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9. 如图，已知$△ ABC$和$△ DEF$，点$B,C,F,E$在同一条直线上，$∠1=∠2$，$BC=EF$，要使$△ ABC ≌ △ DEF$，还需添加一个条件，则这个条件可以是
（第9题图）
（第10题图）
（第11题图）
（第12题图）
AC=DF(答案不唯一)
.(写出一个即可)（第9题图）（第10题图）
（第11题图）（第12题图）
答案
9. AC=DF(答案不唯一)
解析
【分析】
首先梳理已知条件：△ABC和△DEF中，已有一组对应边相等BC=EF，一组对应角相等∠1=∠2（即∠ACB=∠DFE）。回忆三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），已知一边一角对应相等的情况下，可通过补充对应边或对应角相等的条件凑齐判定要求：若用SAS判定，需补充∠1和∠2的另一组邻边相等，即AC=DF；若用ASA判定，可补充∠B=∠E；若用AAS判定，可补充∠A=∠D，任选其一即可。
【解析】
我们选择添加条件$AC=DF$，证明如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF \\∠ 1 = ∠ 2 \\BC = EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF \ (\mathrm{SAS})$
若添加$∠ B=∠ E$可通过ASA判定全等，添加$∠ A=∠ D$可通过AAS判定全等，均符合要求。
【答案】
$AC=DF$(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定定理
【点评】
本题是全等三角形判定的开放型习题，需要先明确已知的对应相等的边、角条件，再结合全等判定定理补充缺失的条件即可，答案不唯一，主要考查对全等判定定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：△ABC和△DEF中，已有一组对应边相等BC=EF，一组对应角相等∠1=∠2（即∠ACB=∠DFE）。回忆三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），已知一边一角对应相等的情况下，可通过补充对应边或对应角相等的条件凑齐判定要求：若用SAS判定，需补充∠1和∠2的另一组邻边相等，即AC=DF；若用ASA判定，可补充∠B=∠E；若用AAS判定，可补充∠A=∠D，任选其一即可。
【解析】
我们选择添加条件$AC=DF$，证明如下：
在$△ ABC$和$△ DEF$中：
$\begin{cases}AC = DF \\∠ 1 = ∠ 2 \\BC = EF\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ DEF \ (\mathrm{SAS})$
若添加$∠ B=∠ E$可通过ASA判定全等，添加$∠ A=∠ D$可通过AAS判定全等，均符合要求。
【答案】
$AC=DF$(答案不唯一)
【知识点】
全等三角形的判定、SAS判定定理
【点评】
本题是全等三角形判定的开放型习题，需要先明确已知的对应相等的边、角条件，再结合全等判定定理补充缺失的条件即可，答案不唯一，主要考查对全等判定定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
10.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，$D$是边$BC$上一点，沿直线$AD$将$△ ACD$翻折，点$C$刚好落在边$AB$上的点$E$处，则$BE$的长为
2
。答案
10. 2
解析
【分析】
本题是翻折类几何计算题，解题思路如下：首先回忆翻折的性质：翻折前后的两个图形全等，对应边、对应角均相等。本题中△ACD沿AD翻折后点C落在AB上的E点，可得△ACD与△AED全等，对应边AE=AC。已知AC、AB的长度，要求BE的长，只需用AB的长度减去AE的长度即可求解。
【解析】
由翻折的性质可知，△ACD沿AD翻折后与△AED完全重合，因此△ACD≌△AED，根据全等三角形对应边相等可得：AE=AC。
已知AC=3，因此AE=3。
又已知AB=5，所以BE=AB - AE = 5 - 3 = 2。
【答案】
2
【知识点】
翻折的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是抓住翻折变换中对应边相等的特点，无需复杂运算即可得出结果，主要考查学生对翻折性质的掌握和简单的线段和差计算能力。
【难度系数】
0.8
本题是翻折类几何计算题，解题思路如下：首先回忆翻折的性质：翻折前后的两个图形全等，对应边、对应角均相等。本题中△ACD沿AD翻折后点C落在AB上的E点，可得△ACD与△AED全等，对应边AE=AC。已知AC、AB的长度，要求BE的长，只需用AB的长度减去AE的长度即可求解。
【解析】
