▶例2 已知关于$x$的方程$kx^2 - (3k - 1)x + 2(k - 1) = 0$.
(1)求证:无论$k$为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根$x_1,x_2$,且$|x_1 - x_2|=2$,求$k$的值.
思路提示 (1)要证无论$k$为何实数,方程总有实数根,实际上就是判断当$k≠0$时,$\Delta ≥ 0$;(2)通过把条件$|x_1 - x_2|=2$两边平方的形式,配方构造出“$x_1x_2$”与“$x_1 + x_2$”,然后利用根与系数的关系得到一个分式方程,求得$k$的值.
尝试解答
小结反思 不解方程,利用根与系数的关系的常用关系式:
(1)$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$; (2)$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$;
(3)$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$; (4)$(x_1 + a)(x_2 + a) = x_1x_2 + a(x_1 + x_2) + a^2$.

(1) 略
(2) $k_1=1,k_2=-\frac{1}{3}$

变式训练2 若方程$x^2 - x - 2 = 0$的两个根是$x_1$和$x_2$，则$x_1^2 x_2 + x_1 x_2^2$的值为（）.

A.－1
B.1
C.－2
D.2

C

1.若$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2-2x-3=0$的两个根，则$x_1x_2$的值是（）.

A.3
B.−3
C.2
D.−2

1. B

2.已知关于$x$的方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根是－2和1，则$n^m$的值为().

A.－8
B.8
C.16
D.－16

2. C

3.已知$x_1,x_2$是方程$2x^2 + kx - 2 = 0$的两个实数根，且$(x_1 - 2)(x_2 - 2) = 10$，则$k$的值为().

A.－7
B.7
C.9
D.－9

3. B

4.(2024·日照中考)已知实数$x_1,x_2(x_1≠x_2)$是关于$x$的方程$kx^2+2kx+1=0(k≠0)$的两个根.若$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=2$,则$k$的值为().

A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

4. B

5.已知$m,n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$的两个根，若$(m - 1)(n - 1) = -6$，则$a$的值为().

A.－10
B.4
C.－4
D.10

5. C