1. 如图,在等边三角形ABC中,AD为∠BAC的平分线,在AB,CB上分别取点M,N,且AM=BN=4,DN=2,在AD上有一动点P,则PM+PN的最小值为.

1. 8

2. 在$△ ABC$中，$AB=AC=10$，$AD$是$△ ABC$的角平分线，$E$在$AB$的垂直平分线上，$AE:EC=3:2$，$F$为$AD$上的动点，则$EF+CF$的最小值为$\underline{\hspace{5em}}$。

2. 6

3. 如图,若$△ ABC$为等腰直角三角形,$AC=BC=5$,$∠ BCD=15°$,$P$为$CD$上的动点,则$|PA-PB|$的最大值是________.

3. 5

4. 如图，$△ ABD$是边长为6的等边三角形，$E,F$分别是边$AD,AB$上的动点，若$∠ ADC=∠ ABC=90°$，则$△ CEF$周长的最小值为________。

4. 12

5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ A=90°$,点$D,E$是边$AB$上的两个定点,点$M,N$分别是边$AC$, $BC$上的两个动点.当四边形$DEMN$的周长最小时,$∠ DNM+∠ EMN$的大小是（）

A.$45°$
B.$90°$
C.$75°$
D.$135°$

5. B 解析:如图,作点D关于BC的对称点D',作点E关于AC的对称点E',连接D'E'分别交AC,BC于点M',N',连接ME',ND',EM',DN',则ME = ME',ND = ND',
∴ 四边形DEMN的周长=DE+ME+MN+ND=DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'.
∵ DE长固定,
∴ 点M与点M'重合,点N与点N'重合时,四边形DEMN的周长最小,此时∠DNM+∠EMN=∠DN'M'+∠EM'N',由对称性和三角形外角性质可知,∠DN'M'=∠N'DD'+∠N'D'D=2∠N'D'D,∠EM'N'=∠M'EE'+∠M'E'E=2∠M'E'E,
∴ ∠DN'M'+∠EM'N'=2∠N'D'D+2∠M'E'E=2(180°-∠D'DE').设DD'与BC交于点H,
∵ AB=AC,∠BAC=90°,
∴ ∠B=45°,
∴ ∠BDH=45°,
∴ ∠D'DE'=180°-45°=135°,
∴ ∠DN'M'+∠EM'N'=2×(180°-135°)=90°,即当四边形DEMN的周长最小时,∠DNM+∠EMN的大小是90°。

6. 如图，$∠ AOB=25°$，点$M,N$分别是边$OA,OB$上的定点，点$P,Q$分别是边$OB,OA$上的动点，记$∠ MPQ=α$，$∠ PQN=β$，当$MP+PQ+QN$的值最小时，$β-α$的大小为________。

6. 50° 解析:如图,作点M关于OB的对称点M',点N关于OA的对称点N',连接M'N'交OA于点Q,交OB于点P,此时MP+PQ+QN的值最小,
∴ ∠OPM=∠OPM'=∠NPQ,∠OQP=∠AQN'=∠AQN,
∴ ∠QPN=$\frac{1}{2}(180°-α)$=∠AOB+∠MQP=25°+$\frac{1}{2}(180°-β)$,
∴ 180°-α=50°+180°-β,
∴ β-α=50°。

7. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$,$AB=12$,$AC=5$,$BC=13$,$M$,$N$,$P$分别是边$AB$,$AC$,$BC$上的动点,连接$PM$,$PN$和$MN$,则$PM+PN+MN$的最小值是________.

7. $\frac{120}{13}$ 解析:如图,作点P关于AB,AC的对称点E,F,连接PA,EM,FN,AE,AF.由对称的性质可知,AE=AP=AF,∠BAP=∠BAE,∠CAP=∠CAF.
∵ ∠PAB+∠PAC=∠BAC=90°,
∴ ∠EAF=180°,
∴ E,A,F三点共线.
∵ ME=MP,NF=NP,
∴ PM+MN+PN=EM+MN+NF.
∵ EM+MN+NF≥EF,
∴ EF的值最小时,PM+MN+PN的值最小.
∵ EF=2PA,且∠BAC=90°,AB=12,AC=5,BC=13,
∴ 当PA⊥BC时,PA的值最小,此时PA=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$,
∴ PM+MN+PN≥$\frac{120}{13}$,
∴ PM+MN+PN的最小值为$\frac{120}{13}$。