1. 下列属于一元二次方程的是()

A.$ 2x=\frac{1}{5}x^{2} $
B.$ \frac{1}{x^{2}}+2x=1 $
C.$ 3y^{2}+2x - 5 = 0 $
D.$ 2x - 1 = 0 $

A

一元二次方程需满足：整式方程；含有一个未知数；未知数的最高次数为2。
A选项：化简为$ \frac{1}{5}x^{2} - 2x = 0 $，满足条件；
B选项：含$ \frac{1}{x^{2}} $，非整式方程；
C选项：含两个未知数$ x, y $；
D选项：未知数次数为1。

2. 不解方程，判断方程 $ x^{2}-4\sqrt{2}x + 9 = 0 $ 根的情况，以下结论正确的是()

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.不确定

C

对于一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0$（$a\neq0$），其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$。在方程$x^{2}-4\sqrt{2}x + 9 = 0$中，$a = 1$，$b=-4\sqrt{2}$，$c = 9$，则$\Delta=(-4\sqrt{2})^{2}-4×1×9=32 - 36=-4\lt0$，所以方程没有实数根。

3. 用公式法解方程 $ 3x^{2}-\sqrt{5}x = 2 $ 时，$ b^{2}-4ac $ 的值为()

A.18
B.11
C.29
D.-19

C

将方程化为一般形式：$3x^{2}-\sqrt{5}x - 2 = 0$，其中$a=3$，$b=-\sqrt{5}$，$c=-2$。计算$b^{2}-4ac = (-\sqrt{5})^{2} - 4×3×(-2) = 5 + 24 = 29$。

4. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为 81 元。已知两次降价的百分率都为 $ x $，那么 $ x $ 满足的方程是()

A.$ 100(1 + x)^{2}=81 $
B.$ 100(1 - x)^{2}=81 $
C.$ 100(1 - x\%)^{2}=81 $
D.$ 100x^{2}=81 $

B

第一次降价后价格为$100(1 - x)$，第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后价格为$100(1 - x)(1 - x) = 100(1 - x)^2$，已知两次降价后价格为81元，故方程为$100(1 - x)^2 = 81$。

5. 用配方法解方程 $ x^{2}-\frac{2}{3}x + 1 = 0 $，正确的是()

A.$ (x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{8}{9},x=\frac{1}{3}\pm\frac{2\sqrt{2}}{3} $
B.$ (x-\frac{1}{3})^{2}=-\frac{8}{9} $，原方程无实数解
C.$ (x-\frac{2}{3})^{2}=\frac{5}{9},x=\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{5}}{3} $
D.$ (x-\frac{1}{3})^{2}=1,x_{1}=\frac{4}{3},x_{2}=-\frac{2}{3} $

B

将方程 $x^{2} - \frac{2}{3}x + 1 = 0$ 移项得 $x^{2} - \frac{2}{3}x = -1$。
配方，两边加上 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$，得 $x^{2} - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} = -1 + \frac{1}{9}$。
即 $(x - \frac{1}{3})^{2} = -\frac{8}{9}$。
由于方程右边为负数，原方程无实数解。