由翻折的性质可知，△ACD沿AD翻折后与△AED完全重合，因此△ACD≌△AED，根据全等三角形对应边相等可得：AE=AC。
已知AC=3，因此AE=3。
又已知AB=5，所以BE=AB - AE = 5 - 3 = 2。
【答案】
2
【知识点】
翻折的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，解题的核心是抓住翻折变换中对应边相等的特点，无需复杂运算即可得出结果，主要考查学生对翻折性质的掌握和简单的线段和差计算能力。
【难度系数】
0.8
如图，在$△ ABC$中，$∠ B=∠ C=65°$，$BD=CE$，$BE=CF$，则$∠ DEF$的度数是
65°
答案
11. 65°
解析
【分析】
首先观察题目给出的边相等条件：$BD=CE$、$BE=CF$，以及$∠B=∠C=65°$，可先通过SAS判定定理证明$△ BED≌△ CFE$，得到对应角相等的关系；再利用三角形内角和定理求出$△ CFE$中两个锐角的和，通过等量代换得到$∠BED$与$∠CEF$的和，最后结合平角为$180°$的性质计算出$∠DEF$的度数。
【解析】
在$△ BED$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l} BD=CE(已知)\\ ∠ B=∠ C(已知)\\ BE=CF(已知)\end{array} $
$\therefore △ BED≌△ CFE(SAS)$
$\therefore ∠ BED=∠ CFE$（全等三角形对应角相等）
在$△ CFE$中，$∠ C=65°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CFE + ∠ CEF = 180° - ∠ C = 180° - 65° = 115°$
等量代换得：$∠ BED + ∠ CEF = 115°$
又$\because$点B、E、C在同一直线上，$∠ BED + ∠ CEF + ∠ DEF = 180°$
$\therefore ∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的核心是先利用已知的边和角的相等关系证明三角形全等，再通过角度的和差关系推导所求角的度数，需注意等量代换在角度计算中的应用。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的边相等条件：$BD=CE$、$BE=CF$，以及$∠B=∠C=65°$，可先通过SAS判定定理证明$△ BED≌△ CFE$，得到对应角相等的关系；再利用三角形内角和定理求出$△ CFE$中两个锐角的和，通过等量代换得到$∠BED$与$∠CEF$的和，最后结合平角为$180°$的性质计算出$∠DEF$的度数。
【解析】
在$△ BED$和$△ CFE$中：
$\{\begin{array}{l} BD=CE(已知)\\ ∠ B=∠ C(已知)\\ BE=CF(已知)\end{array} $
$\therefore △ BED≌△ CFE(SAS)$
$\therefore ∠ BED=∠ CFE$（全等三角形对应角相等）
在$△ CFE$中，$∠ C=65°$，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ CFE + ∠ CEF = 180° - ∠ C = 180° - 65° = 115°$
等量代换得：$∠ BED + ∠ CEF = 115°$
又$\because$点B、E、C在同一直线上，$∠ BED + ∠ CEF + ∠ DEF = 180°$
$\therefore ∠ DEF = 180° - (∠ BED + ∠ CEF) = 180° - 115° = 65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
SAS判定三角形全等；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题的核心是先利用已知的边和角的相等关系证明三角形全等，再通过角度的和差关系推导所求角的度数，需注意等量代换在角度计算中的应用。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ AEB$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中，$∠ E=∠ F=90°$，$BE=CF$，$BE$与$AC$交于点$M$，与$CF$交于点$D$，$AB$与$CF$交于点$N$，连接$AD$，$∠ EAC=∠ FAB$. 有下列结论：①$∠ B=∠ C$；②$AD$平分$∠ EAF$；③$CD=DN$；④$△ ACN≌△ ABM$. 其中正确的结论是
①②④
.（填序号）答案
12. ①②④
