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知识点二 配方法解一元二次方程
1. 通过配成
2. 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为$(x + n)^2 = p$的形式.
（1）当$p＞0$时，方程有两个不相等的实数根$x_1 = -n + \sqrt{p}$，$x_2 = -n - \sqrt{p}$；
（2）当$p=0$时，方程有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = -n$；
（3）当$p＜0$时，因为对任意实数$x$，都有$(x + n)^2 ≥ 0$，所以方程无实数根.
1. 通过配成
完全平方
形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.2. 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为$(x + n)^2 = p$的形式.
（1）当$p＞0$时，方程有两个不相等的实数根$x_1 = -n + \sqrt{p}$，$x_2 = -n - \sqrt{p}$；
（2）当$p=0$时，方程有两个相等的实数根$x_1 = x_2 = -n$；
（3）当$p＜0$时，因为对任意实数$x$，都有$(x + n)^2 ≥ 0$，所以方程无实数根.
答案
1. 完全平方
解析
【分析】
本题为概念识记类填空题，考查配方法的基本定义。解题时首先回忆配方法的核心特征：配方法的关键操作是将一元二次方程中含未知数的项整理为完全平方的形式，再结合定义内容即可确定空缺部分的答案。
【解析】
根据配方法的定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法，因此横线处应填入“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法的概念；完全平方式
【点评】
本题属于基础题，重点考察对教材基础定义的记忆与掌握，牢记配方法的核心特征即可快速解题，是学习配方法时必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
本题为概念识记类填空题，考查配方法的基本定义。解题时首先回忆配方法的核心特征：配方法的关键操作是将一元二次方程中含未知数的项整理为完全平方的形式，再结合定义内容即可确定空缺部分的答案。
【解析】
根据配方法的定义：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法，因此横线处应填入“完全平方”。
【答案】
完全平方
【知识点】
配方法的概念；完全平方式
【点评】
本题属于基础题，重点考察对教材基础定义的记忆与掌握，牢记配方法的核心特征即可快速解题，是学习配方法时必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.9
例3 将一元二次方程$x^2 -4x +3=0$配方后得到的结果正确的是（
A.$(x-2)^2=1$
B.$(x+2)^2=1$
C.$(x+2)^2=3$
D.$(x-2)^2=7$
解析 移项，得$x^2 -4x=-3$。
配方，得$x^2 -4x +4=-3+4$，$(x-2)^2=1$。
答案 A
A
）A.$(x-2)^2=1$
B.$(x+2)^2=1$
C.$(x+2)^2=3$
D.$(x-2)^2=7$
解析 移项，得$x^2 -4x=-3$。
配方，得$x^2 -4x +4=-3+4$，$(x-2)^2=1$。
答案 A
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的配方法应用，解题可按照配方法的标准步骤展开：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，使等号左侧只含二次项和一次项；第二步计算一次项系数一半的平方，在方程左右两边同时加上这个数，使左侧凑成完全平方的形式；第三步将左侧整理为完全平方式，计算右侧的结果，最后对比选项得出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +3=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = -3$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = -3 +4$；
3. 整理：左侧可写成完全平方式，右侧计算得1，即$(x-2)^2=1$。
对比选项，A符合配方结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在方程两边同时加一次项系数一半的平方，同时要根据一次项系数的符号确定完全平方式中的运算符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的配方法应用，解题可按照配方法的标准步骤展开：第一步先将方程中的常数项移到等号右侧，使等号左侧只含二次项和一次项；第二步计算一次项系数一半的平方，在方程左右两边同时加上这个数，使左侧凑成完全平方的形式；第三步将左侧整理为完全平方式，计算右侧的结果，最后对比选项得出答案。
【解析】
解：对原方程$x^2 -4x +3=0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 -4x = -3$；
2. 配方：一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，在方程两边同时加4，得$x^2 -4x +4 = -3 +4$；
3. 整理：左侧可写成完全平方式，右侧计算得1，即$(x-2)^2=1$。
对比选项，A符合配方结果。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，尤其要注意配方时需在方程两边同时加一次项系数一半的平方，同时要根据一次项系数的符号确定完全平方式中的运算符号，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
例4 用配方法解方程：$3x - 2x^2 = -1$.
