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3.二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象如图所示.若方程$2x^2+4x-1=0$的一个根的近似值是$-2.2$,则该方程的另一个根的近似值为
0.2
.(结果保留小数点后一位)答案
3.0.2
解析
【分析】
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的根就是对应二次函数$y=2x^2+4x-1$图象与x轴交点的横坐标。二次函数图象是抛物线，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为$x=-1$，其中一个根的近似值为$-2.2$，利用对称关系即可求出另一个根的近似值。
【解析】
设方程$2x^2+4x-1=0$的另一个根为$x_1$。
因为二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为$x=-1$，所以两个根的算术平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1 + (-2.2)}{2} = -1$
等式两边同时乘2得：$x_1 - 2.2 = -2$
移项计算得：$x_1 = 2.2 - 2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质与一元二次方程的结合应用，解题核心是利用二次函数图象与x轴交点关于对称轴对称的性质，无需解一元二次方程即可快速求出未知根，属于基础性质的灵活应用题。
【难度系数】
0.8
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的根就是对应二次函数$y=2x^2+4x-1$图象与x轴交点的横坐标。二次函数图象是抛物线，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴对应的x值。已知对称轴为$x=-1$，其中一个根的近似值为$-2.2$，利用对称关系即可求出另一个根的近似值。
【解析】
设方程$2x^2+4x-1=0$的另一个根为$x_1$。
因为二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称，对称轴为$x=-1$，所以两个根的算术平均数等于对称轴的横坐标，即：
$\frac{x_1 + (-2.2)}{2} = -1$
等式两边同时乘2得：$x_1 - 2.2 = -2$
移项计算得：$x_1 = 2.2 - 2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数性质与一元二次方程的结合应用，解题核心是利用二次函数图象与x轴交点关于对称轴对称的性质，无需解一元二次方程即可快速求出未知根，属于基础性质的灵活应用题。
【难度系数】
0.8
1. 当抛物线$y=x^2 -bx +1$与$x$轴有唯一的公共点时，$b$的值是 （
A.0
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
D
）A.0
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴有唯一公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$。接下来先确定对应一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程求解，就能得到b的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -bx +1$与x轴有唯一的公共点
∴ 关于x的一元二次方程$x^2 -bx +1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$
本题中方程$x^2 -bx +1=0$的二次项系数$a=1$，一次项系数为$-b$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta=(-b)^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
令$\Delta=0$，即$b^2 - 4=0$，解得$b^2=4$，$\therefore b=\pm2$
故选D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系：$\Delta＞0$时抛物线与x轴有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点，解题时要注意准确代入方程的各项系数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要明确抛物线与x轴交点个数和对应一元二次方程根的关系：抛物线与x轴有唯一公共点，说明对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即根的判别式$\Delta=0$。接下来先确定对应一元二次方程的各项系数，代入判别式公式列方程求解，就能得到b的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -bx +1$与x轴有唯一的公共点
∴ 关于x的一元二次方程$x^2 -bx +1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），判别式$\Delta=b^2-4ac$
本题中方程$x^2 -bx +1=0$的二次项系数$a=1$，一次项系数为$-b$，常数项$c=1$，代入得：
$\Delta=(-b)^2 - 4×1×1 = b^2 - 4$
令$\Delta=0$，即$b^2 - 4=0$，解得$b^2=4$，$\therefore b=\pm2$
故选D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握抛物线与x轴交点个数和判别式的对应关系：$\Delta＞0$时抛物线与x轴有2个交点，$\Delta=0$时有1个交点，$\Delta＜0$时没有交点，解题时要注意准确代入方程的各项系数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
