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1. 下列各式计算正确的是 （
A.$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{2a}{7b}$
B.$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^3b$
C.$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = -ab$
D.$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{1}{a -1}$
D
）A.$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{2a}{7b}$
B.$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = -6a^3b$
C.$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = -ab$
D.$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{1}{a -1}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比判断对错。计算时要牢记：分式乘法法则是分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的先约分；分式除法要先转化为乘法（乘以除数的倒数）再计算，同时注意运算符号的处理，遇到多项式要先分解因式再约分。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据分式乘法法则，$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{a·a}{b·6b} = \frac{a^2}{6b^2} ≠ \frac{2a}{7b}$，故A错误。
选项B：先将除法转化为乘法，$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = 8a^2b^3 × (-\frac{4b^2}{3a}) = -\frac{32a^2b^3·b^2}{3a} = -\frac{32ab^5}{3} ≠ -6a^3b$，故B错误。
选项C：负负得正，再约分计算，$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = \frac{a^2·b^2}{b·a} = ab ≠ -ab$，故C错误。
选项D：先分解因式、再将除法转化为乘法计算：
$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{a}{(a+1)(a-1)} × \frac{a(a+1)}{a^2}$
约分后可得：$\frac{1}{a-1}$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘除的运算法则，解题时需注意先把除法统一为乘法，多项式先因式分解再约分，同时要注意运算符号的判断，避免因符号、约分错误失分。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的乘除运算，解题思路是逐一计算每个选项的结果，再与选项给出的结果对比判断对错。计算时要牢记：分式乘法法则是分子相乘的积作分子、分母相乘的积作分母，能约分的先约分；分式除法要先转化为乘法（乘以除数的倒数）再计算，同时注意运算符号的处理，遇到多项式要先分解因式再约分。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：根据分式乘法法则，$\frac{a}{b} · \frac{a}{6b} = \frac{a·a}{b·6b} = \frac{a^2}{6b^2} ≠ \frac{2a}{7b}$，故A错误。
选项B：先将除法转化为乘法，$8a^2b^3 ÷ (-\frac{3a}{4b^2}) = 8a^2b^3 × (-\frac{4b^2}{3a}) = -\frac{32a^2b^3·b^2}{3a} = -\frac{32ab^5}{3} ≠ -6a^3b$，故B错误。
选项C：负负得正，再约分计算，$-\frac{a^2}{b} · (-\frac{b^2}{a}) = \frac{a^2·b^2}{b·a} = ab ≠ -ab$，故C错误。
选项D：先分解因式、再将除法转化为乘法计算：
$\frac{a}{a^2 -1} ÷ \frac{a^2}{a^2 +a} = \frac{a}{(a+1)(a-1)} × \frac{a(a+1)}{a^2}$
约分后可得：$\frac{1}{a-1}$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考查分式乘除的运算法则，解题时需注意先把除法统一为乘法，多项式先因式分解再约分，同时要注意运算符号的判断，避免因符号、约分错误失分。
【难度系数】
0.7
2.已知 $ P = -\dfrac{1}{x} ÷ \dfrac{1}{x^2 + x} $，$ Q = \dfrac{x^2 - 1}{y^2} · \dfrac{y^2}{1 - x} $，则 $ P $
=
$ Q $（填“＞”“＜”或“=”）。答案
=
解析
【分析】
要比较P和Q的大小，首先需要根据分式乘除的运算法则分别化简P和Q，再对比化简后的结果即可。解题时先将分式除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，注意要保证原式中各分母不为0，运算才有意义。
【解析】
首先化简$P$：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$P = -\dfrac{1}{x} ÷ \dfrac{1}{x^2 + x} = -\dfrac{1}{x} · (x^2 + x)$
