1.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$是$AC$边上两点，$BE⊥ AB$，$BD⊥ BC$，则$BD$是下列哪个三角形的高（）.

A.$△ BCD$
B.$△ ABC$
C.$△ ABE$
D.$△ BDE$

1. A

【分析】
首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。解题时先梳理题目的垂直条件：BD⊥BC，即线段BD与BC的夹角为90°，接下来逐个分析选项，判断BD是否满足对应三角形高的要求即可。
【解析】
根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段为该三角形的高。
已知$BD⊥ BC$，即$∠ CBD=90°$，也就是$DB⊥ BC$：
对$△ BCD$来说，顶点$D$到对边$BC$的垂线段就是$BD$，因此$BD$是$△ BCD$的高，A选项符合要求；
B选项$△ ABC$：没有$BD$垂直于$△ ABC$任意一组对边的条件，不符合；
C选项$△ ABE$：已知$BE⊥ AB$，没有$BD$垂直于$△ ABE$任意一组对边的条件，不符合；
D选项$△ BDE$：没有$BD$垂直于$△ BDE$任意一组对边的条件，不符合。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题是基础概念题，解题关键是准确理解三角形高的定义，结合已知的垂直关系对应判断即可，注意三角形的高可以在三角形内部、外部，也可以和三角形的边重合。
【难度系数】
0.8

2. 如图,如果$BD=DE=EF=FC$,那么$△ ABE$的中线是().

A.AD
B.AE
C.AF
D.以上都是

2. A

【分析】
解题时先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。要确定△ABE的中线，首先需要找到△ABE某条边的中点，再判断连接顶点A和该中点的线段即可。结合已知条件BD=DE=EF=FC，可推出D是BE边的中点，因此连接A和D的线段AD就是△ABE的中线。
【解析】
根据三角形中线的定义：连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线。
在△ABE中，由BD=DE可知，D是边BE的中点，因此连接顶点A和BE中点D的线段AD是△ABE的中线。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线的定义、线段中点的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确理解三角形中线的定义，只要能定位到对应三角形的边及该边的中点，就能快速得出答案，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

3. 如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则下列结论正确的有（）.

①AD平分$∠ BAF$；②AF平分$∠ BAC$；
③AE平分$∠ DAF$；④AF平分$∠ DAC$；
⑤AE平分$∠ BAC$.

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

3. C

【分析】
解题的核心依据是角平分线的定义：若一条射线把一个角分成两个大小相等的角，则这条射线是该角的角平分线。我们结合已知条件$∠1=∠2$、$∠3=∠4$，逐个验证5个结论是否符合角平分线的定义即可。
【解析】
根据角平分线的定义逐一判断：
1. 结论①：若AD平分$∠ BAF$，需满足$∠ BAD=∠ DAF$，即$∠3=∠1+∠2$，题中仅给出$∠1=∠2$，没有说明$∠3$与$∠1+∠2$相等，故①错误；
2. 结论②：若AF平分$∠ BAC$，需满足$∠ BAF=∠ FAC$，即$∠3+∠1+∠2=∠4$，已知$∠3=∠4$，可推得$∠1+∠2=0$，显然不成立，故②错误；
3. 结论③：已知$∠1=∠2$，说明AE将$∠ DAF$分成两个相等的角，因此AE平分$∠ DAF$，故③正确；
4. 结论④：若AF平分$∠ DAC$，需满足$∠ DAF=∠ FAC$，即$∠1+∠2=∠4$，题中没有给出该等量关系，故④错误；
5. 结论⑤：$∠ BAE=∠3+∠1$，$∠ EAC=∠2+∠4$，已知$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，因此$∠ BAE=∠ EAC$，即AE平分$∠ BAC$，故⑤正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题关键是紧扣角平分线的定义，结合题目给出的角的等量关系验证，不要主观假设题目未给出的角的相等关系。
【难度系数】
0.7

4.如图，画出△ABC的三条高.

解

【分析】
要画出三角形的三条高，首先要明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段就是这条边上的高。观察△ABC可知这是钝角三角形，钝角顶点B的两条邻边AB、BC上的高会落在三角形外部，需要先延长对应边所在的直线，再作垂线：①过顶点A作对边BC所在直线的垂线，垂足落在CB的延长线上；②过顶点C作对边AB所在直线的垂线，垂足落在AB的延长线上；③过顶点B作对边AC的垂线，垂足落在AC边上，最后标注垂直符号即可。
【解析】
根据三角形高的定义作图：
1. 作AB边上的高：延长AB，过点C作CD⊥AB，垂足为D，线段CD就是AB边上的高；
2. 作BC边上的高：延长CB，过点A作AE⊥BC，垂足为E，线段AE就是BC边上的高；
3. 作AC边上的高：过点B作BF⊥AC，垂足为F，线段BF就是AC边上的高。
【答案】

【知识点】
三角形的高；垂线的画法；钝角三角形高的特征
【点评】
本题考查三角形高的画法，解题时要注意：三角形的高是垂线段，不是直线或射线；钝角三角形有2条高落在三角形外部，需要先延长对应边所在直线再作垂线，作图完成后要标注垂直符号。
【难度系数】
0.7

5. 如图，在$△ ABC$中，$AD⊥ BC$于点$D$，$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$，$HE$是$△ AEC$的中线，那么以$AD$为高的三角形有().