2.若二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点A(1,1)，则关于x的一元二次方程$x^2 -6x +c=1$的根为（
A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=6$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=5$
D
）A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=6$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=5$
答案
2.D
解析
【分析】
解题可通过两种思路完成：第一种是先利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A(1,1)代入二次函数表达式求出参数c，再将c代入待解的一元二次方程，直接求解方程得到根；第二种是结合二次函数与一元二次方程的关系，待解方程的根就是二次函数$y=x^2-6x+c$函数值为1时对应的x值，即抛物线与直线$y=1$交点的横坐标，已知一个交点为A(1,1)，结合二次函数的对称性可快速求出另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点A(1,1)
∴ 将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c=1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴ $x_1=1$，$x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c=1$的根是二次函数$y=x^2 -6x +c$与直线$y=1$交点的横坐标
已知点A(1,1)是其中一个交点，即$x=1$是方程的一个根
二次函数$y=x^2 -6x +c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3$
∴ 两个交点关于对称轴$x=3$对称，设另一个根为$x_2$，则$\frac{1+x_2}{2}=3$，解得$x_2=5$
∴ 方程的根为$x_1=1,x_2=5$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的综合应用，解题方法灵活，既可以通过代入求值、解方程的常规思路求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到答案，注重对基础知识点的灵活运用考查。
【难度系数】
0.8
解题可通过两种思路完成：第一种是先利用二次函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，将点A(1,1)代入二次函数表达式求出参数c，再将c代入待解的一元二次方程，直接求解方程得到根；第二种是结合二次函数与一元二次方程的关系，待解方程的根就是二次函数$y=x^2-6x+c$函数值为1时对应的x值，即抛物线与直线$y=1$交点的横坐标，已知一个交点为A(1,1)，结合二次函数的对称性可快速求出另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法一：
∵ 二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点A(1,1)
∴ 将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c=1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴ $x_1=1$，$x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c=1$的根是二次函数$y=x^2 -6x +c$与直线$y=1$交点的横坐标
已知点A(1,1)是其中一个交点，即$x=1$是方程的一个根
二次函数$y=x^2 -6x +c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2×1}=3$
∴ 两个交点关于对称轴$x=3$对称，设另一个根为$x_2$，则$\frac{1+x_2}{2}=3$，解得$x_2=5$
∴ 方程的根为$x_1=1,x_2=5$
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题考查二次函数和一元二次方程的综合应用，解题方法灵活，既可以通过代入求值、解方程的常规思路求解，也可以利用二次函数的对称性快速得到答案，注重对基础知识点的灵活运用考查。
【难度系数】
0.8
3.若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则关于x的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是
x＜1或x＞3
。答案
3.$x＜1$或$x＞3$
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是找二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y$小于0时对应的自变量$x$的取值范围，对应到图象上就是找图象位于x轴下方的部分对应的$x$范围。首先先从图象中提取关键信息：二次函数与x轴的交点坐标、开口方向，再根据图象位置确定$x$的取值即可。
【解析】
由二次函数图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下。
不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集，就是函数图象在x轴下方（即$y＜0$）时对应的$x$的取值范围。
观察图象可得：当$x＜1$或$x＞3$时，函数图象位于x轴下方，满足$y＜0$，
因此不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜1$或$x＞3$。
【答案】