对$x^2+x$因式分解得$x(x+1)$，代入后约分：
$P = -\dfrac{1}{x} · x(x+1) = -(x+1) = -x -1$（此时需满足$x≠0$且$x≠-1$，保证原式分母不为0）
再化简$Q$：
根据分式乘法法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得：
$Q = \dfrac{x^2 - 1}{y^2} · \dfrac{y^2}{1 - x}$
对$x^2-1$因式分解得$(x-1)(x+1)$，先约掉分子分母的公因式$y^2$：
$Q = \dfrac{(x-1)(x+1)}{1 - x}$
注意$1-x=-(x-1)$，约掉公因式$x-1$：
$Q = \dfrac{(x+1) · (x-1)}{-(x-1)} = -(x+1) = -x -1$（此时需满足$y≠0$且$x≠1$，保证原式分母不为0）
当$P$、$Q$都有意义时，二者化简结果完全相同，因此$P=Q$。
【答案】
=
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则，先将除法转化为乘法，再通过因式分解找到分子分母的公因式进行约分，计算时要注意处理互为相反数的因式的符号问题，同时不要忽略分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要比较P和Q的大小，首先需要根据分式乘除的运算法则分别化简P和Q，再对比化简后的结果即可。解题时先将分式除法转化为乘法，再对分子分母因式分解后约分，注意要保证原式中各分母不为0，运算才有意义。
【解析】
首先化简$P$：
根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以它的倒数，可得：
$P = -\dfrac{1}{x} ÷ \dfrac{1}{x^2 + x} = -\dfrac{1}{x} · (x^2 + x)$
对$x^2+x$因式分解得$x(x+1)$，代入后约分：
$P = -\dfrac{1}{x} · x(x+1) = -(x+1) = -x -1$（此时需满足$x≠0$且$x≠-1$，保证原式分母不为0）
再化简$Q$：
根据分式乘法法则，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，可得：
$Q = \dfrac{x^2 - 1}{y^2} · \dfrac{y^2}{1 - x}$
对$x^2-1$因式分解得$(x-1)(x+1)$，先约掉分子分母的公因式$y^2$：
$Q = \dfrac{(x-1)(x+1)}{1 - x}$
注意$1-x=-(x-1)$，约掉公因式$x-1$：
$Q = \dfrac{(x+1) · (x-1)}{-(x-1)} = -(x+1) = -x -1$（此时需满足$y≠0$且$x≠1$，保证原式分母不为0）
当$P$、$Q$都有意义时，二者化简结果完全相同，因此$P=Q$。
【答案】
=
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，解题核心是熟练掌握分式乘除的运算规则，先将除法转化为乘法，再通过因式分解找到分子分母的公因式进行约分，计算时要注意处理互为相反数的因式的符号问题，同时不要忽略分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.8
3. 计算：$\dfrac{x}{x-y} · \dfrac{x^2 - y^2}{x} =$
$x+y$
答案
$x+y$
解析
【分析】
这是分式乘法的运算题，解题思路如下：第一步先观察各分式的分子、分母，找到可以因式分解的部分，本题中第二个分式的分子$x^2-y^2$符合平方差公式的特征，可分解为$(x+y)(x-y)$；第二步选择简便运算方法，分式乘法可先约分再计算，能减少运算量：找到分子、分母的公因式，分别是第一个分式的分子$x$和第二个分式的分母$x$、第一个分式的分母$x-y$和分解后的因式$x-y$；第三步约去所有公因式后，将剩余部分合并即可得到结果。
【解析】
解：先对第二个分式的分子因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{x}{x-y} · \dfrac{(x+y)(x-y)}{x} \\&= \dfrac{x · (x+y)(x-y)}{(x-y) · x} \\&= x+y\end{aligned}$
（运算默认分式有意义，即$x≠0$且$x≠ y$）
【答案】
$x+y$
【知识点】
分式的乘法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察分式乘法的运算逻辑，解题时优先对分子分母因式分解再约分，可有效简化计算过程，降低出错概率，需熟练掌握常见因式分解的方法。
【难度系数】
0.9
这是分式乘法的运算题，解题思路如下：第一步先观察各分式的分子、分母，找到可以因式分解的部分，本题中第二个分式的分子$x^2-y^2$符合平方差公式的特征，可分解为$(x+y)(x-y)$；第二步选择简便运算方法，分式乘法可先约分再计算，能减少运算量：找到分子、分母的公因式，分别是第一个分式的分子$x$和第二个分式的分母$x$、第一个分式的分母$x-y$和分解后的因式$x-y$；第三步约去所有公因式后，将剩余部分合并即可得到结果。
【解析】
解：先对第二个分式的分子因式分解，再约分计算：
$\begin{aligned}原式 &= \dfrac{x}{x-y} · \dfrac{(x+y)(x-y)}{x} \\&= \dfrac{x · (x+y)(x-y)}{(x-y) · x} \\&= x+y\end{aligned}$
（运算默认分式有意义，即$x≠0$且$x≠ y$）
【答案】
$x+y$
【知识点】
分式的乘法运算、平方差公式、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察分式乘法的运算逻辑，解题时优先对分子分母因式分解再约分，可有效简化计算过程，降低出错概率，需熟练掌握常见因式分解的方法。
【难度系数】
