登录
15.(本小题满分10分)如图,为测量河两岸A,B两点间的距离,在点B所在河岸平地上取点C和点D,使点A,B,C在同一条直线上,且$CD=CB$,测得$∠DCB=100°,∠ADC=65°$,在CD的延长线上取一点E,使$∠E=15°$,这时由测得的DE的长能否得到A,B两点间的距离?请说明理由.
答案
解:能得到.理由如下:$\because ∠ DCB=100°,∠ ADC=65°, \therefore ∠ CAD=180°-∠ DCB-∠ ADC=15°. \because ∠ E=15°, \therefore ∠ CAD=∠ E.$ 在$△ DCA$ 和$△ BCE$ 中,$\begin{cases} ∠ CAD=∠ E, \\ ∠ ACD=∠ ECB, \\ CD=CB, \end{cases}$$\therefore △ DCA ≌ △ BCE(\mathrm{AAS}). \therefore AC=EC. \because CB=CD, \therefore AC-CB=EC-CD, \mathrm{即 } AB=DE. \therefore \mathrm{测得的 } DE \mathrm{ 的长就是 } A,B \mathrm{ 两点间的距离}.$
解析
【分析】
要判断测得DE的长能否得到A、B间的距离，本质是证明AB=DE。首先可利用三角形内角和定理计算∠CAD的度数，对比已知的∠E可得到一组等角；再结合已知的CD=CB，以及公共角∠ACD=∠ECB，即可证明△DCA和△BCE全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=EC，最后通过线段和差关系推导得到AB=DE，即可得出结论。
【解析】
解：能得到，理由如下：
$\because ∠ DCB=100°,∠ ADC=65°, \therefore ∠ CAD=180°-∠ DCB-∠ ADC=180°-100°-65°=15°.$
$\because ∠ E=15°, \therefore ∠ CAD=∠ E.$
在$△ DCA$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ CAD=∠ E, \\ ∠ ACD=∠ ECB, \\ CD=CB, \end{cases}$
$\therefore △ DCA ≌ △ BCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AC=EC.$
$\because CB=CD, \therefore AC-CB=EC-CD, \mathrm{即 } AB=DE.$
$\therefore \mathrm{测得的 } DE \mathrm{ 的长就是 } A,B \mathrm{ 两点间的距离}.$
【答案】
能得到，测得DE的长即为A、B两点间的距离。
【知识点】
三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题以实际测量河两岸距离为背景，考查了全等三角形判定与性质的应用，解题关键是通过角度计算找到全等所需的等角条件，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
要判断测得DE的长能否得到A、B间的距离，本质是证明AB=DE。首先可利用三角形内角和定理计算∠CAD的度数，对比已知的∠E可得到一组等角；再结合已知的CD=CB，以及公共角∠ACD=∠ECB，即可证明△DCA和△BCE全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=EC，最后通过线段和差关系推导得到AB=DE，即可得出结论。
【解析】
解：能得到，理由如下：
$\because ∠ DCB=100°,∠ ADC=65°, \therefore ∠ CAD=180°-∠ DCB-∠ ADC=180°-100°-65°=15°.$
$\because ∠ E=15°, \therefore ∠ CAD=∠ E.$
在$△ DCA$ 和$△ BCE$ 中,
$\begin{cases} ∠ CAD=∠ E, \\ ∠ ACD=∠ ECB, \\ CD=CB, \end{cases}$
$\therefore △ DCA ≌ △ BCE(\mathrm{AAS}).$
$\therefore AC=EC.$
$\because CB=CD, \therefore AC-CB=EC-CD, \mathrm{即 } AB=DE.$
$\therefore \mathrm{测得的 } DE \mathrm{ 的长就是 } A,B \mathrm{ 两点间的距离}.$
【答案】
能得到，测得DE的长即为A、B两点间的距离。
【知识点】
三角形内角和定理、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题以实际测量河两岸距离为背景，考查了全等三角形判定与性质的应用，解题关键是通过角度计算找到全等所需的等角条件，将不可直接测量的距离转化为可测量的线段长度，体现了数学知识的实际应用价值。
【难度系数】
0.7
16.(本小题满分12分)如图，E，F分别为线段AC上的两个点，且$DE⊥AC$于点E，$BF⊥AC$于点F，$AB=CD$，$AE=CF$，BD交AC于点M。
(1)求证：$BF=DE$；
(2)求证：$MB=MD$。
(1)求证：$BF=DE$；
(2)求证：$MB=MD$。
答案
证明:(1) $\because DE ⊥ AC, BF ⊥ AC, \therefore ∠ DEC=∠ BFA=90°. \because AE=CF, \therefore AE+EF=CF+EF, \mathrm{即 } AF = CE.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDE$ 中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}). \therefore BF=DE.$ (2)由(1)知,$BF=DE.$ 在$△ BFM$ 和$△ DEM$ 中,$\begin{cases} ∠ BFM=∠ DEM, \\ ∠ BMF=∠ DME, \\ BF=DE, \end{cases}$$\therefore △ BFM ≌ △ DEM(\mathrm{AAS}). \therefore MB=MD.$
