1. 一元二次方程$x^2 - x - 3 = 0$的两个实数根为$x_1$和$x_2$，则$x_1x_2$的值是（）

A.$-3$
B.$-2$
C.$2$
D.$3$

A

【分析】
本题要求一元二次方程两根的乘积，首先联想到一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的一元二次方程，若其两个实数根为$x_1$、$x_2$，则两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时先确定给定方程的各项系数$a$、$b$、$c$，再代入公式计算即可得到结果。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），题中方程$x^2 - x - 3 = 0$对应各项系数为：
$a=1$，$b=-1$，$c=-3$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，代入系数得：
$x_1x_2=\frac{-3}{1}=-3$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理中两根之积公式的应用，解题关键是准确识别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.9

2. 已知实数 $ x_1, x_2 $ 满足 $ x_1 + x_2 = 3 $，$ x_1x_2 = -4 $，则以 $ x_1, x_2 $ 为根的一元二次方程可能是（）

A.$ x^2 - 3x - 4 = 0 $
B.$ x^2 - 3x + 4 = 0 $
C.$ x^2 + 3x - 4 = 0 $
D.$ x^2 + 3x + 4 = 0 $

A

【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆以两个数为根的一元二次方程的构造方法：当二次项系数为1时，一元二次方程的形式为$x^2 - （两根之和）x + 两根之积 = 0$，推导依据是若方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，令$a=1$即可得到上述构造公式。接下来只需将题目给出的两根之和、两根之积代入公式，就能得到对应的方程，再对照选项选出答案即可。
【解析】
若二次项系数为1，以$x_1、x_2$为根的一元二次方程的形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -4$，代入上式得：
$x^2 - 3x - 4 = 0$
也可通过验证各选项的根与系数关系排除错误选项：
B选项两根之积为4，与已知$x_1x_2=-4$不符，排除；
C选项两根之和为-3，与已知$x_1+x_2=3$不符，排除；
D选项两根之和、两根之积均与已知不符，排除。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，核心是掌握二次项系数为1时用两根构造方程的公式，直接代入数值即可快速得出结果，属于基础题。
【难度系数】
0.9

3.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k - 2)x - 1 = 0$的两个实数根互为相反数，则$k$的值为。

2

【分析】
本题可结合相反数的性质与一元二次方程根与系数的关系求解：首先，互为相反数的两个数之和为0，因此方程的两根之和为0；再根据韦达定理（根与系数的关系）列出关于k的方程，解出k的取值后，还要代入原方程验证判别式是否非负，确保方程存在两个实数根。
【解析】
设该一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据相反数的性质，两个互为相反数的和为0，因此$x_1 + x_2 = 0$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。本题中方程为$x^2 + (k - 2)x - 1 = 0$，其中$a=1$，$b=k-2$，因此：
$x_1 + x_2 = -\frac{k-2}{1} = 2 - k$
3. 结合$x_1 + x_2 = 0$，列方程得：
$2 - k = 0$
解得$k=2$。
4. 验证根的存在性：将$k=2$代入原方程得$x^2 - 1 = 0$，判别式$\Delta = 0^2 - 4×1×(-1) = 4 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根，符合题意。
【答案】
2
【知识点】
根与系数的关系；相反数的性质；根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时需注意求出参数后要验证方程是否有实数根，避免忽略前提条件导致错误。
【难度系数】
0.8

4. 一个矩形的长和宽恰好是方程$x^2 -5x +3=0$的两个根，则该矩形的面积是。

3

【分析】
要求矩形的面积，已知矩形的长和宽是给定一元二次方程的两个根，而矩形面积=长×宽，因此只需计算方程两个根的乘积即可。我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），无需解出方程的根，直接求出两根之积，比先解方程求根再计算乘积更简便。
【解析】
设矩形的长为$m$，宽为$n$，由题意可知$m$、$n$是方程$x^2 -5x +3=0$的两个实数根。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$和$x_2$，根据根与系数的关系可得$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
在方程$x^2 -5x +3=0$中，$a=1$，$c=3$，因此两根之积$mn=\frac{3}{1}=3$。
矩形的面积$S=长×宽=mn=3$。
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，矩形面积计算
【点评】
本题结合了一元二次方程根与系数的关系和矩形面积公式，不需要求解方程的根，直接利用韦达定理计算两根之积即可得到结果，能够简化运算步骤，考查对基础知识点的灵活应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 以一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和为横坐标，两根之积为纵坐标的点在平面直角坐标系中位于第象限.