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先根据∠EAC=∠FAB推导得到两个大直角三角形的一组对应角相等，结合已知的直角和BE=CF，先证明Rt△AEB≌Rt△AFC，即可判断结论①；再由全等得到AE=AF，结合公共边AD，用HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，就能判断AD是否平分∠EAF，判断结论②；结论③没有对应全等或边相等的条件，无法证明成立；最后结合已得的∠B=∠C、AB=AC，加公共角∠CAN=∠BAM，可证明△ACN≌△ABM，判断结论④。
【解析】
1. 证明结论①：
∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC+∠CAB=∠FAB+∠CAB，即∠EAB=∠FAC。
在Rt△AEB和Rt△AFC中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F=90°\\ ∠ EAB=∠ FAC\\ BE=CF\end{array} $
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴∠B=∠C，AE=AF，AB=AC，故①正确。
2. 证明结论②：
在Rt△AED和Rt△AFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF\\ AD=AD\end{array} $
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，故②正确。
3. 判断结论③：
题干没有给出可推导CD=DN的相关条件，无法证明二者相等，故③错误。
4. 证明结论④：
在△ACN和△ABM中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ B\\ AC=AB\\ ∠ CAN=∠ BAM（公共角）\end{array} $
∴△ACN≌△ABM（ASA），故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于全等三角形的综合题，解题时要充分利用已知角的等量关系推导全等所需的对应角相等，同时注意公共边、公共角这类隐含条件的使用，对于没有条件支撑的结论不要随意判定成立。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，首先根据∠EAC=∠FAB推导得到两个大直角三角形的一组对应角相等，结合已知的直角和BE=CF，先证明Rt△AEB≌Rt△AFC，即可判断结论①；再由全等得到AE=AF，结合公共边AD，用HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，就能判断AD是否平分∠EAF，判断结论②；结论③没有对应全等或边相等的条件，无法证明成立；最后结合已得的∠B=∠C、AB=AC，加公共角∠CAN=∠BAM，可证明△ACN≌△ABM，判断结论④。
【解析】
1. 证明结论①：
∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC+∠CAB=∠FAB+∠CAB，即∠EAB=∠FAC。
在Rt△AEB和Rt△AFC中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ F=90°\\ ∠ EAB=∠ FAC\\ BE=CF\end{array} $
∴△AEB≌△AFC（AAS），
∴∠B=∠C，AE=AF，AB=AC，故①正确。
2. 证明结论②：
在Rt△AED和Rt△AFD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AF\\ AD=AD\end{array} $
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，故②正确。
3. 判断结论③：
题干没有给出可推导CD=DN的相关条件，无法证明二者相等，故③错误。
4. 证明结论④：
在△ACN和△ABM中：
$\{\begin{array}{l}∠ C=∠ B\\ AC=AB\\ ∠ CAN=∠ BAM（公共角）\end{array} $
∴△ACN≌△ABM（ASA），故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，直角三角形全等判定
【点评】
本题属于全等三角形的综合题，解题时要充分利用已知角的等量关系推导全等所需的对应角相等，同时注意公共边、公共角这类隐含条件的使用，对于没有条件支撑的结论不要随意判定成立。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分10分)(1)如图,△ADF≌△BCE,BC=5 cm,AB=6 cm,求CD的长;
(2)一个风筝骨架的示意图如图所示,其中AB=AC,BD=CD,∠C=23°,求∠B的度数.
13.(本小题满分10分)(1)如图,△ADF≌△BCE,BC=5 cm,AB=6 cm,求CD的长;
(2)一个风筝骨架的示意图如图所示,其中AB=AC,BD=CD,∠C=23°,求∠B的度数.
