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1. 在平面直角坐标系中，以点$(-2,3)$为圆心，3为半径的圆一定 （
A.与$x$轴相切，与$y$轴相切
B.与$x$轴相切，与$y$轴相交
C.与$x$轴相交，与$y$轴相切
D.与$x$轴相交，与$y$轴相交
B
）A.与$x$轴相切，与$y$轴相切
B.与$x$轴相切，与$y$轴相交
C.与$x$轴相交，与$y$轴相切
D.与$x$轴相交，与$y$轴相交
答案
B
解析
【分析】要判断圆与x轴、y轴的位置关系，需用到直线与圆位置关系的判定方法：若圆心到直线的距离为d，圆半径为r，d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。首先我们需要分别求出圆心到x轴、y轴的距离，再将两个距离分别和半径3比较，即可得出两条坐标轴和圆的位置关系，进而选出正确选项。
【解析】已知圆的圆心为$(-2,3)$，半径$r=3$。
1. 求圆心到x轴的距离：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即$d_1=|3|=3$，此时$d_1=r$，因此圆与x轴相切；
2. 求圆心到y轴的距离：点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，即$d_2=|-2|=2$，此时$d_2＜r$，因此圆与y轴相交。
综上，该圆与x轴相切，与y轴相交。
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，解题关键是准确计算圆心到两条坐标轴的距离，再和半径作比较即可得出结论。
【难度系数】0.8
【解析】已知圆的圆心为$(-2,3)$，半径$r=3$。
1. 求圆心到x轴的距离：点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即$d_1=|3|=3$，此时$d_1=r$，因此圆与x轴相切；
2. 求圆心到y轴的距离：点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值，即$d_2=|-2|=2$，此时$d_2＜r$，因此圆与y轴相交。
综上，该圆与x轴相切，与y轴相交。
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系判定；点到坐标轴的距离计算
【点评】本题属于基础题，核心考查直线与圆位置关系的判定规则，解题关键是准确计算圆心到两条坐标轴的距离，再和半径作比较即可得出结论。
【难度系数】0.8
【典型例题 2】如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=6,BC=8$,以直角顶点$C$为圆心作$\odot C$,设$\odot C$的半径为$r$.
(1)当$r$为何值时,$AB$所在直线与$\odot C$相切?
(2)如果$\odot C$与斜边$AB$只有一个公共点,那么$r$的取值范围是;如果$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ ABC$的边只有两个公共点,那么$r$的取值范围是.
【解】(1)如图,过点$C$作$CD⊥ AB$,垂足为$D$.
当$AB$所在直线与$\odot C$相切时,$r=CD$.
$\because∠ C=90°,AC=6,BC=8$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$,
$\therefore\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$.
$\therefore CD=4.8$,即$r=4.8$.
$\therefore$当$r=4.8$时,$AB$所在直线与$\odot C$相切.
(2)$r=4.8$或$6＜ r≤8$ $0＜ r＜4.8$或$6＜ r＜8$
规律方法 利用直线与圆的位置关系确定$d$或$r$的取值或取值范围的一般步骤:
(1)根据已知条件求出$d$或$r$.
(2)根据直线与圆的位置关系得到关于$d$与$r$的等式或不等式.
(3)由第(2)步中的等式或不等式确定$r$或$d$的取值或取值范围.
(1)当$r$为何值时,$AB$所在直线与$\odot C$相切?
(2)如果$\odot C$与斜边$AB$只有一个公共点,那么$r$的取值范围是;如果$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ ABC$的边只有两个公共点,那么$r$的取值范围是.
【解】(1)如图,过点$C$作$CD⊥ AB$,垂足为$D$.
当$AB$所在直线与$\odot C$相切时,$r=CD$.
$\because∠ C=90°,AC=6,BC=8$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$.
$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$,
$\therefore\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$.
$\therefore CD=4.8$,即$r=4.8$.
$\therefore$当$r=4.8$时,$AB$所在直线与$\odot C$相切.
(2)$r=4.8$或$6＜ r≤8$ $0＜ r＜4.8$或$6＜ r＜8$
规律方法 利用直线与圆的位置关系确定$d$或$r$的取值或取值范围的一般步骤:
(1)根据已知条件求出$d$或$r$.
(2)根据直线与圆的位置关系得到关于$d$与$r$的等式或不等式.
(3)由第(2)步中的等式或不等式确定$r$或$d$的取值或取值范围.