解析
【分析】
（1）要证明$BF=DE$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。已知$DE⊥ AC$、$BF⊥ AC$，说明$△ ABF$和$△ CDE$都是直角三角形，题目已给出斜边$AB=CD$，只需再推导一组直角边相等即可：由$AE=CF$，两边同时加公共线段$EF$可得$AF=CE$，满足HL定理的判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边$BF=DE$。
（2）要证明$MB=MD$，同理证明两条线段所在的$△ BFM$和$△ DEM$全等即可。由（1）已得$BF=DE$，结合垂直关系可得$∠ BFM=∠ DEM=90°$，再加上一组对顶角$∠ BMF=∠ DME$，满足AAS的判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边$MB=MD$。
【解析】
(1) $\because DE ⊥ AC, BF ⊥ AC, \therefore ∠ DEC=∠ BFA=90°. \because AE=CF, \therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF = CE.$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}). \therefore BF=DE.$
(2)由(1)知,$BF=DE.$
在$△ BFM$和$△ DEM$ 中,$\begin{cases} ∠ BFM=∠ DEM, \\ ∠ BMF=∠ DME, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ BFM ≌ △ DEM(\mathrm{AAS}). \therefore MB=MD.$
【答案】
(1) $BF=DE$得证；(2) $MB=MD$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查全等三角形判定与性质的应用，解题的关键是定位待证边所在的三角形，结合已知条件推导全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的各类判定定理即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$BF=DE$，可通过证明两条线段所在的直角三角形全等实现。已知$DE⊥ AC$、$BF⊥ AC$，说明$△ ABF$和$△ CDE$都是直角三角形，题目已给出斜边$AB=CD$，只需再推导一组直角边相等即可：由$AE=CF$，两边同时加公共线段$EF$可得$AF=CE$，满足HL定理的判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边$BF=DE$。
（2）要证明$MB=MD$，同理证明两条线段所在的$△ BFM$和$△ DEM$全等即可。由（1）已得$BF=DE$，结合垂直关系可得$∠ BFM=∠ DEM=90°$，再加上一组对顶角$∠ BMF=∠ DME$，满足AAS的判定条件，证得两三角形全等后即可得到对应边$MB=MD$。
【解析】
(1) $\because DE ⊥ AC, BF ⊥ AC, \therefore ∠ DEC=∠ BFA=90°. \because AE=CF, \therefore AE+EF=CF+EF$，即$AF = CE.$
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AF=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF ≌ \mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL}). \therefore BF=DE.$
(2)由(1)知,$BF=DE.$
在$△ BFM$和$△ DEM$ 中,$\begin{cases} ∠ BFM=∠ DEM, \\ ∠ BMF=∠ DME, \\ BF=DE, \end{cases}$
$\therefore △ BFM ≌ △ DEM(\mathrm{AAS}). \therefore MB=MD.$
【答案】
(1) $BF=DE$得证；(2) $MB=MD$得证。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 全等三角形的性质
3. 直角三角形全等判定（HL）
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查全等三角形判定与性质的应用，解题的关键是定位待证边所在的三角形，结合已知条件推导全等的判定条件，熟练掌握全等三角形的各类判定定理即可快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
17.(本小题满分12分)如图，CA平分∠∠BCD，AB=AD，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)若∠ABE=60°，求∠ADC的度数；
(2)若AE=2，EB=1，CD=3，则四边形AECD的面积为
(1)若∠ABE=60°，求∠ADC的度数；
(2)若AE=2，EB=1，CD=3，则四边形AECD的面积为
7
.答案
17. 解:(1) $\because CA$ 平分$∠ BCD, AE ⊥ BC, AF ⊥ CD, \therefore AF=AE, ∠ AEB=∠ AFD=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 和 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ AF=AE, \end{cases}$$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL}). \therefore ∠ ADF=∠ ABE=60°. \therefore ∠ ADC=180°-∠ ADF=120°.$ (2)7