$x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1.二次函数与一元二次不等式的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解一元二次不等式中的应用，解题核心是将不等式问题转化为二次函数图象的位置问题，准确提取图象中的交点、开口方向等信息是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，本质是找二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值$y$小于0时对应的自变量$x$的取值范围，对应到图象上就是找图象位于x轴下方的部分对应的$x$范围。首先先从图象中提取关键信息：二次函数与x轴的交点坐标、开口方向，再根据图象位置确定$x$的取值即可。
【解析】
由二次函数图象可知，抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下。
不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集，就是函数图象在x轴下方（即$y＜0$）时对应的$x$的取值范围。
观察图象可得：当$x＜1$或$x＞3$时，函数图象位于x轴下方，满足$y＜0$，
因此不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是$x＜1$或$x＞3$。
【答案】
$x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1.二次函数与一元二次不等式的关系
2.二次函数的图象性质
【点评】
本题考查数形结合思想在解一元二次不等式中的应用，解题核心是将不等式问题转化为二次函数图象的位置问题，准确提取图象中的交点、开口方向等信息是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 将抛物线 $ y = x^2 -6x +12 $ 向下平移 $ k $（$ k＞0 $）个单位长度. 若平移后得到的抛物线与 $ x $ 轴有公共点, 则 $ k $ 的取值范围是
k≥3
.答案
4.$k≥3$
解析
【分析】
解题思路可分三步：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴有公共点等价于令y=0得到的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，也可先将原抛物线配方，结合开口向上的性质，平移后顶点纵坐标≤0即可与x轴有公共点；第三步，代入数值计算解不等式，结合k＞0的条件得到k的取值范围。
【解析】
解法1（判别式法）：
抛物线向下平移k个单位后的解析式为：
$y = x^2 -6x +12 - k$
∵平移后抛物线与x轴有公共点
∴当$y=0$时，方程$x^2 -6x +12 - k = 0$有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$
此处$a=1$，$b=-6$，$c=12 - k$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(12 - k) ≥ 0$
计算得：$36 - 48 + 4k ≥0$
化简：$4k ≥ 12$，解得$k ≥3$
又已知$k＞0$，故$k$的取值范围是$k≥3$。
解法2（顶点法）：
先将原抛物线配方：
$y = x^2 -6x +12 = (x-3)^2 + 3$
可知原抛物线开口向上，顶点坐标为$(3, 3)$
向下平移k个单位后，顶点坐标变为$(3, 3 -k)$
要使平移后抛物线与x轴有公共点，需顶点纵坐标≤0（开口向上，顶点在x轴及下方时抛物线与x轴有交点）
即$3 -k ≤ 0$，解得$k≥3$。
【答案】
$k≥3$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查图象平移性质和二次函数与x轴交点的判定方法，解题时既可以通过判别式求解，也可以结合抛物线顶点的位置分析，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步：第一步，根据二次函数图象“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，抛物线与x轴有公共点等价于令y=0得到的一元二次方程有实数根，即根的判别式Δ≥0，也可先将原抛物线配方，结合开口向上的性质，平移后顶点纵坐标≤0即可与x轴有公共点；第三步，代入数值计算解不等式，结合k＞0的条件得到k的取值范围。
【解析】
解法1（判别式法）：
抛物线向下平移k个单位后的解析式为：
$y = x^2 -6x +12 - k$
∵平移后抛物线与x轴有公共点
∴当$y=0$时，方程$x^2 -6x +12 - k = 0$有实数根
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），根的判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$
此处$a=1$，$b=-6$，$c=12 - k$，代入得：
$\Delta = (-6)^2 -4×1×(12 - k) ≥ 0$
计算得：$36 - 48 + 4k ≥0$
化简：$4k ≥ 12$，解得$k ≥3$
又已知$k＞0$，故$k$的取值范围是$k≥3$。
解法2（顶点法）：
先将原抛物线配方：
$y = x^2 -6x +12 = (x-3)^2 + 3$
可知原抛物线开口向上，顶点坐标为$(3, 3)$
向下平移k个单位后，顶点坐标变为$(3, 3 -k)$
要使平移后抛物线与x轴有公共点，需顶点纵坐标≤0（开口向上，顶点在x轴及下方时抛物线与x轴有交点）
即$3 -k ≤ 0$，解得$k≥3$。
【答案】
$k≥3$
【知识点】
二次函数图象平移规律；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是二次函数的基础综合题，核心考查图象平移性质和二次函数与x轴交点的判定方法，解题时既可以通过判别式求解，也可以结合抛物线顶点的位置分析，两种方法都需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5.若抛物线$y=x^2 -2x +c$与$x$轴交于点$A,B$,与$y$轴交于点$C(0,-3)$,则线段$AB$的长是
4
.答案
5.4
解析
【分析】
解题可按两步走：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将C点坐标代入抛物线解析式，可求出未知参数c的值，得到完整的抛物线解析式；第二步，求线段AB的长，即求抛物线与x轴两个交点横坐标的差的绝对值，只需令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算两点距离即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -2x +c$与y轴交于点$C(0,-3)$
