记单项式系数和次数的定义，需要注意系数要保留原式的符号，计算次数时不要遗漏任意一个字母的指数。
【难度系数】
0.8

6. ！易错 已知$(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x,y$的五次单项式，则$m$的值是。

6. -3

【分析】
要解决这个问题，首先明确单项式的两个核心要求：①单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和；②单项式的系数不能为0，否则整个式子为0，不符合五次单项式的定义。解题时分两步进行：第一步根据次数要求列方程求出m的可能取值，第二步根据系数不为0的隐含条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ $(m-3)xy^{|m|+1}$是关于$x,y$的五次单项式
∴ 先根据单项式次数的定义列方程：
$x$的指数为1，$y$的指数为$|m|+1$，所有字母指数和为5，可得：
$1 + |m| + 1 = 5$
化简得$|m|=3$，解得$m=3$或$m=-3$
再根据单项式系数不为0的要求：
$m-3≠0$，即$m≠3$
排除$m=3$后，可得$m=-3$
【答案】
-3
【知识点】
单项式的次数；单项式的系数；绝对值的运算
【点评】
本题是单项式相关的经典易错题，解题时需要同时满足单项式的次数要求和系数不为0的隐含条件，避免只考虑次数限制忽略系数要求而出现错解。
【难度系数】
0.6

7.若一个单项式满足下列三个条件:①含有字母$x,y,z$;②系数为$-3$;③次数为5,则符合上述要求的单项式共有 ()

A.2个
B.4个
C.6个
D.8个

7. C 解析 同时满足条件①②③的单项式有$-3x^3yz$,$-3xy^3z$,$-3xyz^3$,$-3x^2yz^2$,$-3x^2y^2z$,$-3xy^2z^2$,共有6个.故选C.

【分析】
要解决这道题，首先回忆单项式的系数和次数的定义：系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和。题目已确定系数为-3，且必须包含x、y、z三个字母，说明每个字母的指数都至少是1，同时三个字母的指数相加等于5。接下来只需分类列举所有满足“三个正整数相加和为5”的指数组合，计算每种组合对应的单项式个数，相加即可得到总个数。
【解析】
根据单项式的相关定义，符合要求的单项式数字部分为-3，且x、y、z的指数均为正整数，三个字母的指数之和为5，分两类讨论：
1. 指数组合为3、1、1：选择哪个字母的指数为3共有3种情况，对应单项式为$-3x^3yz$、$-3xy^3z$、$-3xyz^3$，共3个；
2. 指数组合为2、2、1：选择哪个字母的指数为1共有3种情况，对应单项式为$-3x^2y^2z$、$-3x^2yz^2$、$-3xy^2z^2$，共3个。
总共有$3+3=6$个符合要求的单项式，故选C。
【答案】C
【知识点】
单项式的系数；单项式的次数；分类讨论
【点评】
本题考查对单项式相关概念的掌握，解题关键是明确三个字母都要包含，即每个字母的指数不能为0，通过有序分类列举指数组合即可得出答案，解题时要注意避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.6

8. 根据下列情境列出的代数式是单项式的是
（）

A.一根长为t m(t＞2)的绳子，剪掉2 m后还剩多少米
B.若每个篮球a元，每个足球b元，则买3个篮球和2个足球共需多少元
C.某种苹果的售价是每千克x元(x＜10)，用50元买5 kg这种苹果，应找回多少元
D.一辆汽车从A地出发，3 h后到达距离A地s km的B地，求这辆汽车的平均速度

8. D

【分析】
解题的核心是先明确单项式的定义：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式，注意单项式中不含加减运算，分母不能含有字母。解题时先逐一列出四个选项对应的代数式，再结合单项式的定义判断哪个符合要求即可。
【解析】
我们先分别列出每个选项对应的代数式，再判断是否为单项式：
A. 剩下的绳子长度为$(t - 2)\ \mathrm{m}$，式子含有减法运算，属于多项式，不是单项式；
B. 买球的总费用为$(3a + 2b)\ \mathrm{元}$，式子含有加法运算，属于多项式，不是单项式；
C. 应找回的钱为$(50 - 5x)\ \mathrm{元}$，式子含有减法运算，属于多项式，不是单项式；
D. 汽车的平均速度为$\frac{s}{3}\ \mathrm{km/h}$，是数$\frac{1}{3}$与字母$s$的乘积，符合单项式的定义，属于单项式。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
列代数式；单项式的判定
【点评】
本题侧重基础概念的考查，只要能准确列出各选项的代数式，牢记单项式的判定规则就能顺利解题，需注意含加减运算的代数式一定不是单项式。
【难度系数】
0.8

