1. 已知线段$AB=24$，动点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$AB$运动，$M$为$AP$的中点，$N$为$BP$的中点. 当点$P$运动时，下列一定不会发生变化的是（）

A.$BN$的长
B.$2BM-BP$的值
C.$MN$的长
D.$MA+PN$的值

1. C 提示:设动点 P 的运动时间为 t s,则AP=2t,因为 M 为AP 的中点,N 为 BP 的中点,所以AM=MP=t,PN=$\frac{1}{2}BP$.当点 P 在线段 AB 上时,此时 $0≤ t≤ 12$,$BP=24-2t$,$BM=24-t$,所以 $BN=\frac{1}{2}(24-2t)=12-t$,即 BN 的长会变化,$2BM-BP=2(24-t)-(24-2t)=24$,为定值,$MN=MP+PN=t+\frac{1}{2}(24-2t)=12$,为定值,$MA+PN=t+\frac{1}{2}(24-2t)=12$,为定值.当点 P 在线段 AB 的延长线上时,若$12＜t≤ 24$,此时 $BP=2t-24$,$BM=24-t$,所以 $BN=\frac{1}{2}(2t-24)=t-12$,即 BN 的长会变化,$2BM-BP=2(24-t)-(2t-24)=72-4t$,即 $2BM-BP$ 的值会变化,$MN=MP-PN=t-\frac{1}{2}(2t-24)=12$,为定值,$MA+PN=t+\frac{1}{2}(2t-24)=2t-12$,即 $MA+PN$的值会变化;若 $t＞24$,此时 $BP=2t-24$,$BM=t-24$,所以 $BN=\frac{1}{2}(2t-24)=t-12$,即 BN 的长会变化,$2BM-BP=2(t-24)-(2t-24)=-24$,为定值,$MN=MP-PN=t-\frac{1}{2}(2t-24)=12$,为定值,$MA+PN=t+\frac{1}{2}(2t-24)=2t-12$,即 $MA+PN$ 的值会变化.综上所述,MN 的长不会发生变化.

【分析】
这是线段动点类问题，解题核心思路是用参数表示出动点运动过程中所有相关线段的长度，再分情况验证各选项是否为定值。首先设点P的运动时间为t秒，根据运动速度得到AP的长度为2t，结合中点性质把AM、MP都用t表示，之后按照射线AB的范围，分点P在线段AB上、点P在线段AB的延长线上两类大情况，分别把BP、BM、BN、PN这些线段都用含t的代数式表示，逐一计算四个选项对应的表达式，判断哪个在所有运动场景下都不会随t变化，就能得到正确答案。
【解析】
解：设动点P的运动时间为t s，由P的运动速度可知$AP=2t$。
因为M是AP中点，N是BP中点，所以$AM=MP = \frac{1}{2} AP = t$，$PN = \frac{1}{2} BP$。
接下来分场景讨论：
1. 当点P在线段AB上时，此时$0≤t≤12$，$BP = AB - AP = 24 - 2t$
分别计算各选项：
A选项：$BN = \frac{1}{2} BP = \frac{1}{2}(24-2t) = 12 - t$，随t变化，不是定值；
B选项：$BM = AB - AM = 24 - t$，$2BM - BP = 2(24 - t) - (24 - 2t) = 24$，为定值；
C选项：$MN = MP + PN = t + \frac{1}{2}(24 - 2t) = 12$，为定值；
D选项：$MA + PN = t + \frac{1}{2}(24 - 2t) = 12$，为定值。
2. 当点P在线段AB的延长线上时，此时$t＞12$，$BP = AP - AB = 2t - 24$
① 当$12＜t≤24$时，$BM = AB - AM = 24 - t$
分别计算各选项：
A选项：$BN = \frac{1}{2} BP = \frac{1}{2}(2t - 24) = t - 12$，随t变化，不是定值；
B选项：$2BM - BP = 2(24 - t) - (2t - 24) = 72 - 4t$，随t变化，不是定值；
C选项：$MN = MP - PN = t - \frac{1}{2}(2t - 24) = 12$，为定值；
D选项：$MA + PN = t + \frac{1}{2}(2t - 24) = 2t - 12$，随t变化，不是定值。
② 当$t＞24$时，$BM = AM - AB = t - 24$
分别计算各选项：
A选项：$BN = \frac{1}{2} BP = t - 12$，随t变化，不是定值；
B选项：$2BM - BP = 2(t - 24) - (2t - 24) = -24$，为定值；
C选项：$MN = MP - PN = t - \frac{1}{2}(2t - 24) = 12$，为定值；
D选项：$MA + PN = t + \frac{1}{2}(2t - 24) = 2t - 12$，随t变化，不是定值。
综合所有运动场景，只有MN的长度始终为12，完全不会发生变化。
【答案】
C
【知识点】
线段中点定义，线段和差计算，动点问题
【点评】
本题的易错点是容易忽略题目中P是沿射线AB运动，仅考虑P在线段AB上的情况，误选B或D，解题时要覆盖射线AB的所有位置分类讨论，逐一验证每个选项在全运动过程中是否始终为定值，避免漏解出错。
【难度系数】
0.4

