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6.如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E$的度数为 （
A.$180°$
B.$210°$
C.$270°$
D.$360°$
（第6题图）
（第7题图）
A
）A.$180°$
B.$210°$
C.$270°$
D.$360°$
（第6题图）（第7题图）
答案
6.A 【解析】如图,连接$CE$,则$∠ A+∠ B=∠ BCE+∠ AEC$,故所求角的和为$△ DCE$的内角和,为$180°$,故选 A.
7.如图,在$△ ABC$中,$BE$,$CF$是角平分线,$BE$,$CF$相交于点$D$,连接$AD$,$∠ ABC=50°$,$∠ ACB=70°$,则$∠ ADE$的度数为________.
答案
7.$55°$ 【解析】由题意,得$∠ EBC=25°$,因为$∠ ACB=70°$,所以$∠ BEC=85°$,所以$∠ AED=95°$. 由三角形内角和定理,得$∠ BAC=60°$. 由于三角形的三条角平分线交于一点,故$AD$平分$∠ BAC$,所以$∠ DAE=30°$,所以$∠ ADE=180°-30°-95°=55°$.
8. 在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的3倍,这样的三角形我们定义为“三倍角三角形”.例如,三个内角分别为120°,40°,20°的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A = 35°,∠ B = 40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗?为什么?
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B = 30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.
(1)在$△ ABC$中,$∠ A = 35°,∠ B = 40°$,$△ ABC$是“三倍角三角形”吗?为什么?
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”,且$∠ B = 30°$,求$△ ABC$中最小内角的度数.
答案
8.【解】(1)$△ ABC$是“三倍角三角形”.理由如下:
因为$∠ A=35°$,$∠ B=40°$,
所以$∠ C=180°-35°-40°=105°$,
所以$∠ C=3∠ A$,即$△ ABC$是“三倍角三角形”.
(2)因为$∠ B=30°$,所以$∠ A+∠ C=150°$.
设最小的角为$x$,当$3x=30°$时,$x=10°$;当$x+3x=150°$时,$x=37.5°$,$37.5°＞30°$,不合题意;当$x=30°$时,$30°×3=90°$,$180°-30°-90°=60°$.
故$△ ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.
因为$∠ A=35°$,$∠ B=40°$,
所以$∠ C=180°-35°-40°=105°$,
所以$∠ C=3∠ A$,即$△ ABC$是“三倍角三角形”.
(2)因为$∠ B=30°$,所以$∠ A+∠ C=150°$.
设最小的角为$x$,当$3x=30°$时,$x=10°$;当$x+3x=150°$时,$x=37.5°$,$37.5°＞30°$,不合题意;当$x=30°$时,$30°×3=90°$,$180°-30°-90°=60°$.
故$△ ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.
9.(1)如图1，AB和CD交于点O，求证：
∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，AE，CE分别平分∠BAD，
∠BCD，运用(1)的结论求证：∠B+
∠D=2∠E.
∠A+∠C=∠B+∠D；
(2)如图2，AE，CE分别平分∠BAD，
∠BCD，运用(1)的结论求证：∠B+
∠D=2∠E.
答案
9.【证明】(1)在$△ AOC$中,$∠ A+∠ C+∠ AOC=180°$,在$△ BOD$中,$∠ B+∠ D+∠ BOD=180°$,因为$∠ AOC=∠ BOD$,所以$∠ A+∠ C=∠ B+∠ D$.
(2)由(1)可得,$∠ B+∠ BAF=∠ E+∠ ECF$,$∠ D+∠ DCE=∠ E+∠ EAD$,则$∠ B+∠ BAF+∠ D+∠ DCE=2∠ E+∠ ECF+∠ EAD$. 因为$AE$,$CE$分别平分$∠ BAD$,$∠ BCD$,所以$∠ DCE=∠ ECF$,$∠ BAF=∠ EAD$,所以$∠ B+∠ D=2∠ E$.
(2)由(1)可得,$∠ B+∠ BAF=∠ E+∠ ECF$,$∠ D+∠ DCE=∠ E+∠ EAD$,则$∠ B+∠ BAF+∠ D+∠ DCE=2∠ E+∠ ECF+∠ EAD$. 因为$AE$,$CE$分别平分$∠ BAD$,$∠ BCD$,所以$∠ DCE=∠ ECF$,$∠ BAF=∠ EAD$,所以$∠ B+∠ D=2∠ E$.