0.9
4.李先生买了两只灯泡，它们的额定功率分别是$P_1=\frac{U^2}{R},P_2=\frac{U^2}{4R}$，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的
4
倍。答案
4
解析
【分析】
要求第一只灯泡额定功率是第二只的几倍，根据倍数的计算逻辑，只需用第一只的额定功率$P_1$除以第二只的额定功率$P_2$，再代入给出的分式表达式，按照分式除法的运算法则计算即可。
【解析】
解：求功率的倍数关系，需计算$\frac{P_1}{P_2}$的值。
将$P_1=\frac{U^2}{R}$，$P_2=\frac{U^2}{4R}$代入得：
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{U^2}{R}}{\frac{U^2}{4R}}$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{U^2}{R} × \frac{4R}{U^2}$
对分子分母的公因式$U^2$、$R$进行约分后，计算得结果为4。
【答案】
4
【知识点】
分式的除法运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握倍数的计算逻辑和分式除法的运算法则，计算过程中主动约分可简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要求第一只灯泡额定功率是第二只的几倍，根据倍数的计算逻辑，只需用第一只的额定功率$P_1$除以第二只的额定功率$P_2$，再代入给出的分式表达式，按照分式除法的运算法则计算即可。
【解析】
解：求功率的倍数关系，需计算$\frac{P_1}{P_2}$的值。
将$P_1=\frac{U^2}{R}$，$P_2=\frac{U^2}{4R}$代入得：
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{\frac{U^2}{R}}{\frac{U^2}{4R}}$
根据分式除法法则：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，可得：
$\frac{P_1}{P_2} = \frac{U^2}{R} × \frac{4R}{U^2}$
对分子分母的公因式$U^2$、$R$进行约分后，计算得结果为4。
【答案】
4
【知识点】
分式的除法运算，分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握倍数的计算逻辑和分式除法的运算法则，计算过程中主动约分可简化运算步骤，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
5. 计算:
(1)$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2}$;
(2)$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4}$;
(3)$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1}$.
(1)$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2}$;
(2)$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4}$;
(3)$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1}$.
答案
(1) $\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2} = \frac{(3×16)xy^2}{(8×27)x^2y}=\frac{2y}{9x}$。
(2) $\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2}=\frac{x-3}{x-2}$。
(3) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$。
(2) $\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2}=\frac{x-3}{x-2}$。
(3) $\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$。
解析
【分析】
分式乘除运算的核心思路是：①乘法运算直接分子乘分子、分母乘分母，除法运算先转化为乘以除式的倒数；②若分子、分母含有多项式，先对多项式因式分解；③约去分子分母的公因式，得到最简结果。
针对三个小题的具体思考路径：
(1) 两个单项式分式相乘，直接将分子的系数、字母分别相乘，分母的系数、字母分别相乘，再约去公共的系数因式和字母因式即可。
(2) 两个含多项式的分式相乘，先对分子中的$x^2-9$用平方差公式因式分解，分母中的$x^2-4x+4$用完全平方公式因式分解，再约去分子分母的公因式。
(3) 分式除法运算，先将除法转化为乘以第二个分式的倒数，再分别对各多项式因式分解，最后约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 单项式分式乘法，分子分母分别相乘后约分：
$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2} = \frac{(3×16)xy^2}{(8×27)x^2y}=\frac{48xy^2}{216x^2y}=\frac{2y}{9x}$
(2) 先因式分解多项式，再约分计算：
$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-2)^2}=\frac{x-3}{x-2}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$
【答案】
