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4. 数学文化 《九章算术》 大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法。书中说：“圭田术曰，半广以乘正从。”其中“圭田”就是指三角形田地，“广”和“从”是指三角形的底和高。已知三角形的面积是3.9平方米，底是2米，这个底对应的高是多少米？
答案
4. $3.9×2=7.8$(平方米) $7.8÷2=3.9$(米)
【解析】三角形面积乘2除以底得到三角形的高。
易错警示 忘记乘2
已知三角形面积求底或者高时,要记得先使用三角形的面积乘2,再除以底得到高,或除以高得到底。
【解析】三角形面积乘2除以底得到三角形的高。
易错警示 忘记乘2
已知三角形面积求底或者高时,要记得先使用三角形的面积乘2,再除以底得到高,或除以高得到底。
解析
【分析】
首先从题目给出的古代数学描述中明确三角形面积的计算逻辑：三角形面积=底×对应高÷2。现在已知三角形的面积和底，要反过来求对应高，我们可以对面积公式做逆推：正向计算面积时最后一步是除以2，逆推时就要先把面积乘2，还原成和这个三角形等底等高的平行四边形的面积，再用这个平行四边形的面积除以底，就能得到对应的高，这样就不会漏掉乘2的关键步骤。
【解析】
1. 明确三角形面积公式：$S = a× h ÷ 2$，其中$S$代表三角形面积，$a$代表底，$h$代表该底对应的高。
2. 对公式做变形推导高的计算式：将等式两边同时乘2得到$2S=a× h$，再两边同时除以底$a$，可得高的计算公式：$h=2S÷ a$。
3. 代入已知数值计算：
已知$S=3.9$平方米，$a=2$米，先计算面积乘2：
$3.9×2=7.8$（平方米），该结果是和三角形等底等高的平行四边形的面积
再用结果除以底得到高：
$7.8÷2=3.9$（米）
【答案】
3.9米
【知识点】
三角形面积公式，公式逆运算
【点评】
本题结合《九章算术》的数学文化背景出题，既考察学生对三角形面积公式的掌握，也能引导学生了解我国古代数学成就。本题的典型易错点是学生容易直接用面积除以底，漏掉“面积先乘2”的步骤，解题时要牢记：已知三角形面积反求底或者高时，必须先将面积乘2还原为对应平行四边形的面积再计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先从题目给出的古代数学描述中明确三角形面积的计算逻辑：三角形面积=底×对应高÷2。现在已知三角形的面积和底，要反过来求对应高，我们可以对面积公式做逆推：正向计算面积时最后一步是除以2，逆推时就要先把面积乘2，还原成和这个三角形等底等高的平行四边形的面积，再用这个平行四边形的面积除以底，就能得到对应的高，这样就不会漏掉乘2的关键步骤。
【解析】
1. 明确三角形面积公式：$S = a× h ÷ 2$，其中$S$代表三角形面积，$a$代表底，$h$代表该底对应的高。
2. 对公式做变形推导高的计算式：将等式两边同时乘2得到$2S=a× h$，再两边同时除以底$a$，可得高的计算公式：$h=2S÷ a$。
3. 代入已知数值计算：
已知$S=3.9$平方米，$a=2$米，先计算面积乘2：
$3.9×2=7.8$（平方米），该结果是和三角形等底等高的平行四边形的面积
再用结果除以底得到高：
$7.8÷2=3.9$（米）
【答案】
3.9米
【知识点】
三角形面积公式，公式逆运算
【点评】
本题结合《九章算术》的数学文化背景出题，既考察学生对三角形面积公式的掌握，也能引导学生了解我国古代数学成就。本题的典型易错点是学生容易直接用面积除以底，漏掉“面积先乘2”的步骤，解题时要牢记：已知三角形面积反求底或者高时，必须先将面积乘2还原为对应平行四边形的面积再计算，避免出错。
【难度系数】
0.7