三

【分析】
解题第一步需先将给定的一元二次方程化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，找到对应系数$a、b、c$；再运用一元二次方程根与系数的关系，分别计算出两根之和（即点的横坐标）、两根之积（即点的纵坐标）；最后根据横、纵坐标的正负属性，判断点所在的象限。
【解析】
首先将原方程化为一般形式：
展开$x(x+2)-3=0$，得$x^2+2x-3=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
设方程的两根为$x_1$、$x_2$，根据一元二次方程根与系数的关系：
两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{2}{1}=-2$，即点的横坐标为$-2$，小于0；
两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$，即点的纵坐标为$-3$，小于0。
横、纵坐标均为负数的点，在平面直角坐标系中位于第三象限。
【答案】
三
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 象限内点的坐标特征
【点评】
本题是基础综合题，将一元二次方程的韦达定理和平面直角坐标系的知识点结合考查，难度较低，熟练掌握两个核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$.若方程的两个实数根$x_1$，$x_2$满足$x_1x_2 = x_1 + x_2 - 2$，求$k$的值.

【解】$\because \Delta =[-(k+3)]^2 -4(2k+2)=(k-1)^2 \ge 0$，
$\therefore$当$k=1$时,原方程有两个相等的实数根;当$k \ne 1$时,原方程有两个不相等的实数根.
根据题意,得$x_1 +x_2 =k+3$,$x_1x_2 =2k+2$.
$\because x_1x_2 =x_1 +x_2 -2$，
$\therefore 2k+2=k+3-2$.
解得$k=-1$.故$k$的值为$-1$.

【分析】
本题需要结合一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解。首先，一元二次方程有两个实数根的前提是判别式$\Delta \ge 0$，先计算判别式确认根的存在性；其次，根据韦达定理直接写出该方程两根之和与两根之积的表达式；最后将其代入题目给出的$x_1x_2 = x_1 + x_2 - 2$的等量关系，列一元一次方程求解$k$的值，再结合判别式的结果验证$k$是否符合要求即可。
【解析】
第一步：计算判别式，确认方程有实根
对于一元二次方程$x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$，
判别式$\Delta =[-(k+3)]^2 -4×1×(2k+2)=k^2+6k+9-8k-8=(k-1)^2 \ge 0$，
因此无论$k$取何值，原方程总有两个实数根。
第二步：根据韦达定理写出两根和、两根积
由根与系数的关系可得：
$x_1 +x_2 =k+3$，$x_1x_2 =2k+2$。
第三步：代入等量关系列方程求解
已知$x_1x_2 =x_1 +x_2 -2$，将上述表达式代入得：
$2k+2=k+3-2$
移项合并同类项得：$2k - k = 3 - 2 - 2$
解得$k=-1$，符合判别式$\Delta \ge 0$的要求。
【答案】
$k=-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 一元二次方程根与系数的关系
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的关键是先通过判别式确认方程有实根，再利用韦达定理建立根与系数的联系，代入已知条件求解即可，解题时注意养成验证所求参数是否满足方程有实根的习惯，避免出现增根。
【难度系数】
0.8

7. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + k + 1 = 0$的两个根为$x_1, x_2$，且$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$，则$k$的取值范围是（）

