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27. “人工智能 AI 大模型”对某地区学生上半年关注热点新闻的情况进行了调查统计，并根据“关注态度”分成甲、乙、丙三个等级，其中甲级人数占调查总人数的$\frac{1}{5}$，乙级有 5.1 万人，甲、乙两级总人数与丙级人数比是$5:3$。AI 大模型上半年调查了该地区学生多少万人？
答案
27. 甲、乙两级总人数占调查总人数的$\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$
调查总人数:$5.1÷(\frac{5}{8}-\frac{1}{5})=12$(万人)
答:AI大模型上半年调查了该地区学生 12 万人。
调查总人数:$5.1÷(\frac{5}{8}-\frac{1}{5})=12$(万人)
答:AI大模型上半年调查了该地区学生 12 万人。
解析
【分析】
本题要求调查的总人数，已知甲级人数占总人数的$\frac{1}{5}$、乙级人数为5.1万人，且甲、乙两级总人数与丙级人数比为$5:3$。解题思路是：先根据比例关系求出甲、乙两级总人数占总人数的分率，再减去甲级的分率得到乙级对应的分率，最后用乙级人数除以其对应分率，即可求出总人数。
【解析】
1. 由“甲、乙两级总人数与丙级人数比是$5:3$”，可知总人数共分为$5+3=8$份，甲、乙两级总人数占调查总人数的$\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$；
2. 甲级人数占总人数的$\frac{1}{5}$，因此乙级人数占总人数的分率为：$\frac{5}{8}-\frac{1}{5}=\frac{25}{40}-\frac{8}{40}=\frac{17}{40}$；
3. 已知乙级有5.1万人，根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，总人数为：$5.1÷\frac{17}{40}=5.1×\frac{40}{17}=12$（万人）。
【答案】12万人
【知识点】分数应用题，比例的应用
【点评】本题是分数与比例结合的典型应用题，核心是找准乙级人数对应的分率，需先利用比例关系推导甲乙两级的分率，再结合甲级分率得到乙级分率，进而求解总人数，难度适中，考查学生对分数和比例的综合运用能力。
【难度系数】0.6
本题要求调查的总人数，已知甲级人数占总人数的$\frac{1}{5}$、乙级人数为5.1万人，且甲、乙两级总人数与丙级人数比为$5:3$。解题思路是：先根据比例关系求出甲、乙两级总人数占总人数的分率，再减去甲级的分率得到乙级对应的分率，最后用乙级人数除以其对应分率，即可求出总人数。
【解析】
1. 由“甲、乙两级总人数与丙级人数比是$5:3$”，可知总人数共分为$5+3=8$份，甲、乙两级总人数占调查总人数的$\frac{5}{5+3}=\frac{5}{8}$；
2. 甲级人数占总人数的$\frac{1}{5}$，因此乙级人数占总人数的分率为：$\frac{5}{8}-\frac{1}{5}=\frac{25}{40}-\frac{8}{40}=\frac{17}{40}$；
3. 已知乙级有5.1万人，根据“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，总人数为：$5.1÷\frac{17}{40}=5.1×\frac{40}{17}=12$（万人）。
【答案】12万人
【知识点】分数应用题，比例的应用
【点评】本题是分数与比例结合的典型应用题，核心是找准乙级人数对应的分率，需先利用比例关系推导甲乙两级的分率，再结合甲级分率得到乙级分率，进而求解总人数，难度适中，考查学生对分数和比例的综合运用能力。
【难度系数】0.6
28. A、B两地相距280 km，甲、乙两车从两地同时出发，相向而行。已知甲、乙的速度比是4：3，两车在C地相遇后，甲车的速度提高20%，乙车的速度降低20%继续行驶。当甲车到达B地时，乙车刚好行到D地。
(1)相遇时甲车行了多少千米？
(2)A、D两地间的距离是多少千米？
(1)相遇时甲车行了多少千米？
(2)A、D两地间的距离是多少千米？
答案
28.
