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8. 如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,$△ ABC$与$△ DFE$关于点$O$成中心对称,$△ ABC$与$△ DFE$的顶点均在格点上,请按要求完成下列各题.
(1) 在图中画出点$O$的位置;
(2) 将$△ ABC$先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$,请画出$△ A_1B_1C_1$;
(3) 在网格中画出格点$M$,使$A_1M$平分$∠ B_1A_1C_1$.
(1) 在图中画出点$O$的位置;
(2) 将$△ ABC$先向右平移4个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到$△ A_1B_1C_1$,请画出$△ A_1B_1C_1$;
(3) 在网格中画出格点$M$,使$A_1M$平分$∠ B_1A_1C_1$.
答案
8. (1)(2)(3) 如图所示：
解析
【分析】
(1) 要确定中心对称的对称中心O，根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，所以只需连接两组对应顶点，两条线段的交点即为点O。
(2) 平移作图的核心是平移图形的各个顶点，根据平移规则“向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度”，分别确定A、B、C平移后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(3) 要作角平分线，可借助等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线和高，结合格点特点，构造以A₁为顶角顶点的等腰三角形，连接A₁和底边中点，即可得到平分∠B₁A₁C₁的线段A₁M，确定格点M的位置。
【解析】
(1) 找到△ABC和△DFE的两组对应顶点，连接对应顶点得到两条线段，两条线段的交点就是对称中心O，标记出点O。
(2) 把点A向右平移4个单位、再向下平移2个单位得到A₁，用相同方法得到B₁、C₁，按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(3) 结合格点特征，选取符合要求的格点M，保证A₁M将∠B₁A₁C₁分为两个大小相等的角，标记出点M即可。
最终作图结果如下：
【答案】
【知识点】
1.中心对称的性质
2.平移作图
3.角平分线的画法
【点评】
本题属于网格作图基础题，综合考查了图形的中心对称、平移变换以及角平分线的作图方法，重点考查对图形变换性质的应用能力和动手操作能力，作图时结合格点特点可简化操作。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定中心对称的对称中心O，根据中心对称的性质：成中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，所以只需连接两组对应顶点，两条线段的交点即为点O。
(2) 平移作图的核心是平移图形的各个顶点，根据平移规则“向右平移4个单位长度、向下平移2个单位长度”，分别确定A、B、C平移后的对应点A₁、B₁、C₁，再顺次连接三个对应点即可得到平移后的三角形。
(3) 要作角平分线，可借助等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形顶角的平分线也是底边的中线和高，结合格点特点，构造以A₁为顶角顶点的等腰三角形，连接A₁和底边中点，即可得到平分∠B₁A₁C₁的线段A₁M，确定格点M的位置。
【解析】
(1) 找到△ABC和△DFE的两组对应顶点，连接对应顶点得到两条线段，两条线段的交点就是对称中心O，标记出点O。
(2) 把点A向右平移4个单位、再向下平移2个单位得到A₁，用相同方法得到B₁、C₁，按顺序连接A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁，得到△A₁B₁C₁。
(3) 结合格点特征，选取符合要求的格点M，保证A₁M将∠B₁A₁C₁分为两个大小相等的角，标记出点M即可。
最终作图结果如下：
【答案】
【知识点】
1.中心对称的性质
2.平移作图
3.角平分线的画法
【点评】
本题属于网格作图基础题，综合考查了图形的中心对称、平移变换以及角平分线的作图方法，重点考查对图形变换性质的应用能力和动手操作能力，作图时结合格点特点可简化操作。
【难度系数】
0.7
9. (2025·衡水期末) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ A = 90°$, D为BC的中点, $DE ⊥ DF$, 点E,F分别在AB,AC上.
(1) 作 $△ BDE$ 关于点D对称的图形;
(2) 若 $BE = m, CF = n$, 求EF的长.
(1) 作 $△ BDE$ 关于点D对称的图形;
(2) 若 $BE = m, CF = n$, 求EF的长.