A.$k ＞ -2$
B.$k ＞ 2$
C.$-2 ＜ k ≤ 0$
D.$0 ≤ k ＜ 2$

C

【分析】
解决本题要分两步思考：首先，一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式必须大于等于0，这是隐含前提，不能忽略；其次，题干给出了两根之和与两根之积的不等式，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系，直接写出两根之和、两根之积关于k的表达式，代入不等式求解，最后取两个条件的公共解集，就能得到k的取值范围。
【解析】
1. 根据方程有两个实数根，先求判别式的取值范围：
对于一元二次方程$x^2 + 2x + k + 1 = 0$，其中$a=1,b=2,c=k+1$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4×1×(k+1) ≥ 0$，
计算得：$4 - 4k - 4 ≥ 0$，化简为$-4k ≥ 0$，解得$k ≤ 0$。
2. 利用根与系数的关系求两根之和、两根之积：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$，$x_1x_2 = \frac{c}{a} = k+1$。
3. 代入不等式$x_1 + x_2 - x_1x_2 ＜ -1$求解：
将上述结果代入得：$-2 - (k+1) ＜ -1$，
去括号：$-2 - k -1 ＜ -1$，
整理得：$-k -3 ＜ -1$，
移项得：$-k ＜ 2$，
两边同时乘-1，不等号方向改变，得$k ＞ -2$。
4. 结合两个条件取交集：
$k$需要同时满足$k ＞ -2$和$k ≤ 0$，因此$k$的取值范围是$-2 ＜ k ≤ 0$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系
3. 解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是容易忽略“方程有两个实根”的隐含条件，仅通过不等式解得$k ＞ -2$就误选A，做题时要注意先判断根的存在性，再结合条件求解。
【难度系数】
0.7

8.若$x_1,x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，则代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$的值为（）

A.0
B.25
C.26
D.$-1$

C

【分析】
解题思路如下：首先，已知$x_1$是方程的根，根据一元二次方程根的定义，可将$x_1$代入方程得到$x_1^2$的表达式，实现降次；然后将$x_1^2$的表达式代入所求代数式进行化简，化简后会出现两根之和$x_1+x_2$的形式；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出$x_1+x_2$的值，代入化简后的式子即可算出结果。
【解析】
∵$x_1$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的实数根，
∴将$x_1$代入方程得：$x_1^2 - 25x_1 - 1 = 0$，即$x_1^2 = 25x_1 + 1$。
将$x_1^2 = 25x_1 + 1$代入代数式$x_1^2 - 24x_1 + x_2$得：
$\begin{aligned}x_1^2 - 24x_1 + x_2&=25x_1 + 1 - 24x_1 + x_2\\&=x_1 + x_2 + 1\end{aligned}$
又
∵$x_1、x_2$是方程$x^2 - 25x - 1 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 25$。
∴原式$=25 + 1 = 26$。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，解题核心是利用根的定义对高次项降次，将待求代数式转化为可直接用韦达定理计算的形式，避免了直接求解方程根的繁琐运算，能有效考查学生对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

9.关于x的方程$x^2 - 3x - m = 0$的两个实数根为$x_1, x_2$，且$x_1^2 - 2x_1 + x_2 = 2x_1x_2$，则m的值为。

-1

【分析】
解题时可从两个核心考点切入：①一元二次方程的根满足方程本身，可将$x_1^2$降次为含$x_1$的一次式，消除等式中的高次项；②根据根与系数的关系（韦达定理）可直接得到两根之和、两根之积的表达式。将已知等式中的$x_1^2$替换后整理，再把两根和、两根积整体代入，即可得到仅含m的方程，求解后验证判别式确保根为实数，排除增根即可。
【解析】
∵$x_1$是方程$x^2 - 3x - m = 0$的实数根
∴代入方程得：$x_1^2 - 3x_1 - m = 0$，即$x_1^2 = 3x_1 + m$
根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 - 3x - m = 0$的两根满足：
$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = -m$
将$x_1^2 = 3x_1 + m$代入等式$x_1^2 - 2x_1 + x_2 = 2x_1x_2$的左边：
左边$= 3x_1 + m - 2x_1 + x_2 = x_1 + x_2 + m$
右边$= 2x_1x_2 = 2×(-m) = -2m$
因此等式可化简为：$x_1 + x_2 + m = -2m$
把$x_1 + x_2 = 3$代入得：$3 + m = -2m$
移项合并同类项得：$3m = -3$，解得$m = -1$
验证判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×(-m) = 9 + 4m$，当$m=-1$时，$\Delta = 9 - 4 = 5 ＞ 0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的基础综合题，解题关键是利用根的定义降次，结合韦达定理整体代入简化计算，最后需验证判别式保证根存在，是该章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

10.已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 - 3 = 0$的两个实数根，且$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$，求$k$的值。

【解】根据题意,得$x_1 +x_2 =2(k+1)=2k+2$，$x_1x_2 =k^2 -3$.
由$(x_1 +1)(x_2 +1)=8$,得$x_1x_2 +x_1 +x_2 +1=8$,即$k^2 -3 +2k +2 +1=8$.
解得$k_1=2$,$k_2=-4$.
因为$\Delta =[-2(k+1)]^2 -4(k^2 -3) \ge 0$，
所以$k \ge -2$.所以$k=2$.