(1) $\frac{2y}{9x}$；(2) $\frac{x-3}{x-2}$；(3) $\frac{1}{x}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题的关键是牢记分式乘除的运算法则，遇到多项式先因式分解再约分，可有效降低计算量，同时要注意运算顺序，除法运算需先转化为乘法再计算。
【难度系数】
0.8
分式乘除运算的核心思路是：①乘法运算直接分子乘分子、分母乘分母，除法运算先转化为乘以除式的倒数；②若分子、分母含有多项式，先对多项式因式分解；③约去分子分母的公因式，得到最简结果。
针对三个小题的具体思考路径：
(1) 两个单项式分式相乘，直接将分子的系数、字母分别相乘，分母的系数、字母分别相乘，再约去公共的系数因式和字母因式即可。
(2) 两个含多项式的分式相乘，先对分子中的$x^2-9$用平方差公式因式分解，分母中的$x^2-4x+4$用完全平方公式因式分解，再约去分子分母的公因式。
(3) 分式除法运算，先将除法转化为乘以第二个分式的倒数，再分别对各多项式因式分解，最后约去公因式得到结果。
【解析】
(1) 单项式分式乘法，分子分母分别相乘后约分：
$\frac{3x}{8y} · \frac{16y^2}{27x^2} = \frac{(3×16)xy^2}{(8×27)x^2y}=\frac{48xy^2}{216x^2y}=\frac{2y}{9x}$
(2) 先因式分解多项式，再约分计算：
$\frac{x-2}{x+3} · \frac{x^2 -9}{x^2 -4x +4} = \frac{x-2}{x+3} · \frac{(x+3)(x-3)}{(x-2)^2}=\frac{(x-2)(x+3)(x-3)}{(x+3)(x-2)^2}=\frac{x-3}{x-2}$
(3) 先将除法转化为乘法，再因式分解约分：
$\frac{x^2 -1}{x^2 -2x +1} ÷ \frac{x^2 +x}{x -1} = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x+1)}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} · \frac{x-1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}$
【答案】
(1) $\frac{2y}{9x}$；(2) $\frac{x-3}{x-2}$；(3) $\frac{1}{x}$
【知识点】
分式乘除运算；因式分解；约分
【点评】
本题是分式乘除的基础运算题，解题的关键是牢记分式乘除的运算法则，遇到多项式先因式分解再约分，可有效降低计算量，同时要注意运算顺序，除法运算需先转化为乘法再计算。
【难度系数】
0.8
6. 先化简，再求值：
(1) $\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{a^2 -1}$，其中 $a=5$；
(2) $(x^2 -9) ÷ \frac{x-3}{x}$，其中 $x=-1$。
(1) $\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{a^2 -1}$，其中 $a=5$；
(2) $(x^2 -9) ÷ \frac{x-3}{x}$，其中 $x=-1$。
答案
(1) 原式$=\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a}{a-1}$。
当$a=5$时，原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$。
(2) 原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$。
当$x=-1$时，原式$=-1×(-1+3)=-2$。
当$a=5$时，原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$。
(2) 原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$。
当$x=-1$时，原式$=-1×(-1+3)=-2$。
解析
【分析】
这两道题都是分式化简求值类题目，解题分为两步：第一步先化简分式，先对式子中的多项式因式分解，再按照分式乘除的运算法则约分，得到最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算结果即可。其中(1)需要先用平方差公式分解$a^2-1$，再约去分子分母的公因式$a$、$a+1$；(2)需要先用平方差公式分解$x^2-9$，再将除法转化为乘法，约去公因式$x-3$，最后代值计算。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，
原式$=\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a}{a-1}$。
当$a=5$时，将$a=5$代入最简式，得原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$。
(2) 利用平方差公式分解被除式：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，再将除法转化为乘法，
原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$。
当$x=-1$时，将$x=-1$代入最简式，得原式$=-1×(-1+3)=-2$。
【答案】
(1) $\frac{5}{4}$；(2) $-2$
【知识点】
平方差公式、分式乘除运算、代入求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式因式分解后约分，再代值计算，既可以简化计算过程，也能降低出错概率，要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.8