5. 跨学科 刹车距离 车子遇到紧急情况时，都要刹车。从看到紧急情况到实际刹车的时间，称为反应时间，用t表示。从开始刹车到车子完全停止的这段距离称为刹车距离，可以用d表示。人们通过研究，发现刹车距离d与车子的速度v和驾驶员的反应时间t一般有下面的关系 $d=v× t + v× v÷14$，其中，d的单位是米，v的单位是米/秒，t的单位是秒。张叔叔骑着一辆摩托车，速度是14米/秒，突然，他发现道路正前方16米处躺着一只小狗，马上刹车，反应时间是0.12秒，摩托车会不会撞上小狗？请你说明理由。
答案
5. $0.12×14=1.68$(米) $14×14÷14=14$(米)
$1.68+14=15.68$(米)
$15.68＜16$,不会撞上。
【解析】需先根据给定公式计算出摩托车的刹车距离,再将刹车距离与小狗到摩托车的距离进行比较,判断是否相撞。
$1.68+14=15.68$(米)
$15.68＜16$,不会撞上。
【解析】需先根据给定公式计算出摩托车的刹车距离,再将刹车距离与小狗到摩托车的距离进行比较,判断是否相撞。
解析
【分析】
这道题的核心是判断摩托车的总刹车距离是否小于它和小狗的初始距离，解题思路非常明确：第一步先从题干中提取所有已知条件：摩托车速度v=14米/秒，驾驶员反应时间t=0.12秒，给定刹车距离计算公式d=v×t + v×v÷14，摩托车发现小狗时和小狗相距16米；第二步把已知的v、t数值代入给定公式，分步计算出总刹车距离d；第三步将算出的d和16米做大小对比，如果d小于16就说明车完全停下时还没碰到小狗，不会相撞，反之就会撞上。
【解析】
我们按步骤逐步计算验证：
1. 计算反应时间内摩托车行驶的距离，对应公式的v×t部分：
$14×0.12=1.68$（米）
2. 计算踩下刹车后到车辆完全停止的滑行距离，对应公式的v×v÷14部分：
$14×14÷14=14$（米）
3. 求和得到总刹车距离d：
$d=1.68+14=15.68$（米）
4. 对比总刹车距离和初始车狗距离：
$15.68米＜16米$，说明摩托车完全停下时，行驶的总距离还不到16米，不会碰到小狗。
【答案】
摩托车不会撞上小狗，计算可得摩托车总刹车距离为15.68米，小于摩托车发现小狗时和小狗的16米距离，因此不会撞上。
【知识点】
代数式代入求值、小数四则运算、数值大小比较
【点评】
本题是结合交通安全场景的跨学科应用题，贴近生活实际，重点考查学生读取题干给定公式、提取已知参数代入计算的能力，同时也能帮助学生理解反应时间、刹车距离的相关生活常识，只要按照公式分步计算后做大小比较就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
这道题的核心是判断摩托车的总刹车距离是否小于它和小狗的初始距离，解题思路非常明确：第一步先从题干中提取所有已知条件：摩托车速度v=14米/秒，驾驶员反应时间t=0.12秒，给定刹车距离计算公式d=v×t + v×v÷14，摩托车发现小狗时和小狗相距16米；第二步把已知的v、t数值代入给定公式，分步计算出总刹车距离d；第三步将算出的d和16米做大小对比，如果d小于16就说明车完全停下时还没碰到小狗，不会相撞，反之就会撞上。
【解析】
我们按步骤逐步计算验证：
1. 计算反应时间内摩托车行驶的距离，对应公式的v×t部分：
$14×0.12=1.68$（米）
2. 计算踩下刹车后到车辆完全停止的滑行距离，对应公式的v×v÷14部分：
$14×14÷14=14$（米）
3. 求和得到总刹车距离d：
$d=1.68+14=15.68$（米）
4. 对比总刹车距离和初始车狗距离：
$15.68米＜16米$，说明摩托车完全停下时，行驶的总距离还不到16米，不会碰到小狗。
【答案】
摩托车不会撞上小狗，计算可得摩托车总刹车距离为15.68米，小于摩托车发现小狗时和小狗的16米距离，因此不会撞上。
【知识点】
代数式代入求值、小数四则运算、数值大小比较
【点评】
本题是结合交通安全场景的跨学科应用题，贴近生活实际，重点考查学生读取题干给定公式、提取已知参数代入计算的能力，同时也能帮助学生理解反应时间、刹车距离的相关生活常识，只要按照公式分步计算后做大小比较就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8