∴ 将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = 0^2 - 2× 0 + c$
解得$c=-3$
∴ 抛物线解析式为$y=x^2 -2x -3$
令$y=0$，得一元二次方程：$x^2 -2x -3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
∴ A、B两点的横坐标分别为-1和3
∴ 线段AB的长为$|3 - (-1)|=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是利用已知点确定函数解析式，再结合二次函数与一元二次方程的对应关系求解交点距离，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题可按两步走：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将C点坐标代入抛物线解析式，可求出未知参数c的值，得到完整的抛物线解析式；第二步，求线段AB的长，即求抛物线与x轴两个交点横坐标的差的绝对值，只需令y=0，解对应的一元二次方程得到两个交点的横坐标，再计算两点距离即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -2x +c$与y轴交于点$C(0,-3)$
∴ 将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = 0^2 - 2× 0 + c$
解得$c=-3$
∴ 抛物线解析式为$y=x^2 -2x -3$
令$y=0$，得一元二次方程：$x^2 -2x -3=0$
因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$
∴ A、B两点的横坐标分别为-1和3
∴ 线段AB的长为$|3 - (-1)|=4$
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；二次函数与一元二次方程的关系；坐标轴上两点距离计算
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是利用已知点确定函数解析式，再结合二次函数与一元二次方程的对应关系求解交点距离，熟练掌握二次函数和一元二次方程的关联即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 利用二次函数的图象求一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根的近似值.（结果保留小数点后一位）
答案
6.【解】画出函数$y=-\frac{1}{2}x^2+x+2$的图象,如图所示
.设方程$-\frac{1}{2}x^2+x+2=0$的两根分别为$x_1,x_2$,且$x_1＜x_2$,观察图象可知$-2＜x_1＜-1,3＜x_2＜4$.
$\because$当$x=-1$时,$y=-\frac{1}{2}×(-1)^2-1+2=0.5＞0$,当$x=\frac{-2+(-1)}{2}=-1.5$时,$y=-\frac{1}{2}×(-1.5)^2-1.5+2=-0.625＜0$,
$\therefore -1.5＜x_1＜-1$.
$\because$当$x=3$时,$y=-\frac{1}{2}×3^2+3+2=0.5＞0$,当$x=\frac{3+4}{2}=3.5$时,$y=-\frac{1}{2}×3.5^2+3.5+2=-0.625＜0$,
$\therefore 3＜x_2＜3.5$.
列表如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
$\therefore$方程$-\frac{1}{2}x^2+x+2=0$的根$x_1$的近似值为$-1.2$,$x_2$的近似值为$3.2$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。第一步先确定和方程对应的二次函数为$y=-\frac{1}{2}x^2 + x + 2$，观察图象得到两个根的大致区间；第二步用逐步缩小区间的方法，计算区间内不同x对应的函数值，找到函数值最接近0的x值，即为方程根的近似值，最后按要求保留一位小数即可。
【解析】
解：一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根对应二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2 + x + 2$的图象与x轴交点的横坐标。
设方程的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1＜x_2$，观察图象可知$-2＜x_1＜-1$，$3＜x_2＜4$。
1. 求$x_1$的近似值：
当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1)^2 + (-1) + 2 = 0.5＞0$；当$x=-1.5$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1.5)^2 + (-1.5) + 2 = -0.625＜0$，因此$-1.5＜x_1＜-1$。
计算区间内x对应的y值如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
可见x=-1.2时y值最接近0，因此$x_1\approx-1.2$。
2. 求$x_2$的近似值：
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{2}×3^2 + 3 + 2 = 0.5＞0$；当$x=3.5$时，$y=-\frac{1}{2}×3.5^2 + 3.5 + 2 = -0.625＜0$，因此$3＜x_2＜3.5$。
计算区间内x对应的y值如下：
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
可见x=3.2时y值最接近0，因此$x_2\approx3.2$。
【答案】
