【例1】 下列各式中，是整式的有 （）
$-\dfrac{1}{3}x^2,2xy,2x+y,\dfrac{1}{x},3,6x^2-y^2+1.$

A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
思路分析:只要是单项式或多项式,就是整式.$-\dfrac{1}{3}x^2,2xy,3$是单项式;$2x+y,6x^2-y^2+1$是多项式.
答案:B

B

【例2】 图4-2是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，第n个“广”字中的棋子个数是.

思路分析:图4-2①由7个棋子摆成，图4-2②，③，④分别由9个，11个，13个棋子摆成.7＝2×1＋5，9＝2×2＋5，11＝2×3＋5，13＝2×4＋5，由此可得第5个“广”字由2×5＋5＝15(个)棋子摆成，第n个“广”字由2×n＋5＝(2n＋5)(个)棋子摆成.
答案:15 2n＋5

15；2n＋5

【例3】 四次单项式$(n+1)· x^{m-3}y^{m+1}$的系数为－3，求$m,n$的值.
思路分析:由单项式的定义求解.
解:依题意有$m-3+m+1=4$，且$n+1=-3$，解得$m=3,n=-4$.

依题意有$m-3+m+1=4$，且$n+1=-3$，解得$m=3,n=-4$.

【例4】 已知$m,x,y$满足：①$\frac{2}{3}(x-5)^2 +5|m|=0$；②$-2a^2b^{y+1}$与$7b^3a^2$是同类项.求$2x^2 -6y^2 +m(xy -9y^2)-(3x^2 -3xy +7y^2)$的值.
思路分析:因为$\frac{2}{3}(x-5)^2 +5|m|=0$且$\frac{2}{3}(x-5)^2$与$5|m|$均为非负数,则只有$\frac{2}{3}(x-5)^2=0$且$5|m|=0$时等式成立,从而求出$x,m$的值.又根据$-2a^2b^{y+1}$与$7b^3a^2$是同类项得到$y+1=3$,从而求出$y$的值,把$x,m,y$的值代入所求的式子即可求得结果.
解:因为$\frac{2}{3}(x-5)^2 +5|m|=0$,$\frac{2}{3}(x-5)^2≥0$且$5|m|≥0$,所以$x-5=0,x=5,m=0$.因为$-2a^2b^{y+1}$与$7b^3a^2$是同类项,所以$y+1=3,y=2$.
又因为$2x^2 -6y^2 +m(xy -9y^2)-(3x^2 -3xy +7y^2)=2x^2 -6y^2 +mxy -9my^2 -3x^2 +3xy -7y^2=-x^2 -13y^2 -9my^2 +mxy +3xy$,
所以当$x=5,m=0,y=2$时,
原式$=-5^2 -13×2^2 -9×0×2^2 +0×5×2 +3×5×2=-25 -52 +30=-47$.

因为$\frac{2}{3}(x-5)^2 +5|m|=0$,$\frac{2}{3}(x-5)^2≥0$且$5|m|≥0$,所以$x-5=0,x=5,m=0$.因为$-2a^2b^{y+1}$与$7b^3a^2$是同类项,所以$y+1=3,y=2$.
又因为$2x^2 -6y^2 +m(xy -9y^2)-(3x^2 -3xy +7y^2)=2x^2 -6y^2 +mxy -9my^2 -3x^2 +3xy -7y^2=-x^2 -13y^2 -9my^2 +mxy +3xy$,
所以当$x=5,m=0,y=2$时,
原式$=-5^2 -13×2^2 -9×0×2^2 +0×5×2 +3×5×2=-25 -52 +30=-47$.