2. 下图是根据一定规律设置的密码，则第四个图的密码是.

2. 09072445 提示:对于密码 04140836,04=1+3,14=5+9,08=(3+5)×1,36=(3+1)×9;对于密码 09052136,09=2+7,05=1+4,21=(2+1)×7,36=(2+7)×4……所以密码的规律为:四次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码,如果运算结果为一位数,前面补 0 得到两位数.每一个图中四个数可以看作两行、两列.第一次运算:第 1 列两数相加,第 2 次运算:第 2 列两数相加,第 3 次运算:第 1 行两数的和与左下角的数相乘,第 4 次运算:第 1 列两数的和与右下角的数相乘.如图,6+3=9,记为 09,2+5=7,记为 07,(6+2)×3=24,记为 24,(6+3)×5=45,记为 45,所以该图的密码为 09072445。

【分析】
我们先观察前三个给出完整密码的正方形图形，把每个正方形的四个顶点按左上、右上、左下、右下标记为a、b、c、d，将8位密码拆分为4组两位数字，逐一尝试每组两位数字和四个顶点数字的运算关系：先拿第一个图的已知数字和密码对应，发现前两位是第一列两个数的和，第三四位是第二列两个数的和，第五六位是第一行两数之和乘左下角的数，第七八位是第一列两数之和乘右下角的数，再用第二、第三个图验证该运算规则完全匹配所有已知密码，确认规律后，代入第四个图的四个数字按规则计算，拼接得到最终的8位密码即可。
【解析】
解：设每个正方形的四个顶点数字：左上为a，右上为b，左下为c，右下为d，将8位密码拆分为4个两位段，推导并验证规律：
1. 验证第一个图：a=3，b=5，c=1，d=9，已知密码为04140836
① 第一组两位段：a+c=3+1=4，结果为一位数时前面补0，得到04；
② 第二组两位段：b+d=5+9=14，得到14；
③ 第三组两位段：(a+b)×c=(3+5)×1=8，补0得到08；
④ 第四组两位段：(a+c)×d=(3+1)×9=36，得到36；
拼接后完全匹配已知密码04140836。
2. 验证第二个图：a=2，b=1，c=7，d=4，已知密码为09052136
① a+c=2+7=9→09；② b+d=1+4=5→05；③ (a+b)×c=(2+1)×7=21→21；④ (a+c)×d=(2+7)×4=36→36，拼接后完全匹配已知密码。
3. 验证第三个图：a=8，b=5，c=2，d=7，已知密码为10122670
① a+c=8+2=10→10；② b+d=5+7=12→12；③ (a+b)×c=(8+5)×2=26→26；④ (a+c)×d=(8+2)×7=70→70，拼接后完全匹配已知密码，规律成立。
4. 计算第四个图的密码：第四个图a=6，b=2，c=3，d=5
① 第一组：6+3=9→09；② 第二组：2+5=7→07；③ 第三组：(6+2)×3=24→24；④ 第四组：(6+3)×5=45→45；
拼接得到最终密码为09072445。
【答案】
09072445
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题是趣味规律探究题，核心是将8位密码按两位分段，通过多组已知案例交叉验证运算规则，避免无效试错，确认规律后即可快速代入计算，能很好锻炼学生的逻辑推导和归纳能力。
【难度系数】
0.6