(1)时间相同时,甲、乙的路程比=甲、乙的速度比
$280×\frac{4}{4+3}=160(\mathrm{km})$
答:相遇时甲车行了 160 km。
(2)甲、乙两车速度变化后之比:$[4×(1+20\%)]:[3×(1-20\%)]=2:1$
甲车从C地到B地的路程:$280-160=120(\mathrm{km})$
乙车从C地到D地的路程:$120÷2×1=60(\mathrm{km})$
A、D两地间的距离:$280-60-120=100(\mathrm{km})$
答:A、D两地间的距离是 100 km。
(1)时间相同时,甲、乙的路程比=甲、乙的速度比
$280×\frac{4}{4+3}=160(\mathrm{km})$
答:相遇时甲车行了 160 km。
(2)甲、乙两车速度变化后之比:$[4×(1+20\%)]:[3×(1-20\%)]=2:1$
甲车从C地到B地的路程:$280-160=120(\mathrm{km})$
乙车从C地到D地的路程:$120÷2×1=60(\mathrm{km})$
A、D两地间的距离:$280-60-120=100(\mathrm{km})$
答:A、D两地间的距离是 100 km。
解析
【分析】
这是一道行程问题，分为两小问。第(1)问，两车同时出发到相遇时行驶时间相同，根据“时间相同时，路程比等于速度比”，结合总路程，按速度比分配即可求出相遇时甲车行驶的路程；第(2)问，先计算变速后甲、乙的速度比，再根据相遇后甲车需行驶的路程，结合变速后的速度比求出乙车在这段时间行驶的路程，最后用总路程减去相遇后甲车剩余路程和乙车行驶的路程，即可得到A、D两地的距离。
【解析】
(1) 两车相遇时行驶时间相同，路程比等于速度比，已知甲、乙速度比为4:3，总路程为280km，因此相遇时甲车行驶的路程为：
$280×\frac{4}{4+3}=160(\mathrm{km})$
(2) 先计算变速后甲、乙的速度比：
甲车变速后的速度：$4×(1+20\%)=4.8$
乙车变速后的速度：$3×(1-20\%)=2.4$
变速后甲、乙速度比为$4.8:2.4=2:1$
相遇后甲车需行驶的路程：$280-160=120(\mathrm{km})$
相遇后甲、乙行驶时间相同，路程比等于速度比，因此乙车行驶的路程为：$120÷2×1=60(\mathrm{km})$
A、D两地间的距离为总路程减去相遇后甲车剩余路程和乙车行驶的路程：
$280-120-60=100(\mathrm{km})$
【答案】
(1) 相遇时甲车行了160km；(2) A、D两地间的距离是100km。
【知识点】
行程问题、比的应用、百分数的应用
【点评】
本题结合行程问题与比例、百分数知识，解题关键是利用“时间相同，路程比等于速度比”的关系，分阶段分析两车的行驶路程，步骤清晰即可顺利解答。
【难度系数】
0.5
这是一道行程问题，分为两小问。第(1)问，两车同时出发到相遇时行驶时间相同，根据“时间相同时，路程比等于速度比”，结合总路程，按速度比分配即可求出相遇时甲车行驶的路程；第(2)问，先计算变速后甲、乙的速度比，再根据相遇后甲车需行驶的路程，结合变速后的速度比求出乙车在这段时间行驶的路程，最后用总路程减去相遇后甲车剩余路程和乙车行驶的路程，即可得到A、D两地的距离。
【解析】
(1) 两车相遇时行驶时间相同，路程比等于速度比，已知甲、乙速度比为4:3，总路程为280km，因此相遇时甲车行驶的路程为：
$280×\frac{4}{4+3}=160(\mathrm{km})$
(2) 先计算变速后甲、乙的速度比：
甲车变速后的速度：$4×(1+20\%)=4.8$
乙车变速后的速度：$3×(1-20\%)=2.4$
变速后甲、乙速度比为$4.8:2.4=2:1$
相遇后甲车需行驶的路程：$280-160=120(\mathrm{km})$
相遇后甲、乙行驶时间相同，路程比等于速度比，因此乙车行驶的路程为：$120÷2×1=60(\mathrm{km})$
A、D两地间的距离为总路程减去相遇后甲车剩余路程和乙车行驶的路程：
$280-120-60=100(\mathrm{km})$
【答案】
(1) 相遇时甲车行了160km；(2) A、D两地间的距离是100km。
【知识点】
行程问题、比的应用、百分数的应用
【点评】
本题结合行程问题与比例、百分数知识，解题关键是利用“时间相同，路程比等于速度比”的关系，分阶段分析两车的行驶路程，步骤清晰即可顺利解答。
【难度系数】
0.5
六、综合应用,挑战自我。(第 29 题 4 分,第 30 题 2 分,共 6 分)
29. 如图①,一个长 30 cm、宽 15 cm、高 20 cm 的长方体玻璃缸里有一些水。现一头抬高后如图②所示,AB=8 cm。
(1)这些水的体积是多少?