解 二次项系数化为1，整理可得 $x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$.
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$.
由此可得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，即 $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$.
解题要点
一元二次方程的根能使一元二次方程成立. 将已知根代入方程，可求出参数的值，进而求出一元二次方程的另一个根. 注意分类讨论，避免漏解.
特别提醒
1. 配方的目的是将一元二次方程转化为完全平方的形式，利用开方实现降次，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
2. 用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，即 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0)$，再把常数项移到方程右边；
（2）方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）如果方程右边是非负数，那么可以通过直接开平方法来求出方程的解；如果方程右边是一个负数，那么判定此方程无实数解.
解 二次项系数化为1，整理可得 $x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$.
配方，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$.
由此可得 $x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，即 $x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$.
解题要点
一元二次方程的根能使一元二次方程成立. 将已知根代入方程，可求出参数的值，进而求出一元二次方程的另一个根. 注意分类讨论，避免漏解.
特别提醒
1. 配方的目的是将一元二次方程转化为完全平方的形式，利用开方实现降次，从而把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
2. 用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）先把原方程整理为一元二次方程的一般形式，即 $ax^2 + bx + c = 0 \ (a ≠ 0)$，再把常数项移到方程右边；
（2）方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
（5）如果方程右边是非负数，那么可以通过直接开平方法来求出方程的解；如果方程右边是一个负数，那么判定此方程无实数解.
答案
解：
移项，得 $2x^2 - 3x = 1$，
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$\frac{9}{16}$，得
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，
整理得完全平方式：
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$，
两边直接开平方，得
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，
移项计算得
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$。
移项，得 $2x^2 - 3x = 1$，
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$\frac{9}{16}$，得
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，
整理得完全平方式：
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$，
两边直接开平方，得
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，
移项计算得
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$。
解析
【分析】
用配方法解一元二次方程时，先遵循配方法的固定步骤思考：第一步先整理方程，将二次项系数调整为正数，再把常数项移到方程右侧；第二步将二次项系数化为1，保证后续配方的规范性；第三步给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方式；最后若右侧为非负数，用直接开平方法降次求解即可。解题时要注意移项的符号变化，配方时不要记错所加常数的计算方法。
【解析】
移项，得 $2x^2 - 3x = 1$，
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$\frac{9}{16}$，得
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，
整理得完全平方式：
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$，
两边直接开平方，得
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，
移项计算得
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$。
【答案】
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础常规题型，核心考查配方法的步骤规范应用，解题时需严格遵循配方法的操作流程，注意计算过程中通分、符号的准确性，避免因细节计算失误失分。
【难度系数】
0.8
用配方法解一元二次方程时，先遵循配方法的固定步骤思考：第一步先整理方程，将二次项系数调整为正数，再把常数项移到方程右侧；第二步将二次项系数化为1，保证后续配方的规范性；第三步给方程两边同时加一次项系数一半的平方，将方程左侧转化为完全平方式；最后若右侧为非负数，用直接开平方法降次求解即可。解题时要注意移项的符号变化，配方时不要记错所加常数的计算方法。
【解析】
移项，得 $2x^2 - 3x = 1$，
方程两边同时除以2，将二次项系数化为1，得
$x^2 - \frac{3}{2}x = \frac{1}{2}$，
配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方$\frac{9}{16}$，得
$x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = \frac{1}{2} + \frac{9}{16}$，
整理得完全平方式：
$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{17}{16}$，
两边直接开平方，得
$x - \frac{3}{4} = \pm \frac{\sqrt{17}}{4}$，
移项计算得
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$。
【答案】
$x_1 = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$，$x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础常规题型，核心考查配方法的步骤规范应用，解题时需严格遵循配方法的操作流程，注意计算过程中通分、符号的准确性，避免因细节计算失误失分。
【难度系数】
0.8