3. 图1是光的反射示意图(反射角等于入射角,法线与平面镜垂直,垂足为入射点).
如图2,小明将后视镜抽象成平面镜,画出了汽车与左侧后视镜的示意图,汽车用长方形$ABCD$表示,司机位于车内左前方,眼睛用点$O$表示,$OE// AB$,左侧后视镜用线段$AP$表示,左侧后视镜打开后,$AP$与$AB$形成的$∠ BAP$可在一定范围内调节,$∠ BAP$不小于$50°$,不大于$80°$,$H$为线段$AP$上的任意一点,且点$H$为入射点,$HH'$为法线,图上各点均在同一平面内.
根据以上信息,解答下列问题.
(1) 如图2,当$∠ BAP=60°$时,
① 若$∠ EOH=70°$,求反射角$∠ H'HO$的大小;
②若入射光线$FH$恰好平行于$AB$,求此时$∠ EOH$的大小.
(2) 如图3,$MP$,$NA$为入射光线,$PO$,$AO$为反射光线,$PP'$,$AA'$为法线.司机在调节左侧后视镜(即$∠ BAP$的大小)和移动眼睛$O$的位置时,满足$∠ EOA$大于$40°$.若$∠ AOP$的大小始终不变,试判断$∠ MPO-∠ NAO$的值是否会发生变化,并说明理由.
(3) 汽车起步时,司机要观察汽车周围的环境,如图4,汽车尾部左侧有一障碍物,但他坐在驾驶位上无法看清该障碍物全貌,此时(填序号),司机就可以通过左侧后视镜观察到该障碍物全貌.
①人眼$O$沿射线$OE$方向向前移动;
②人眼$O$沿射线$OQ$方向向右移动;
③后视镜$PA$绕点$A$逆时针转动;
④后视镜$PA$绕点$A$顺时针转动.

3. (1) ①解:如图 1,设 AB 与 HO 交于点 Q,AB 与 HH' 交于点 J. 因为 OE // AB,$∠ EOH=70°$,所以$∠ AQO+∠ EOH=180°$,所以$∠ AQO=∠ HQJ=110°$. 因为 $HH' ⊥ AP$,所以$∠ H'HA=90°$,所以$∠ HJA=90°-∠ BAP=90°-60°=30°$,所以在三角形 JHQ中,$∠ JHO=180°-∠ HQJ-∠ HJA=180°-110°-30°=40°$.
②解:如图 1,因为 $FH // AB$,$OE // AB$,所以$∠ FHJ=∠ HJA=30°$,$FH // OE$. 根据题意,得$∠ FHH'=∠ OHH'$,所以$∠ FHO=2∠ FHH'=60°$,所以$∠ EOH=∠ FHO=60°$.
(2) 解:$∠ MPO-∠ NAO$ 的值不会发生变化.理由如下:
如图 2,设 $PP'$ 与 $AN$ 交于点 Q. 因为 MP是入射光线,PO 是反射光线,$PP'$ 是法线,所以 $PP' ⊥ PA$,$∠ MPO=2∠ OPQ$. 同理,NA是入射光线,AO 是反射光线,$AA'$ 是法线,所以 $A'A ⊥ PA$,$∠ NAO=2∠ QAA'$,所以 $AA' // PP'$,所以$∠ AQP=∠ QAA'=\frac{1}{2}∠ NAO$. 因为$∠ OPQ+∠ AQP=∠ NAO+∠ AOP$,所以$\frac{1}{2}∠ MPO+\frac{1}{2}∠ NAO=∠ NAO+∠ AOP$,移项化简,得$∠ MPO-∠ NAO=2∠ AOP$. 因为$∠ AOP$ 的大小为定值,所以$∠ MPO-∠ NAO$的值始终不变。
(3) ①②④ 提示:人眼 O 沿射线 OE 方向向前移动,$∠ APO$ 的角度减小,则反射角角度增大,视野范围扩大,故①符合题意;人眼 O 沿射线 OQ 方向向右移动,$∠ APO$ 的角度减小,视线范围扩大,故②符合题意;后视镜 PA 绕点 A 逆时针转动,此时入射点上移$∠ APO$ 的角度增大,则反射角角度减小,视野范围缩小,故③不符合题意;相反,后视镜 PA 绕点 A 顺时针转动,可增大视野,故④符合题意.