9. (1)已知关于 $ x, y $ 的单项式 $-3π x^{2b+1}y^2$ 与 $\dfrac{10xy^3}{7}$ 的次数相同，求 $ b $ 的值；
(2)若 $(m+2)x^{2m} - 2n^2$ 是关于 $ x $ 的四次单项式，求 $ m, n $ 的值，并写出这个单项式。

9. 解:(1)因为关于x,y的单项式$-3πx^{2b+1}y^2$与$\dfrac{10xy^3}{7}$的次数相同,单项式$\dfrac{10xy^3}{7}$的次数是4,所以$2b+1+2=4$,可得$b=\dfrac{1}{2}$.所以b的值为$\dfrac{1}{2}$.
(2)因为$(m+2)x^{2m}-2n^2$是关于x的四次单项式,所以$2m=4$,$n=0$(注意:表示数或字母的积的式子叫作单项式),$m+2≠0$,可得$m=2$,$n=0$.所以这个单项式是$4x^4$.

【分析】
(1) 解题首先要明确单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数和为单项式的次数。已知两个单项式次数相同，先计算出$\dfrac{10xy^3}{7}$的次数，再令$-3π x^{2b+1}y^2$的次数与之相等，列出关于$b$的一元一次方程求解即可。
(2) 式子是关于$x$的四次单项式，需同时满足三个条件：一是$x$的最高次数为4，可列方程求$m$；二是单项式系数不为0，避免式子值为0；三是单项式仅含数与字母的乘积，不能有非零常数项，因此常数项$-2n^2$必须为0，联立三个条件即可求出$m$、$n$的值，代入原式得到对应单项式。
【解析】
(1) 单项式$\dfrac{10xy^3}{7}$中$x$的指数为1，$y$的指数为3，次数为$1+3=4$。
因为两个单项式次数相同，所以$-3π x^{2b+1}y^2$的次数也为4，列方程得：
$2b+1+2=4$
解得$2b=1$，即$b=\dfrac{1}{2}$。
(2) 因为$(m+2)x^{2m} - 2n^2$是关于$x$的四次单项式，因此：
① 最高次数为4：$2m=4$，解得$m=2$；
② 系数不为0：$m+2=2+2=4≠0$，符合要求；
③ 无常数项：$-2n^2=0$，解得$n=0$。
将$m=2$、$n=0$代入原式，得到单项式为$4x^4$。
【答案】
(1) $b=\dfrac{1}{2}$；
(2) $m=2$，$n=0$，这个单项式是$4x^4$。
【知识点】
单项式的定义，单项式的次数，一元一次方程求解
【点评】
本题围绕单项式的核心概念设题，解题关键是准确掌握单项式次数的计算规则，以及单项式不含非零常数项、系数不为0的隐含要求，做题时需梳理全所有限制条件，避免漏看条件出错。
【难度系数】
0.7

10. 新素养·推理能力 观察下列单项式，根据摆放规律，可得第2025个单项式是，第2026个单项式是，从第2025个单项式到第2026个单项式的箭头是（填“→”“↑”或“↓”）。

10. 2 025a²⁰²⁵;-2 026a²⁰²⁶;↓ 解析 由题图可得,第2 025个单项式是2 025a²⁰²⁵,第2 026个单项式是-2 026a²⁰²⁶.箭头方向以↓,→,↑,→为循环节重复出现,2025÷4=506……1,所以从第2 025个单项式到第2 026个单项式的箭头是↓.

【分析】
解决这道题需要分别探究单项式的规律和箭头的循环规律：①先观察已知单项式的系数、次数、符号和对应序号的关系：第1个单项式为$1a^1$，第2个为$-2a^2$，第3个为$3a^3$……可发现单项式的次数、系数的绝对值都等于序号，奇数序号的系数为正，偶数序号的系数为负；②再观察相邻单项式间的箭头：从第1个到第2个箭头为↓，第2到3为→，第3到4为↑，第4到5为→，可知箭头以“↓、→、↑、→”4个为一个循环节重复出现，要求对应箭头只需计算序号除以4的余数即可判断。
【解析】
1. 求第2025、2026个单项式：
根据观察的规律，第n个单项式的次数为n，系数绝对值为n，n为奇数时符号为正，n为偶数时符号为负：
第2025个单项式：2025是奇数，因此为$2025a^{2025}$；
第2026个单项式：2026是偶数，因此为$-2026a^{2026}$。
2. 求第2025个到第2026个单项式的箭头：
箭头循环节为“↓、→、↑、→”，周期为4，计算$2025÷4=506······1$，余数为1，对应循环节的第一个箭头，即↓。
【答案】
$2025a^{2025}$；$-2026a^{2026}$；↓
【知识点】
单项式规律探究；周期循环问题
【点评】
本题侧重考查归纳推理能力，需要分别从数的特征和图形箭头特征两方面找规律，解题的关键是找准规律中序号和对应特征的对应关系，计算周期余数时要明确所求内容对应的周期位置。
【难度系数】
0.65