A.2个
B.3个
C.5个
D.6个

5. D

【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是该三角形的高。已知AD⊥BC，说明只要三角形的一个顶点是A，且有一条边在直线BC上，AD就是这个三角形的高。接下来只需要数出直线BC上由点B、D、E、C组成的线段总条数，对应就能得到以AD为高的三角形的个数。
【解析】
根据三角形高的定义，因为AD⊥BC，所以所有以A为顶点、一边在直线BC上的三角形，高均为AD。
直线BC上共有B、D、E、C4个点，共线的4个点可形成的线段总数为：$3+2+1=6$条，分别是BD、BE、BC、DE、DC、EC，对应的三角形分别为$△ ABD$、$△ ABE$、$△ ABC$、$△ ADE$、$△ ADC$、$△ AEC$，共6个。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高，线段计数
【点评】
本题重点考查对三角形高的概念的理解，解题时要注意不要被图中多余的线段EH干扰，明确以AD为高的三角形的共同特征是顶点含A、有边在BC所在直线上，再按规律数线段即可避免漏数、多数。
【难度系数】
0.7

6. 如图，AD，CE 是$△ ABC$ 的两条高，$AB=4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$，求AD的长。

6. 解 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CE = \frac{1}{2} BC · AD, \because AB = 4\ \mathrm{cm}, BC=8\ \mathrm{cm}, CE=6\ \mathrm{cm}, \therefore \frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$，解得 $AD=3\ \mathrm{cm}$.

【分析】
要求AD的长度，首先回忆三角形面积的计算方法：三角形的面积等于底与对应高乘积的一半。本题中CE是AB边上的高，AD是BC边上的高，同一个△ABC的面积可以用两组不同的底和对应高分别计算，两种计算方式得到的面积相等，据此建立关于AD的等式，代入已知数值即可求解AD。
【解析】
解：根据三角形面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} AB · CE = \frac{1}{2} BC · AD$
将$AB = 4\ \mathrm{cm}$，$BC=8\ \mathrm{cm}$，$CE=6\ \mathrm{cm}$代入等式：
$\frac{1}{2} × 4 × 6 = \frac{1}{2} × 8 · AD$
化简得：$12=4AD$
解得：$AD=3\ \mathrm{cm}$
【答案】
$AD=3\ \mathrm{cm}$
【知识点】
三角形的高、三角形面积计算、等积法求线段
【点评】
本题是三角形高相关的基础典型题，核心是利用等积转换建立等量关系求解线段长度，这种思路在几何线段计算中应用非常广泛，需熟练掌握不同底和对应高的组合表示三角形面积的方法。
【难度系数】
0.8

7.如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的中线,$△ ABD$的周长比$△ ADC$的周长多2,且AB与AC的和为10.
(1)求AB,AC的长;
(2)求BC边的取值范围.

7. 解 (1)$\because AD$ 是$BC$边上的中线,$\therefore BD=CD$,
$\therefore △ ABD$ 的周长 $-△ ADC$ 的周长 $=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$, 即 $AB-AC=2$①, 又 $AB+AC=10$②,
由①+②,得 $2AB=12$, 解得 $AB=6$,
由②-①,得 $2AC=8$, 解得 $AC=4$,
$\therefore AB=6,AC=4$.
(2)$\because AB=6,AC=4,\therefore 2＜BC＜10$.

【分析】
(1) 先从已知条件“AD是BC边上的中线”入手，根据中线定义可得BD=CD，对比△ABD和△ADC的周长构成：两个三角形有公共边AD，且BD=CD，因此周长差实际就是AB与AC的差，得到AB-AC=2；再结合题目给出的AB+AC=10，联立两个等式就能解出AB、AC的长度。
(2) 求BC的取值范围，直接利用三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，代入第一问求出的AB、AC长度计算即可。
【解析】
(1) $\because AD$是$BC$边上的中线，$\therefore BD=CD$，
$△ ABD$的周长为$AB+AD+BD$，$△ ADC$的周长为$AC+AD+CD$，
则$△ ABD$的周长 $-△ ADC$的周长 $=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC=2$，
即 $AB-AC=2$ ①，
又已知 $AB+AC=10$ ②，
由①+②，得 $2AB=12$，解得 $AB=6$，
由②-①，得 $2AC=8$，解得 $AC=4$。
(2) 根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，
已知$AB=6$，$AC=4$，
$\therefore AB-AC ＜ BC ＜ AB+AC$，即$2＜BC＜10$。
【答案】
(1) $AB=6$，$AC=4$；
(2) $2＜BC＜10$
【知识点】
三角形中线的定义；二元一次方程组的应用；三角形三边关系
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是通过中线性质消去周长中的公共相等边，快速得到AB和AC的数量关系，再结合已知条件求解，第二问直接套用三角形三边关系即可，主要考察对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7