画出函数$y=-\frac{1}{2}x^2+x+2$的图象，如图所示。方程$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根的近似值为$x_1\approx-1.2$，$x_2\approx3.2$。
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.图象法求方程近似根
3.二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程根的联系，通过逐步缩小根的区间、计算对应函数值得到近似结果，解题时要注意保证函数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确：一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。第一步先确定和方程对应的二次函数为$y=-\frac{1}{2}x^2 + x + 2$，观察图象得到两个根的大致区间；第二步用逐步缩小区间的方法，计算区间内不同x对应的函数值，找到函数值最接近0的x值，即为方程根的近似值，最后按要求保留一位小数即可。
【解析】
解：一元二次方程$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根对应二次函数$y=-\frac{1}{2}x^2 + x + 2$的图象与x轴交点的横坐标。
设方程的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1＜x_2$，观察图象可知$-2＜x_1＜-1$，$3＜x_2＜4$。
1. 求$x_1$的近似值：
当$x=-1$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1)^2 + (-1) + 2 = 0.5＞0$；当$x=-1.5$时，$y=-\frac{1}{2}×(-1.5)^2 + (-1.5) + 2 = -0.625＜0$，因此$-1.5＜x_1＜-1$。
计算区间内x对应的y值如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
可见x=-1.2时y值最接近0，因此$x_1\approx-1.2$。
2. 求$x_2$的近似值：
当$x=3$时，$y=-\frac{1}{2}×3^2 + 3 + 2 = 0.5＞0$；当$x=3.5$时，$y=-\frac{1}{2}×3.5^2 + 3.5 + 2 = -0.625＜0$，因此$3＜x_2＜3.5$。
计算区间内x对应的y值如下：
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
可见x=3.2时y值最接近0，因此$x_2\approx3.2$。
【答案】
画出函数$y=-\frac{1}{2}x^2+x+2$的图象，如图所示
。方程$-\frac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根的近似值为$x_1\approx-1.2$，$x_2\approx3.2$。【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.图象法求方程近似根
3.二次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是理解二次函数图象和对应一元二次方程根的联系，通过逐步缩小根的区间、计算对应函数值得到近似结果，解题时要注意保证函数值计算的准确性。
【难度系数】
0.7
7. 飞机着陆后滑行的距离$s$(单位:m)关于滑行的时间$t$(单位:s)的函数解析式是$s=-1.5t^2+60t$.
(1)飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行的距离为450 m时，滑行的时间是多少？
(1)飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行的距离为450 m时，滑行的时间是多少？
答案
7.【解】(1)根据题意,得$s=-1.5t^2+60t=-1.5(t-20)^2+600$.
$\because -1.5＜0$,
$\therefore$飞机着陆后滑行20 s才能停下来,滑行的最大距离是600 m.
(2)当$s=450$时,由$s=-1.5t^2+60t$,列得方程$-1.5t^2+60t=450$.
解方程,得$t_1=30$(不合题意,舍去),$t_2=10$.
$\therefore$当飞机滑行的距离为450 m时,滑行的时间是10 s.
$\because -1.5＜0$,
$\therefore$飞机着陆后滑行20 s才能停下来,滑行的最大距离是600 m.
(2)当$s=450$时,由$s=-1.5t^2+60t$,列得方程$-1.5t^2+60t=450$.
解方程,得$t_1=30$(不合题意,舍去),$t_2=10$.
$\therefore$当飞机滑行的距离为450 m时,滑行的时间是10 s.
解析
【分析】
(1) 飞机滑行到速度为0时就会停下来，此时滑行距离达到最大值，因此问题可转化为求开口向下的二次函数的顶点坐标：顶点横坐标对应滑行到最大距离的时间，顶点纵坐标对应最大滑行距离，我们可以通过配方法将函数一般式转化为顶点式求解。
(2) 已知滑行距离求滑行时间，只需将$s=450$代入函数解析式，得到关于$t$的一元二次方程，解方程即可，注意要结合实际意义舍去大于最长滑行时间的不合理根。
【解析】
(1) 对函数解析式配方得：
$\begin{aligned}s&=-1.5t^2+60t\\&=-1.5(t^2-40t)\\&=-1.5(t^2-40t+400-400)\\&=-1.5(t-20)^2+600\end{aligned}$
$\because -1.5＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$t=20$时，$s$取得最大值600，即飞机着陆后滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m。
(2) 当$s=450$时，代入解析式得：
$-1.5t^2+60t=450$
整理得$t^2-40t+300=0$，
因式分解得$(t-10)(t-30)=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=30$，
$\because$ 飞机20s后就停止滑行，$\therefore t=30$不合题意，舍去。