答案
13. 解:(1) $\because △ ADF ≌ △ BCE, \therefore AD=BC=5 \mathrm{~cm}. \because AB=6 \mathrm{~cm}, \therefore AC=AB-BC=1 \mathrm{~cm}. \therefore CD=AD-AC=4 \mathrm{~cm}.$ (2) 在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \\ BD=CD, \end{cases}$$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}). \therefore ∠ B=∠ C=23°.$
解析
【分析】
（1）第一问先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AD与BC长度相等，再结合已知的AB长度，通过线段和差关系先求出AC的长度，最后计算AD与AC的差即可得到CD的长度。
（2）第二问观察已知条件，△ABD和△ACD有三组对应边相等，符合SSS全等判定条件，先证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，即可得出∠B的度数。
【解析】
(1) $\because △ ADF ≌ △ BCE, \therefore AD=BC=5 \mathrm{~cm}.$
$\because AB=6 \mathrm{~cm}, \therefore AC=AB-BC=6-5=1 \mathrm{~cm}.$
$\therefore CD=AD-AC=5-1=4 \mathrm{~cm}.$
(2) 在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ B=∠ C=23°.$
【答案】
(1) CD的长为4cm；(2) ∠B的度数为23°
【知识点】
全等三角形的性质，SSS全等判定，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形相关的基础应用题，解题关键是准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练运用全等的判定和性质定理即可求解。
【难度系数】
0.85
（1）第一问先利用全等三角形对应边相等的性质，得到AD与BC长度相等，再结合已知的AB长度，通过线段和差关系先求出AC的长度，最后计算AD与AC的差即可得到CD的长度。
（2）第二问观察已知条件，△ABD和△ACD有三组对应边相等，符合SSS全等判定条件，先证明两个三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，即可得出∠B的度数。
【解析】
(1) $\because △ ADF ≌ △ BCE, \therefore AD=BC=5 \mathrm{~cm}.$
$\because AB=6 \mathrm{~cm}, \therefore AC=AB-BC=6-5=1 \mathrm{~cm}.$
$\therefore CD=AD-AC=5-1=4 \mathrm{~cm}.$
(2) 在$△ ABD$ 和$△ ACD$ 中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=AD, \\ BD=CD, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACD(\mathrm{SSS}).$
$\therefore ∠ B=∠ C=23°.$
【答案】
(1) CD的长为4cm；(2) ∠B的度数为23°
【知识点】
全等三角形的性质，SSS全等判定，线段和差计算
【点评】
本题属于全等三角形相关的基础应用题，解题关键是准确识别全等三角形的对应边、对应角，熟练运用全等的判定和性质定理即可求解。
【难度系数】
0.85
14.(本小题满分8分)如图,已知△ABC和△CDE,B,C,D三点在同一条直线上,AB//DE,∠A=90°,EC⊥BD于点C,且AB=CD.求证:AC=CE. 
答案
证明: $\because AB // DE, \therefore ∠ B=∠ D. \because EC ⊥ BD, \therefore ∠ DCE=90°=∠ A.$ 在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,$\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ AB=CD, \\ ∠ A=∠ DCE, \end{cases}$$\therefore △ ABC ≌ △ CDE(\mathrm{ASA}). \therefore AC=CE.$
解析
【分析】
要证明AC=CE，可通过证明两条线段所在的△ABC和△CDE全等来实现。首先从已知条件入手：由AB//DE可利用平行线的性质得到一组等角∠B=∠D；再结合∠A=90°、EC⊥BD的条件，可推出∠A=∠DCE=90°；最后结合题目给出的AB=CD的边相等条件，刚好满足ASA全等判定的要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：$\because AB // DE, \therefore ∠ B=∠ D.$
$\because EC ⊥ BD, \therefore ∠ DCE=90°=∠ A.$
在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ AB=CD, \\ ∠ A=∠ DCE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AC=CE.$
【答案】
证明过程如上所述，最终得证AC=CE。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是通过已知条件推导三角形全等的判定要素，熟练掌握相关性质和全等判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明AC=CE，可通过证明两条线段所在的△ABC和△CDE全等来实现。首先从已知条件入手：由AB//DE可利用平行线的性质得到一组等角∠B=∠D；再结合∠A=90°、EC⊥BD的条件，可推出∠A=∠DCE=90°；最后结合题目给出的AB=CD的边相等条件，刚好满足ASA全等判定的要求，证明两个三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得证。
【解析】
证明：$\because AB // DE, \therefore ∠ B=∠ D.$
$\because EC ⊥ BD, \therefore ∠ DCE=90°=∠ A.$
在$△ ABC$ 和$△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ B=∠ D, \\ AB=CD, \\ ∠ A=∠ DCE, \end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDE(\mathrm{ASA}).$
$\therefore AC=CE.$
【答案】
证明过程如上所述，最终得证AC=CE。
【知识点】
平行线的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题是基础的几何证明题，核心是通过已知条件推导三角形全等的判定要素，熟练掌握相关性质和全等判定定理就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