(2)如果这头再抬高,水至玻璃缸口正好与缸口重合,如图③,这时 CD 长多少厘米?
29. 如图①,一个长 30 cm、宽 15 cm、高 20 cm 的长方体玻璃缸里有一些水。现一头抬高后如图②所示,AB=8 cm。
(1)这些水的体积是多少?
(2)如果这头再抬高,水至玻璃缸口正好与缸口重合,如图③,这时 CD 长多少厘米?
答案
29.
(1)水的体积:$30×(20-8)÷2×15=2700(\mathrm{cm}^3)$
答:这些水的体积是 $2700\ \mathrm{cm}^3$。
(2)图③水的底面积:$2700÷15=180(\mathrm{cm}^2)$
图③水的底面三角形的另一条边:$180×2÷20=18(\mathrm{cm})$
$CD$ 的长:$30-18=12(\mathrm{cm})$
答:这时 $CD$ 长 12 cm。
(1)水的体积:$30×(20-8)÷2×15=2700(\mathrm{cm}^3)$
答:这些水的体积是 $2700\ \mathrm{cm}^3$。
(2)图③水的底面积:$2700÷15=180(\mathrm{cm}^2)$
图③水的底面三角形的另一条边:$180×2÷20=18(\mathrm{cm})$
$CD$ 的长:$30-18=12(\mathrm{cm})$
答:这时 $CD$ 长 12 cm。
解析
【分析】
第(1)问：观察图②，玻璃缸倾斜后，水的形状可转化为横截面是直角三角形的棱柱，该三角形的底为玻璃缸的长30cm，高为(20-8)cm，结合玻璃缸的宽15cm，利用棱柱体积公式即可求出水的体积。第(2)问：水的体积始终不变，当水至缸口时，水仍为三棱柱形状，先通过体积和宽求出底面三角形的面积，再结合三角形面积公式求出对应边长，最后用玻璃缸的长减去该边长得到CD的长度。
【解析】
(1) 水的体积可表示为横截面直角三角形的面积乘以玻璃缸的宽，其中三角形的底为30cm，高为$20-8=12$cm：
$\mathrm{水的体积} = \frac{1}{2} × 30 × 12 × 15 = 2700 \ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 水的体积不变，此时水的底面为三角形，宽仍为15cm，先求该三角形的面积：
$\mathrm{三角形面积} = 2700 ÷ 15 = 180 \ (\mathrm{cm}^2)$
已知三角形的一条直角边为玻璃缸的高20cm，根据三角形面积公式，另一条直角边长度为：
$180 × 2 ÷ 20 = 18 \ (\mathrm{cm})$
CD的长度为玻璃缸的长减去该直角边：
$30 - 18 = 12 \ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2700\ \mathrm{cm}^3$；(2) $12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积、三角形面积、棱柱体积
【点评】
本题核心是利用“水的体积不变”，将倾斜后不规则的水的形状转化为规则的三棱柱，考查了体积公式的灵活运用，需要学生具备空间转化能力。
【难度系数】
0.5
第(1)问：观察图②，玻璃缸倾斜后，水的形状可转化为横截面是直角三角形的棱柱，该三角形的底为玻璃缸的长30cm，高为(20-8)cm，结合玻璃缸的宽15cm，利用棱柱体积公式即可求出水的体积。第(2)问：水的体积始终不变，当水至缸口时，水仍为三棱柱形状，先通过体积和宽求出底面三角形的面积，再结合三角形面积公式求出对应边长，最后用玻璃缸的长减去该边长得到CD的长度。
【解析】
(1) 水的体积可表示为横截面直角三角形的面积乘以玻璃缸的宽，其中三角形的底为30cm，高为$20-8=12$cm：
$\mathrm{水的体积} = \frac{1}{2} × 30 × 12 × 15 = 2700 \ (\mathrm{cm}^3)$