【答案】
(1) 滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m；
(2) 滑行的时间是10s。
【知识点】
二次函数的最值，二次函数与一元二次方程，实际问题的函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的性质和一元二次方程的求解，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
(1) 飞机滑行到速度为0时就会停下来，此时滑行距离达到最大值，因此问题可转化为求开口向下的二次函数的顶点坐标：顶点横坐标对应滑行到最大距离的时间，顶点纵坐标对应最大滑行距离，我们可以通过配方法将函数一般式转化为顶点式求解。
(2) 已知滑行距离求滑行时间，只需将$s=450$代入函数解析式，得到关于$t$的一元二次方程，解方程即可，注意要结合实际意义舍去大于最长滑行时间的不合理根。
【解析】
(1) 对函数解析式配方得：
$\begin{aligned}s&=-1.5t^2+60t\\&=-1.5(t^2-40t)\\&=-1.5(t^2-40t+400-400)\\&=-1.5(t-20)^2+600\end{aligned}$
$\because -1.5＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$t=20$时，$s$取得最大值600，即飞机着陆后滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m。
(2) 当$s=450$时，代入解析式得：
$-1.5t^2+60t=450$
整理得$t^2-40t+300=0$，
因式分解得$(t-10)(t-30)=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=30$，
$\because$ 飞机20s后就停止滑行，$\therefore t=30$不合题意，舍去。
【答案】
(1) 滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m；
(2) 滑行的时间是10s。
【知识点】
二次函数的最值，二次函数与一元二次方程，实际问题的函数应用
【点评】
本题结合实际情境考查二次函数的性质和一元二次方程的求解，解题时需注意结合实际意义对解进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.75
8.若二次函数$y=ax^2 -4x +1$的图象与x轴有两个公共点且都在y轴的同一侧，则a的取值范围为（
A.$a＞0$
B.$a＞4$
C.$a＜4$且$a≠0$
D.$0＜a＜4$
D
）A.$a＞0$
B.$a＞4$
C.$a＜4$且$a≠0$
D.$0＜a＜4$
答案
8.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：首先，题目明确是二次函数，所以二次项系数不能为0；其次，函数图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0列不等式求解；最后，两个交点都在y轴同一侧，说明方程的两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积大于0，由此再列不等式，最后综合所有限制条件就能得到a的取值范围。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴二次项系数$a≠0$。
1. 由二次函数图象与x轴有两个公共点，可知一元二次方程$ax^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，代入$a=a$，$b=-4$，$c=1$得：
$\Delta = (-4)^2 -4× a ×1 = 16-4a ＞ 0$，
解得：$a ＜ 4$。
2. 由两个公共点都在y轴同一侧，可知方程的两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$，
代入$c=1$得：$\frac{1}{a} ＞ 0$，
解得：$a ＞ 0$。
3. 综合以上条件：$a≠0$、$a＜4$、$a＞0$，可得$0 ＜ a ＜ 4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题时要注意先抓住二次项系数不为0的隐含条件，再分别利用判别式判断根的个数、根与系数的关系判断根的符号，最后综合多个限制条件得到最终取值范围。
【难度系数】
0.65
要解决这道题，我们可以分三步思考：首先，题目明确是二次函数，所以二次项系数不能为0；其次，函数图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过判别式Δ＞0列不等式求解；最后，两个交点都在y轴同一侧，说明方程的两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积大于0，由此再列不等式，最后综合所有限制条件就能得到a的取值范围。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴二次项系数$a≠0$。
1. 由二次函数图象与x轴有两个公共点，可知一元二次方程$ax^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2-4ac ＞ 0$，代入$a=a$，$b=-4$，$c=1$得：
$\Delta = (-4)^2 -4× a ×1 = 16-4a ＞ 0$，
解得：$a ＜ 4$。
2. 由两个公共点都在y轴同一侧，可知方程的两个根同号，根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} ＞ 0$，
代入$c=1$得：$\frac{1}{a} ＞ 0$，
解得：$a ＞ 0$。
3. 综合以上条件：$a≠0$、$a＜4$、$a＞0$，可得$0 ＜ a ＜ 4$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；二次函数与一元二次方程的关系；一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题时要注意先抓住二次项系数不为0的隐含条件，再分别利用判别式判断根的个数、根与系数的关系判断根的符号，最后综合多个限制条件得到最终取值范围。
【难度系数】
0.65