这两道题都是分式化简求值类题目，解题分为两步：第一步先化简分式，先对式子中的多项式因式分解，再按照分式乘除的运算法则约分，得到最简形式；第二步将给定的字母取值代入最简式计算结果即可。其中(1)需要先用平方差公式分解$a^2-1$，再约去分子分母的公因式$a$、$a+1$；(2)需要先用平方差公式分解$x^2-9$，再将除法转化为乘法，约去公因式$x-3$，最后代值计算。
【解析】
(1) 利用平方差公式分解分母：$a^2-1=(a+1)(a-1)$，
原式$=\frac{a+1}{a} · \frac{a^2}{(a+1)(a-1)}=\frac{a}{a-1}$。
当$a=5$时，将$a=5$代入最简式，得原式$=\frac{5}{5-1}=\frac{5}{4}$。
(2) 利用平方差公式分解被除式：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，再将除法转化为乘法，
原式$=(x+3)(x-3) · \frac{x}{x-3}=x(x+3)$。
当$x=-1$时，将$x=-1$代入最简式，得原式$=-1×(-1+3)=-2$。
【答案】
(1) $\frac{5}{4}$；(2) $-2$
【知识点】
平方差公式、分式乘除运算、代入求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是先对多项式因式分解后约分，再代值计算，既可以简化计算过程，也能降低出错概率，要注意约分的前提是公因式不为0。
【难度系数】
0.8
7.学过分式的乘除运算后,王老师给同学们出了这样一道题:当$x=2026$时,求代数式$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \dfrac{2x - 2}{x + 1}$的值.小林一看马上说道:"太复杂了,直接代入计算需要很久的时间啊!"你能帮小林快速解决这个问题吗?请写出你的计算过程.
答案
原式$=\frac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{2(x-1)}=\frac{1}{2}$，
所以，当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
所以，当$x=2026$时，原式的值为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
遇到分式类代数式求值问题，不要直接代入大数计算，优先对代数式化简后再求值，可大幅简化计算。解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对各分式的分子、分母分别因式分解（用到完全平方公式、平方差公式、提公因式法）；最后约掉分子分母的公因式得到最简结果，若最简结果为常数则无需代入x的值，直接得答案即可。
【解析】
解：对原式先化简：
第一步，将除法转化为乘法：
$原式=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{2x - 2}$
第二步，因式分解各部分：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$2x-2=2(x-1)$，代入得：
$原式=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)}$
第三步，约去公因式：
分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$全部约去，可得$原式=\dfrac{1}{2}$
化简结果为常数，和x的取值无关（x=2026时原式所有分母均不为0，符合取值要求），因此当x=2026时，原式的值为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；代数式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察先化简后求值的解题思路，能有效避免大数运算的繁琐，解题的关键是熟练掌握分式运算法则和常见的因式分解方法，约分过程中要注意保证原式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
遇到分式类代数式求值问题，不要直接代入大数计算，优先对代数式化简后再求值，可大幅简化计算。解题思路如下：首先根据分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算；其次对各分式的分子、分母分别因式分解（用到完全平方公式、平方差公式、提公因式法）；最后约掉分子分母的公因式得到最简结果，若最简结果为常数则无需代入x的值，直接得答案即可。
【解析】
解：对原式先化简：
第一步，将除法转化为乘法：
$原式=\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} · \dfrac{x + 1}{2x - 2}$
第二步，因式分解各部分：
$x^2-2x+1=(x-1)^2$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$2x-2=2(x-1)$，代入得：
$原式=\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)}$
第三步，约去公因式：
分子分母的公因式$(x-1)$、$(x+1)$全部约去，可得$原式=\dfrac{1}{2}$
化简结果为常数，和x的取值无关（x=2026时原式所有分母均不为0，符合取值要求），因此当x=2026时，原式的值为$\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式的乘除运算；因式分解；代数式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考察先化简后求值的解题思路，能有效避免大数运算的繁琐，解题的关键是熟练掌握分式运算法则和常见的因式分解方法，约分过程中要注意保证原式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