6. 如右下图,涂色三角形甲的面积比涂色三角形乙的面积少多少平方分米？
答案
6. $12×9÷2-12×6÷2=18$(平方分米)
【解析】因为涂色三角形甲的面积+空白三角形的面积=$12×6÷2=36$(平方分米),涂色三角形乙的面积+空白三角形的面积=$12×9÷2=54$(平方分米),所以涂色三角形甲的面积比涂色三角形乙的面积少$54-36=18$(平方分米)。
【解析】因为涂色三角形甲的面积+空白三角形的面积=$12×6÷2=36$(平方分米),涂色三角形乙的面积+空白三角形的面积=$12×9÷2=54$(平方分米),所以涂色三角形甲的面积比涂色三角形乙的面积少$54-36=18$(平方分米)。
解析
【分析】
这道题如果直接分别计算甲、乙两个涂色三角形的面积，我们无法得到它们对应的底和高，很难直接求出结果。这时候可以利用“差不变”的思路：给甲和乙同时加上它们共有的同一个空白三角形，得到两个完整的直角三角形，这两个新直角三角形的底都是12dm，高分别是6dm和9dm，都可以直接用三角形面积公式计算。因为两个图形同时加上相同的部分，它们的面积差是不会变的，所以这两个大直角三角形的面积差，就正好等于甲和乙的面积差，直接相减就能得到结果。
【解析】
我们通过添加公共空白部分转化面积差进行计算：
1. 涂色甲的面积 + 公共空白三角形的面积 = 底为12dm、高为6dm的直角三角形面积：
$S_甲+S_空 = 12×6÷2 = 36\ \mathrm{平方分米}$
2. 涂色乙的面积 + 公共空白三角形的面积 = 底为12dm、高为9dm的直角三角形面积：
$S_乙+S_空 = 12×9÷2 = 54\ \mathrm{平方分米}$
3. 将两个式子相减，公共空白部分的面积相互抵消，可得甲乙的面积差：
$S_乙 - S_甲 = 54 - 36 = 18\ \mathrm{平方分米}$
综合列式为：$12×9÷2-12×6÷2=18$（平方分米）
【答案】18平方分米
【知识点】三角形面积计算，差不变性质
【点评】本题没有直接给出两个阴影三角形的底和高，无法直接计算二者面积差，通过给两个阴影部分同时加上公共的空白三角形，将未知的阴影差转化为两个可直接计算的直角三角形的面积差，是几何求差类问题非常经典的转化技巧，能大幅简化计算过程。
【难度系数】0.6
这道题如果直接分别计算甲、乙两个涂色三角形的面积，我们无法得到它们对应的底和高，很难直接求出结果。这时候可以利用“差不变”的思路：给甲和乙同时加上它们共有的同一个空白三角形，得到两个完整的直角三角形，这两个新直角三角形的底都是12dm，高分别是6dm和9dm，都可以直接用三角形面积公式计算。因为两个图形同时加上相同的部分，它们的面积差是不会变的，所以这两个大直角三角形的面积差，就正好等于甲和乙的面积差，直接相减就能得到结果。
【解析】
我们通过添加公共空白部分转化面积差进行计算：
1. 涂色甲的面积 + 公共空白三角形的面积 = 底为12dm、高为6dm的直角三角形面积：
$S_甲+S_空 = 12×6÷2 = 36\ \mathrm{平方分米}$
2. 涂色乙的面积 + 公共空白三角形的面积 = 底为12dm、高为9dm的直角三角形面积：
$S_乙+S_空 = 12×9÷2 = 54\ \mathrm{平方分米}$
3. 将两个式子相减，公共空白部分的面积相互抵消，可得甲乙的面积差：
$S_乙 - S_甲 = 54 - 36 = 18\ \mathrm{平方分米}$
综合列式为：$12×9÷2-12×6÷2=18$（平方分米）
【答案】18平方分米
【知识点】三角形面积计算，差不变性质
【点评】本题没有直接给出两个阴影三角形的底和高，无法直接计算二者面积差，通过给两个阴影部分同时加上公共的空白三角形，将未知的阴影差转化为两个可直接计算的直角三角形的面积差，是几何求差类问题非常经典的转化技巧，能大幅简化计算过程。
【难度系数】0.6