答案
(1)略;(2)$EF = \sqrt{m^2 + n^2}$
解析
【分析】
(1) 作关于点D的对称图形时，D为对称中心，根据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等。已知D是BC中点，故点B的对称点为C；再延长ED到点G，使DG=DE，连接CG，得到的△CDG就是所求的对称图形。
(2) 求EF的长时，可结合已知的BE、CF长度，将三条线段转移到同一个直角三角形中求解。借助第一问的对称图形可得BE=CG、∠B=∠DCG，结合∠A=90°可推出∠FCG=90°；再由DE⊥DF、DE=DG可知DF是EG的垂直平分线，因此EF=FG，最后在Rt△FCG中用勾股定理计算FG即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长ED到点G，使得$DG=DE$；
② 连接CG，$△ CDG$即为$△ BDE$关于点D对称的图形。（作图略）
(2) 连接$FG$：
∵ $△ BDE$与$△ CDG$关于点D对称
∴ $CG=BE=m$，$∠ DCG=∠ B$，$DE=DG$
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$
∴ $∠ ACB + ∠ B = 90°$
∴ $∠ ACB + ∠ DCG = 90°$，即$∠ FCG=90°$
又
∵ $DE⊥ DF$，$DE=DG$
∴ DF垂直平分线段EG
∴ $EF=FG$
在$Rt△ FCG$中，$CF=n$，$CG=m$，由勾股定理得：
$FG=\sqrt{CG^2 + CF^2}=\sqrt{m^2 + n^2}$
∴ $EF=\sqrt{m^2 + n^2}$
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boxed{EF=\sqrt{m^2 + n^2}}$
【知识点】
中心对称的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将中心对称作图与几何计算结合考查，解题的关键是利用中心对称的性质将分散的已知边转移到同一个直角三角形中，能很好地考查学生的几何转化思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 作关于点D的对称图形时，D为对称中心，根据中心对称的性质：对称点的连线经过对称中心，且到对称中心的距离相等。已知D是BC中点，故点B的对称点为C；再延长ED到点G，使DG=DE，连接CG，得到的△CDG就是所求的对称图形。
(2) 求EF的长时，可结合已知的BE、CF长度，将三条线段转移到同一个直角三角形中求解。借助第一问的对称图形可得BE=CG、∠B=∠DCG，结合∠A=90°可推出∠FCG=90°；再由DE⊥DF、DE=DG可知DF是EG的垂直平分线，因此EF=FG，最后在Rt△FCG中用勾股定理计算FG即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长ED到点G，使得$DG=DE$；
② 连接CG，$△ CDG$即为$△ BDE$关于点D对称的图形。（作图略）
(2) 连接$FG$：
∵ $△ BDE$与$△ CDG$关于点D对称
∴ $CG=BE=m$，$∠ DCG=∠ B$，$DE=DG$
∵ 在$△ ABC$中，$∠ A=90°$
∴ $∠ ACB + ∠ B = 90°$
∴ $∠ ACB + ∠ DCG = 90°$，即$∠ FCG=90°$
又
∵ $DE⊥ DF$，$DE=DG$
∴ DF垂直平分线段EG
∴ $EF=FG$
在$Rt△ FCG$中，$CF=n$，$CG=m$，由勾股定理得：
$FG=\sqrt{CG^2 + CF^2}=\sqrt{m^2 + n^2}$
∴ $EF=\sqrt{m^2 + n^2}$
【答案】
(1) 作图见解析；
(2) $\boxed{EF=\sqrt{m^2 + n^2}}$
【知识点】
中心对称的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】
本题将中心对称作图与几何计算结合考查，解题的关键是利用中心对称的性质将分散的已知边转移到同一个直角三角形中，能很好地考查学生的几何转化思想和基本运算能力。
【难度系数】
0.6
1. 中心对称是指(
A.一个
B.两个
B
)图形之间的关系.A.一个
B.两个
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先要明确中心对称的基本定义，同时区分中心对称和中心对称图形的概念差异：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是单个图形自身的对称属性。结合题干问的是中心对称对应的图形数量，即可对应选出正确选项。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若它能够与另一个图形重合，就称这两个图形关于这个点中心对称，由此可知中心对称是两个图形之间的关系，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的定义；易混概念辨析
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对中心对称概念的准确理解，只要熟记相关定义、分清易混淆的概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确中心对称的基本定义，同时区分中心对称和中心对称图形的概念差异：中心对称描述的是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是单个图形自身的对称属性。结合题干问的是中心对称对应的图形数量，即可对应选出正确选项。
【解析】
根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，若它能够与另一个图形重合，就称这两个图形关于这个点中心对称，由此可知中心对称是两个图形之间的关系，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
中心对称的定义；易混概念辨析
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对中心对称概念的准确理解，只要熟记相关定义、分清易混淆的概念就能顺利作答。
【难度系数】
0.9
2. 轴对称是指(
B
)图形之间的关系，答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的相关定义，注意区分易混概念“轴对称”和“轴对称图形”：二者的核心差异是描述的对象数量不同，我们只需要结合定义判断轴对称对应的图形数量即可得出答案。
【解析】
根据轴对称的定义：若两个图形沿某一条直线折叠后能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线成轴对称，可知轴对称描述的是2个图形之间的位置关系，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的定义；轴对称与轴对称图形的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对核心定义的理解记忆，只要能准确区分两个易混概念的适用对象就能快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆轴对称的相关定义，注意区分易混概念“轴对称”和“轴对称图形”：二者的核心差异是描述的对象数量不同，我们只需要结合定义判断轴对称对应的图形数量即可得出答案。
【解析】
根据轴对称的定义：若两个图形沿某一条直线折叠后能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线成轴对称，可知轴对称描述的是2个图形之间的位置关系，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的定义；轴对称与轴对称图形的区别
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对核心定义的理解记忆，只要能准确区分两个易混概念的适用对象就能快速得分。
【难度系数】
0.9