【分析】
这道题是结合物理光的反射规律的平面几何综合题，解题时首先要明确核心规则：法线始终与镜面垂直，反射角等于入射角，再结合平行线的性质、三角形内角和/外角性质进行角度推导。
对于(1)①：已知OE//AB，先利用平行线同旁内角互补求出HO与AB的夹角，再结合法线HH'⊥AP，算出法线与AB的夹角，最后在△JHQ中用三角形内角和直接求出反射角∠H'HO的大小。
对于(1)②：已知FH//AB，结合OE//AB可得FH//OE，先算出法线HH'与AB的夹角得到入射角的大小，根据反射角等于入射角得到入射光线FH和反射光线HO的夹角，再利用平行线内错角相等即可得到∠EOH的度数。
对于(2)：要判断∠MPO-∠NAO是否为定值，首先根据法线垂直镜面，推出两条法线AA'//PP'，再利用反射角等于入射角，将入射光线与反射光线的夹角转化为对应法线夹角的2倍，结合三角形外角的角度关系推导，最终得到差值和定值∠AOP的等量关系，即可判断差值不变。
对于(3)：逐个分析四个操作对后视镜反射视野范围的影响，选出能扩大视野、看到障碍物全貌的操作即可。
【解析】
(1)① 设AB与HO交于点Q，AB与HH'交于点J。
∵ OE // AB，∠EOH=70°，
∴ ∠AQO + ∠EOH = 180°，即∠AQO=110°，可得∠HQJ=∠AQO=110°。
∵ HH' ⊥ AP，
∴ ∠H'HA=90°，
∴ ∠HJA = 90° - ∠BAP = 90° - 60° = 30°。
在△JHQ中，∠JHO = 180° - ∠HQJ - ∠HJA = 180° - 110° - 30° = 40°，即反射角∠H'HO=40°。
②
∵ FH // AB，OE // AB，
∴ FH // OE。
由①得∠HJA=30°，由FH//AB可得∠FHJ=∠HJA=30°。
根据反射定律，入射角等于反射角，即∠FHH'=∠OHH'，
∴ ∠FHO = 2∠FHH' = 2×30° = 60°，
∵ FH//OE，
∴ ∠EOH=∠FHO=60°。
(2) ∠MPO-∠NAO的值不会发生变化，理由如下：
设PP'与AN交于点Q。
∵ MP是入射光线，PO是反射光线，PP'是法线，
∴ PP' ⊥ PA，∠MPO=2∠OPQ。
同理，NA是入射光线，AO是反射光线，AA'是法线，
∴ AA' ⊥ PA，∠NAO=2∠QAA'，
∴ AA' // PP'，可得∠AQP=∠QAA' = 1/2 ∠NAO。
根据三角形外角性质，∠OPQ + ∠AQP = ∠NAO + ∠AOP，
代入得：1/2∠MPO + 1/2∠NAO = ∠NAO + ∠AOP，
移项化简得：∠MPO - ∠NAO = 2∠AOP。
∵ 题目已知∠AOP的大小始终不变，因此∠MPO-∠NAO的值始终不变。


(3) 逐个分析选项：
① 人眼O沿射线OE方向向前移动，∠APO的角度减小，反射角对应增大，视野范围扩大，可以观察到障碍物全貌，符合要求；
② 人眼O沿射线OQ方向向右移动，∠APO的角度减小，反射视线范围扩大，可以观察到障碍物全貌，符合要求；
③ 后视镜PA绕点A逆时针转动，∠BAP增大，入射点上移，∠APO的角度增大，反射角对应减小，视野范围缩小，无法看到障碍物全貌，不符合要求；
④ 后视镜PA绕点A顺时针转动，∠BAP减小，可扩大反射视野，能够观察到障碍物全貌，符合要求。
因此选①②④。
【答案】
(1) ① 反射角∠H'HO的大小为40°；② ∠EOH的大小为60°；
(2) ∠MPO-∠NAO的值不会发生变化，理由如上；


(3) ①②④
【知识点】
平行线的性质，光的反射定律，三角形内角和
【点评】
本题是跨物理、数学的综合应用题，将生活中汽车后视镜的实际场景和几何知识、光学规律结合，重点考察学生对角度等量关系的推导能力，解题的核心是把物理中的反射规则转化为几何上的角度相等、线线垂直关系，避免跨学科知识点混淆，理清各角的传递逻辑即可顺利求解。
【难度系数】
0.35