答案
解：
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D。
当AB所在直线与⊙C相切时，r=CD。
∵ ∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵ S△ABC=1/2 AB·CD = 1/2 AC·BC，
∴ 1/2 ×10·CD = 1/2 ×6×8，
解得CD=4.8，即r=4.8。
∴ 当r=4.8时，AB所在直线与⊙C相切。
(2) 若⊙C与斜边AB只有一个公共点，r的取值范围是$\boldsymbol{r=4.8}$或$\boldsymbol{6＜r≤8}$；
若⊙C与Rt△ABC的边只有两个公共点，r的取值范围是$\boldsymbol{0＜r＜4.8}$或$\boldsymbol{6＜r＜8}$。
(1) 过点C作CD⊥AB，垂足为D。
当AB所在直线与⊙C相切时，r=CD。
∵ ∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴ AB=√(AC²+BC²)=√(6²+8²)=10。
∵ S△ABC=1/2 AB·CD = 1/2 AC·BC，
∴ 1/2 ×10·CD = 1/2 ×6×8，
解得CD=4.8，即r=4.8。
∴ 当r=4.8时，AB所在直线与⊙C相切。
(2) 若⊙C与斜边AB只有一个公共点，r的取值范围是$\boldsymbol{r=4.8}$或$\boldsymbol{6＜r≤8}$；
若⊙C与Rt△ABC的边只有两个公共点，r的取值范围是$\boldsymbol{0＜r＜4.8}$或$\boldsymbol{6＜r＜8}$。
解析
【分析】
(1) 要判断AB所在直线与$\odot C$相切，根据直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于半径，因此只需先求出点C到AB的距离，该距离即为相切时的半径r。首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），即可求出C到AB的垂线段长度。
(2) 讨论公共点个数时需分类分析：① 与斜边AB只有一个公共点分两种情况：一是AB与$\odot C$相切，仅1个切点；二是$\odot C$与AB相交但仅1个交点落在线段AB上，此时r需大于AC长度且不超过BC长度，保证点A在圆内、点B在圆外或圆上，线段AB仅与圆有1个交点。② 与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点时：当$0＜r＜4.8$时，圆仅与AC、BC各有1个交点，共2个；当$6＜r＜8$时，AC全在圆内无交点，圆与BC、AB各有1个交点，共2个，其余范围的r对应的公共点个数均不符合要求。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥AB$，垂足为D。
当AB所在直线与$\odot C$相切时，$r=CD$。
$\because ∠C=90°,AC=6,BC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
$\therefore\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8$，即$r=4.8$。
$\therefore$当$r=4.8$时，AB所在直线与$\odot C$相切。
(2) 若$\odot C$与斜边AB只有一个公共点：
① 当AB与$\odot C$相切时，$r=4.8$，仅1个公共点（切点）；
② 当$6＜r≤8$时，点A在$\odot C$内，点B在$\odot C$上或外，线段AB与$\odot C$仅有1个交点。
因此r的取值范围是$r=4.8$或$6＜r≤8$。
若$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点：
① 当$0＜r＜4.8$时，$\odot C$与AB无交点，与AC、BC各有1个交点，共2个公共点；
② 当$6＜r＜8$时，AC整条线段在$\odot C$内无交点，$\odot C$与BC、AB各有1个交点，共2个公共点。
因此r的取值范围是$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$。
【答案】
(1) $r=4.8$；
(2) $r=4.8$或$6＜r≤8$；$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的应用，解题时要注意区分“直线与圆的公共点个数”和“线段与圆的公共点个数”的差异，灵活运用分类讨论思想分析不同半径下的交点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要判断AB所在直线与$\odot C$相切，根据直线与圆相切的性质：圆心到直线的距离等于半径，因此只需先求出点C到AB的距离，该距离即为相切时的半径r。首先用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），即可求出C到AB的垂线段长度。
(2) 讨论公共点个数时需分类分析：① 与斜边AB只有一个公共点分两种情况：一是AB与$\odot C$相切，仅1个切点；二是$\odot C$与AB相交但仅1个交点落在线段AB上，此时r需大于AC长度且不超过BC长度，保证点A在圆内、点B在圆外或圆上，线段AB仅与圆有1个交点。② 与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点时：当$0＜r＜4.8$时，圆仅与AC、BC各有1个交点，共2个；当$6＜r＜8$时，AC全在圆内无交点，圆与BC、AB各有1个交点，共2个，其余范围的r对应的公共点个数均不符合要求。
【解析】
(1) 过点C作$CD⊥AB$，垂足为D。
当AB所在直线与$\odot C$相切时，$r=CD$。
$\because ∠C=90°,AC=6,BC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