7. 新素养 几何直观 如右下图，一个长方形和一个三角形重叠在一起，已知三角形$ADE$的面积比长方形$ABCD$的面积小4平方厘米，求$CE$的长。
答案
7. $4×8=32$(平方厘米) $32-4=28$(平方厘米)
$28×2÷8=7$(厘米) $7-4=3$(厘米)
【解析】先求出三角形$ADE$的面积,再根据“三角形的面积$×2÷底=高$”求出$DE$的长,最后减去$DC$的长。
$28×2÷8=7$(厘米) $7-4=3$(厘米)
【解析】先求出三角形$ADE$的面积,再根据“三角形的面积$×2÷底=高$”求出$DE$的长,最后减去$DC$的长。
解析
【分析】
我们先梳理已知条件：首先图中的长方形ABCD，已知AB长4cm，AD长8cm，可直接先算出长方形的总面积。题目明确给出三角形ADE的面积比长方形ABCD的面积小4平方厘米，用长方形面积减去4就能得到三角形ADE的面积。观察图形可知三角形ADE是直角三角形，其中一条直角边AD的长度就是8cm，我们可以利用直角三角形的面积公式反求出另一条直角边DE的总长度，最后用DE的长度减去长方形的边DC（DC和AB长度相等，为4cm），就能算出CE的长度。
【解析】
1. 计算长方形ABCD的面积：
根据长方形面积公式$S_{\mathrm{长方形}} = 长×宽$，代入数值可得：
$S_{ABCD}=4×8=32$（平方厘米）
2. 计算三角形ADE的面积：
已知三角形ADE的面积比长方形面积小4平方厘米，因此：
$S_{△ ADE}=32-4=28$（平方厘米）
3. 求直角三角形ADE的直角边DE的长度：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，变形可得$DE=2S_{△ ADE}÷ AD$，代入AD=8cm的数值：
$DE=28×2÷8=7$（厘米）
4. 计算CE的长度：
因为DC=AB=4cm，且$CE=DE-DC$，代入数值可得：
$CE=7-4=3$（厘米）
【答案】
CE的长为3厘米
【知识点】
长方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题通过两个图形的面积差间接推导未知三角形的面积，再反向利用面积公式求边长，不需要复杂设未知数，重点考察学生对基础面积公式的灵活运用能力，以及从几何图形中提取对应边长关系的观察能力。
【难度系数】
0.6
我们先梳理已知条件：首先图中的长方形ABCD，已知AB长4cm，AD长8cm，可直接先算出长方形的总面积。题目明确给出三角形ADE的面积比长方形ABCD的面积小4平方厘米，用长方形面积减去4就能得到三角形ADE的面积。观察图形可知三角形ADE是直角三角形，其中一条直角边AD的长度就是8cm，我们可以利用直角三角形的面积公式反求出另一条直角边DE的总长度，最后用DE的长度减去长方形的边DC（DC和AB长度相等，为4cm），就能算出CE的长度。
【解析】
1. 计算长方形ABCD的面积：
根据长方形面积公式$S_{\mathrm{长方形}} = 长×宽$，代入数值可得：
$S_{ABCD}=4×8=32$（平方厘米）
2. 计算三角形ADE的面积：
已知三角形ADE的面积比长方形面积小4平方厘米，因此：
$S_{△ ADE}=32-4=28$（平方厘米）
3. 求直角三角形ADE的直角边DE的长度：
直角三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，变形可得$DE=2S_{△ ADE}÷ AD$，代入AD=8cm的数值：
$DE=28×2÷8=7$（厘米）
4. 计算CE的长度：
因为DC=AB=4cm，且$CE=DE-DC$，代入数值可得：
$CE=7-4=3$（厘米）
【答案】
CE的长为3厘米
【知识点】
长方形面积计算，三角形面积计算
【点评】
本题通过两个图形的面积差间接推导未知三角形的面积，再反向利用面积公式求边长，不需要复杂设未知数，重点考察学生对基础面积公式的灵活运用能力，以及从几何图形中提取对应边长关系的观察能力。
【难度系数】
0.6