【分析】
本题需要结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和根的判别式求解，解题思路如下：第一步，先根据韦达定理，从给定的一元二次方程中写出两根之和$x_1+x_2$、两根之积$x_1x_2$的表达式；第二步，将已知条件$(x_1+1)(x_2+1)=8$展开，整理成含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，再把第一步得到的表达式代入，即可得到关于$k$的一元二次方程，求解得到$k$的两个候选值；第三步，因为题目明确方程有两个实数根，所以根的判别式$\Delta≥0$，据此验证候选的$k$值，舍去不符合条件的解，得到最终的$k$值。
【解析】
解：
∵$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2 - 2(k+1)x + k^2 - 3 = 0$的两个实数根
∴根据根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 2(k+1) = 2k + 2$，$x_1x_2 = k^2 - 3$
将$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 8$展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 8$
把$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入上式：
$k^2 - 3 + 2k + 2 + 1 = 8$
整理得：$k^2 + 2k - 8 = 0$
因式分解得：$(k - 2)(k + 4) = 0$
解得：$k_1 = 2$，$k_2 = -4$
又
∵方程有两个实数根，
∴判别式$\Delta≥0$
$\Delta = [-2(k+1)]^2 - 4×1×(k^2 - 3)$
$= 4(k^2 + 2k + 1) - 4k^2 + 12$
$= 8k + 16 ≥ 0$
解得：$k ≥ -2$
∴$k = -4$不符合条件，舍去
故$k$的值为2。
【答案】
$k=2$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根的判别式
一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的常规应用题型，解题的易错点是求出$k$的候选值后忽略根的判别式的限制条件，导致出现增根，求解此类问题时一定要注意验证方程是否有实数根。
【难度系数】
0.6

11.设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两个根.
(1)当$x_1=-1$时,求$x_2$和$m$的值.
(2)求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.

(1)【解】把$x_1=-1$代入$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$.
$\therefore m=\pm \sqrt{6}$.
$\therefore (x-1)(x-2)=6$.
整理,得$x^2 -3x -4=0$.
解得$x_1=-1$,$x_2=4$.
故$x_2$的值为4,$m$的值为$\pm \sqrt{6}$.
(2)【证明】方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2 -3x +2 -m^2=0$.
$\because \Delta =b^2 -4ac=(-3)^2 -4 × 1 × (2 -m^2)=4m^2 +1＞0$,
$\therefore$原方程有两个不相等的实数根.
$\therefore x_1 +x_2=3$,$x_1x_2=2 -m^2$.
$\because (x_1 -1)(x_2 -1)=x_1x_2 -(x_1 +x_2)+1=2 -m^2 -3 +1=-m^2 \le 0$,
$\therefore (x_1 -1)(x_2 -1) \le 0$.

【分析】
(1) 求解第一问时，利用方程根的定义：方程的根满足方程等式，先将已知根$x_1=-1$代入原方程，可求出$m^2$的值，进而得到$m$的取值；再将$m^2$的值代回原方程，整理为一元二次方程的标准形式，求解方程即可得到另一个根$x_2$。
(2) 证明第二问时，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得到两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$的表达式；再将待证的代数式$(x_1-1)(x_2-1)$展开，把$x_1+x_2$、$x_1x_2$代入化简，最后结合平方的非负性即可证明结论。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$，即$m^2=6$
$\therefore m=\pm\sqrt{6}$
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得：
$x^2-3x-4=0$
解得$x_1=-1$，$x_2=4$
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：
$x^2-3x+2-m^2=0$
由根与系数的关系可得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$
代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$
$\because m^2≥0$，$\therefore -m^2≤0$
即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2$的值为4，$m$的值为$\pm\sqrt{6}$；
(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心知识点设题，第一问是根的定义的基础应用，计算难度较低；第二问需要学生熟练掌握代数式变形和韦达定理的应用，逻辑推导难度适中，能较好地检验学生对相关知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7