$\because S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB· CD=\frac{1}{2}AC· BC$，
$\therefore\frac{1}{2}×10· CD=\frac{1}{2}×6×8$，
解得$CD=4.8$，即$r=4.8$。
$\therefore$当$r=4.8$时，AB所在直线与$\odot C$相切。
(2) 若$\odot C$与斜边AB只有一个公共点：
① 当AB与$\odot C$相切时，$r=4.8$，仅1个公共点（切点）；
② 当$6＜r≤8$时，点A在$\odot C$内，点B在$\odot C$上或外，线段AB与$\odot C$仅有1个交点。
因此r的取值范围是$r=4.8$或$6＜r≤8$。
若$\odot C$与$\mathrm{Rt}△ABC$的边只有两个公共点：
① 当$0＜r＜4.8$时，$\odot C$与AB无交点，与AC、BC各有1个交点，共2个公共点；
② 当$6＜r＜8$时，AC整条线段在$\odot C$内无交点，$\odot C$与BC、AB各有1个交点，共2个公共点。
因此r的取值范围是$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$。
【答案】
(1) $r=4.8$；
(2) $r=4.8$或$6＜r≤8$；$0＜r＜4.8$或$6＜r＜8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的应用，解题时要注意区分“直线与圆的公共点个数”和“线段与圆的公共点个数”的差异，灵活运用分类讨论思想分析不同半径下的交点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 如图，$∠ AOB = 30°$，$OP = 8$. 若$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点，则$\odot P$的半径$r$的取值范围是
$r=4$或$r＞8$
。答案
$r=4$或$r＞8$
解析
【分析】
要解决$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点时半径$r$的取值范围，需分两种情况讨论：①圆与射线$OA$相切，此时恰好有1个公共点；②圆与射线$OA$相交，但仅1个交点落在射线$OA$上（另一交点在射线反向延长线上）。首先利用$30°$角的直角三角形性质求出相切时的半径，再分析相交时满足仅1个交点的半径范围，最后排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$\odot P$与射线$OA$相切时，过点$P$作$PC⊥ OA$于点$C$，此时圆心到直线$OA$的距离等于半径，即$PC=r$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$∠ AOB=30°$，$OP=8$，根据$30°$角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$PC = OP · \sin30° = 8 × \frac{1}{2} = 4$，即$r=4$时，$\odot P$与射线$OA$只有1个公共点（切点）。
2. 当$\odot P$与射线$OA$相交且仅1个交点在射线$OA$上时，此时点$O$在$\odot P$内部，因此半径$r＞OP=8$，射线$OA$从圆内的$O$点出发，仅与圆交于1个点，符合要求。
当$r＜4$时，$\odot P$与$OA$相离，无公共点；当$4＜r\le8$时，直线$OA$与$\odot P$有2个交点，且都落在射线$OA$上，即$\odot P$与射线$OA$有2个公共点，不符合题意。
综上，$r$的取值范围是$r=4$或$r＞8$。
【答案】
$r=4$或$r＞8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，含$30°$角的直角三角形性质
【点评】
本题解题的关键是区分射线与直线的差异，容易出现的错误是仅考虑相切的情况，漏掉$r＞8$的情形，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要解决$\odot P$与射线$OA$只有一个公共点时半径$r$的取值范围，需分两种情况讨论：①圆与射线$OA$相切，此时恰好有1个公共点；②圆与射线$OA$相交，但仅1个交点落在射线$OA$上（另一交点在射线反向延长线上）。首先利用$30°$角的直角三角形性质求出相切时的半径，再分析相交时满足仅1个交点的半径范围，最后排除不符合的情况即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$\odot P$与射线$OA$相切时，过点$P$作$PC⊥ OA$于点$C$，此时圆心到直线$OA$的距离等于半径，即$PC=r$。
在$\mathrm{Rt}△ OPC$中，$∠ AOB=30°$，$OP=8$，根据$30°$角所对直角边等于斜边的一半，可得：
$PC = OP · \sin30° = 8 × \frac{1}{2} = 4$，即$r=4$时，$\odot P$与射线$OA$只有1个公共点（切点）。
2. 当$\odot P$与射线$OA$相交且仅1个交点在射线$OA$上时，此时点$O$在$\odot P$内部，因此半径$r＞OP=8$，射线$OA$从圆内的$O$点出发，仅与圆交于1个点，符合要求。
当$r＜4$时，$\odot P$与$OA$相离，无公共点；当$4＜r\le8$时，直线$OA$与$\odot P$有2个交点，且都落在射线$OA$上，即$\odot P$与射线$OA$有2个公共点，不符合题意。
综上，$r$的取值范围是$r=4$或$r＞8$。
【答案】
$r=4$或$r＞8$
【知识点】
直线与圆的位置关系，含$30°$角的直角三角形性质
【点评】
本题解题的关键是区分射线与直线的差异，容易出现的错误是仅考虑相切的情况，漏掉$r＞8$的情形，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
