【例3】如图所示，在$△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ ACB=90°$，$M$是$AB$上一点，$CM=\frac{1}{2}AB$，$D$是$BM$的中点，求证：$CD⊥ AB$。

|思路分析|
思考1:由$∠ A=30°,∠ ACB=90°$,可知$BC$与$AB$有怎样的数量关系？
思考2:由$CM=\frac{1}{2}AB$和思考1中的结论,可知$CM$与$BC$有什么数量关系？
思考3:由$D$是$BM$的中点,结合思考2的结论,能得出$CD⊥ AB$吗？依据是什么？
证明:

证明：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴ $BC=\frac{1}{2}AB$（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
又∵ $CM=\frac{1}{2}AB$，
∴ $CM=BC$，即△CMB为等腰三角形。
∵ D是BM的中点，
∴ CD⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边，等腰三角形三线合一）。

【规律方法】
一看、二想、三作线，构造含$30°$角的
直角三角形
(1)含有$30°$角直接构造直角三角形：如图①；
(2)含有$15°$角看外角：如图②；
(3)含有$60°$角看余角：如图③。

1. $BC=\frac{1}{2}AB$.
2. $CM=BC$.
3. 能得出 $CD ⊥ AB$. 依据是等腰三角形“三线合一”的性质.
证明: 因为$∠ ACB=90°, ∠ A=30°$,
所以 $BC=\frac{1}{2}AB$.
因为 $CM=\frac{1}{2}AB$, 所以 $CM=BC$,
所以$△ CMB$ 是等腰三角形.
又因为 $D$ 是 $BM$ 的中点, 所以 $CD ⊥ AB$.

3.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=30°$,$AD⊥ AB$,垂足为A,交BC于点D,过点D的直线m恰好垂直平分线段AC.若$AD=3$,则BC的长是 ()


A.6
B.9
C.12
D.18

3. B

1.如图,等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF//BC交AB于点E,交AC于点F,那么这个图形中的等腰三角形共有（）


A.4个
B.5个
C.6个
D.7个

1. D