(2) 水的体积不变，此时水的底面为三角形，宽仍为15cm，先求该三角形的面积：
$\mathrm{三角形面积} = 2700 ÷ 15 = 180 \ (\mathrm{cm}^2)$
已知三角形的一条直角边为玻璃缸的高20cm，根据三角形面积公式，另一条直角边长度为：
$180 × 2 ÷ 20 = 18 \ (\mathrm{cm})$
CD的长度为玻璃缸的长减去该直角边：
$30 - 18 = 12 \ (\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $2700\ \mathrm{cm}^3$；(2) $12\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方体体积、三角形面积、棱柱体积
【点评】
本题核心是利用“水的体积不变”，将倾斜后不规则的水的形状转化为规则的三棱柱，考查了体积公式的灵活运用，需要学生具备空间转化能力。
【难度系数】
0.5
30. 某文具店出售一种电子辞典，每售出一台可获得利润15元，售出$\frac{4}{5}$后，为了尽快回收资金，每台降价3元出售，当全部售完后，共获利润864元。文具店共卖出这种电子辞典多少台？
答案
30. 解:设文具店共卖出这种电子辞典 $x$ 台。
$\frac{4}{5}x×15+(1-\frac{4}{5})x×(15-3)=864$
$x=60$
答:文具店共卖出这种电子辞典 60 台。
$\frac{4}{5}x×15+(1-\frac{4}{5})x×(15-3)=864$
$x=60$
答:文具店共卖出这种电子辞典 60 台。
解析
【分析】这是一道利用一元一次方程解决利润问题的应用题，解题思路是：先设文具店卖出的电子辞典总台数为未知数$x$，将总销量分为两部分：①售出总数的$\frac{4}{5}$，每台利润15元；②剩余的$1-\frac{4}{5}$，每台降价3元后利润为$15-3=12$元。根据“两部分利润之和等于总利润864元”这一等量关系，列出方程求解即可得到总台数。
【解析】解：设文具店共卖出这种电子辞典$x$台。
根据题意，前$\frac{4}{5}x$台的利润为$\frac{4}{5}x×15$元，剩余$(1-\frac{4}{5})x$台的利润为$(1-\frac{4}{5})x×(15-3)$元，总利润为864元，因此列方程：
$\frac{4}{5}x×15 + (1-\frac{4}{5})x×(15-3) = 864$
化简得：
$12x + \frac{1}{5}x×12 = 864$
$12x + 2.4x = 864$
$14.4x = 864$
解得：$x = 60$
答：文具店共卖出这种电子辞典60台。
【答案】60台
【知识点】利润问题；一元一次方程的应用
【点评】本题属于基础的利润应用题，核心是找准不同销售阶段的利润与对应销量，通过建立一元一次方程求解，难度适中，主要考查学生对等量关系的分析和方程的应用能力。
【难度系数】0.6
【解析】解：设文具店共卖出这种电子辞典$x$台。
根据题意，前$\frac{4}{5}x$台的利润为$\frac{4}{5}x×15$元，剩余$(1-\frac{4}{5})x$台的利润为$(1-\frac{4}{5})x×(15-3)$元，总利润为864元，因此列方程：
$\frac{4}{5}x×15 + (1-\frac{4}{5})x×(15-3) = 864$
化简得：
$12x + \frac{1}{5}x×12 = 864$
$12x + 2.4x = 864$
$14.4x = 864$
解得：$x = 60$
答：文具店共卖出这种电子辞典60台。
【答案】60台
【知识点】利润问题；一元一次方程的应用
【点评】本题属于基础的利润应用题，核心是找准不同销售阶段的利润与对应销量，通过建立一元一次方程求解，难度适中，主要考查学生对等量关系的分析和方程的应用能力。
【难度系数】0.6
