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4. 在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AC:AB=3:1. 求∠A 的正弦、余弦和正切值.
答案
在Rt△ABC中，∠B=90°，设AB=k，则AC=3k（k＞0）。
由勾股定理得，BC=$\sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{(3k)^2 - k^2} = \sqrt{9k^2 - k^2} = \sqrt{8k^2} = 2\sqrt{2}k$。
$\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{2\sqrt{2}k}{3k} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{k}{3k} = \frac{1}{3}$
$\tan A = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}k}{k} = 2\sqrt{2}$
5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，$\tan A=\frac{5}{12}$. 求 $\sin A$，$\cos A$.
答案
5. $ \sin A = \frac{5}{13}, \cos A = \frac{12}{13} $
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{5}{12}$.
设BC=5k，AC=12k（k＞0）.
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(12k)^2+(5k)^2}=13k$.
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$.
$\sin A = \frac{5}{13}$，$\cos A = \frac{12}{13}$.
设BC=5k，AC=12k（k＞0）.
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(12k)^2+(5k)^2}=13k$.
$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{5k}{13k}=\frac{5}{13}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{12k}{13k}=\frac{12}{13}$.
$\sin A = \frac{5}{13}$，$\cos A = \frac{12}{13}$.
6. 已知等腰三角形的两边长分别是 4 cm 和 6 cm. 求这个等腰三角形底角的正弦.
答案
6. $ \frac{2 \sqrt{2}}{3} $ 或 $ \frac{\sqrt{7}}{4} $
解析
情况一：腰长为4 cm，底边长为6 cm。
作底边上的高，将等腰三角形分为两个直角三角形，底边长的一半为3 cm。
由勾股定理得高为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ cm。
底角的正弦为$\frac{\sqrt{7}}{4}$。
情况二：腰长为6 cm，底边长为4 cm。
作底边上的高，将等腰三角形分为两个直角三角形，底边长的一半为2 cm。
由勾股定理得高为$\sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}$ cm。
底角的正弦为$\frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
综上，这个等腰三角形底角的正弦为$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
作底边上的高，将等腰三角形分为两个直角三角形，底边长的一半为3 cm。
由勾股定理得高为$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ cm。
底角的正弦为$\frac{\sqrt{7}}{4}$。
情况二：腰长为6 cm，底边长为4 cm。
作底边上的高，将等腰三角形分为两个直角三角形，底边长的一半为2 cm。
由勾股定理得高为$\sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}$ cm。
底角的正弦为$\frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$。
综上，这个等腰三角形底角的正弦为$\frac{\sqrt{7}}{4}$或$\frac{2\sqrt{2}}{3}$。