解析
【分析】
(1) 先利用角平分线的性质，得到角平分线上的点到角两边的距离相等，即AE=AF，结合已知AB=AD，且△AFD和△AEB均为直角三角形，可通过HL定理证明两三角形全等，得到∠ADF=∠ABE=60°，再根据邻补角的和为180°即可求出∠ADC的度数。
(2) 由第一问的全等可得DF=EB=1、AF=AE=2，再证明Rt△AEC和Rt△AFC全等，得到EC=FC=CD+DF=4，将四边形AECD的面积拆分为△AEC和△ADC的面积之和，分别计算后相加即可得到结果。
【解析】
(1) $\because$ CA平分$∠ BCD$，$AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
$\therefore AF=AE$，$∠ AFD=∠ AEB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AFD$和$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$\begin{cases} AD=AB \\ AF=AE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE=60°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ ADF=180°-60°=120°$。
(2) 由(1)中$\mathrm{Rt}△ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AEB$，得$DF=EB=1$，$AF=AE=2$，
在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中，
$\begin{cases} AC=AC \\ AE=AF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AFC(\mathrm{HL})$，
$\therefore EC=FC=CD+DF=3+1=4$，
$\therefore S_{△ AEC}=\frac{1}{2} × EC × AE=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × CD × AF=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$，
$\therefore S_{四边形AECD}=S_{△ AEC}+S_{△ ADC}=4+3=7$。
【答案】
(1) $\boxed{120°}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用角平分线性质找到相等的垂线段，再通过全等三角形转化相等的线段，最后拆分不规则四边形面积为两个规则三角形面积求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和面积计算公式。
【难度系数】
0.7
(1) 先利用角平分线的性质，得到角平分线上的点到角两边的距离相等，即AE=AF，结合已知AB=AD，且△AFD和△AEB均为直角三角形，可通过HL定理证明两三角形全等，得到∠ADF=∠ABE=60°，再根据邻补角的和为180°即可求出∠ADC的度数。
(2) 由第一问的全等可得DF=EB=1、AF=AE=2，再证明Rt△AEC和Rt△AFC全等，得到EC=FC=CD+DF=4，将四边形AECD的面积拆分为△AEC和△ADC的面积之和，分别计算后相加即可得到结果。
【解析】
(1) $\because$ CA平分$∠ BCD$，$AE ⊥ BC$，$AF ⊥ CD$，
$\therefore AF=AE$，$∠ AFD=∠ AEB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AFD$和$\mathrm{Rt}△ AEB$中，
$\begin{cases} AD=AB \\ AF=AE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AEB(\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ ADF=∠ ABE=60°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-∠ ADF=180°-60°=120°$。
(2) 由(1)中$\mathrm{Rt}△ AFD ≌ \mathrm{Rt}△ AEB$，得$DF=EB=1$，$AF=AE=2$，
在$\mathrm{Rt}△ AEC$和$\mathrm{Rt}△ AFC$中，
$\begin{cases} AC=AC \\ AE=AF \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ AEC ≌ \mathrm{Rt}△ AFC(\mathrm{HL})$，
$\therefore EC=FC=CD+DF=3+1=4$，
$\therefore S_{△ AEC}=\frac{1}{2} × EC × AE=\frac{1}{2} × 4 × 2=4$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2} × CD × AF=\frac{1}{2} × 3 × 2=3$，
$\therefore S_{四边形AECD}=S_{△ AEC}+S_{△ ADC}=4+3=7$。
【答案】
(1) $\boxed{120°}$；(2) $\boxed{7}$
【知识点】
角平分线的性质，直角三角形全等的判定，图形面积计算
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的核心是利用角平分线性质找到相等的垂线段，再通过全等三角形转化相等的线段，最后拆分不规则四边形面积为两个规则三角形面积求解，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和面积计算公式。
【难度系数】
0.7
