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7. 小华和爸爸玩“掷飞镖”游戏. 游戏规则:小华投中1次得5分,爸爸投中1次得3分,两人一共投中30次. 经过计算发现爸爸比小华多得2分. 设小华投中的次数为$ x $,爸爸投中的次数为$ y $,根据题意列出的方程组正确的是(
A.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 3x + 2 = 5y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 3x = 5y + 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x + 2 = 3y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x = 3y + 2 \end{cases}$
C
).A.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 3x + 2 = 5y \end{cases}$
B.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 3x = 5y + 2 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x + 2 = 3y \end{cases}$
D.$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x = 3y + 2 \end{cases}$
答案
7.C
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
【解析】根据题意,得$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x + 2 = 3y. \end{cases}$ 故选C.
【点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.
【解析】根据题意,得$\begin{cases} x + y = 30, \\ 5x + 2 = 3y. \end{cases}$ 故选C.
8. 如图,有两个正方形A,B,将A,B并列放置后构造新的图形,分别得到图1长方形与图2正方形.若图1、图2中阴影部分的面积分别为11与32,则正方形B的面积为(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
8.C
【点拨】本题考查平方差及完全平方公式的应用.
【解析】设A的边长为$a$,B的边长为$b$,由题图2得$(a+b)^2 - a^2 - b^2 = 32$,则$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 32$,那么$ab = 16$,由题图1得$a(a+b) - a^2 - b^2 = 11$,则$a^2 + ab - a^2 - b^2 = 11$,那么$16 - b^2 = 11$,解得$b^2 = 5$,即正方形B的面积为5.故选C.
【点拨】本题考查平方差及完全平方公式的应用.
【解析】设A的边长为$a$,B的边长为$b$,由题图2得$(a+b)^2 - a^2 - b^2 = 32$,则$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 32$,那么$ab = 16$,由题图1得$a(a+b) - a^2 - b^2 = 11$,则$a^2 + ab - a^2 - b^2 = 11$,那么$16 - b^2 = 11$,解得$b^2 = 5$,即正方形B的面积为5.故选C.
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
9. 计算:$(-3)^{2024}×(\dfrac{1}{3})^{2024}=$
9. 计算:$(-3)^{2024}×(\dfrac{1}{3})^{2024}=$
1
.答案
9.1
【点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键.
【解析】$(-3)^{2024} × (\dfrac{1}{3})^{2024} = 3^{2024} × (\dfrac{1}{3})^{2024} = (3 × \dfrac{1}{3})^{2024} = 1^{2024} = 1$.故答案为1.
【点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方,熟练掌握运算法则是解题的关键.
【解析】$(-3)^{2024} × (\dfrac{1}{3})^{2024} = 3^{2024} × (\dfrac{1}{3})^{2024} = (3 × \dfrac{1}{3})^{2024} = 1^{2024} = 1$.故答案为1.
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB = 10\ \mathrm{cm}$,$BC = 6\ \mathrm{cm}$,$AC = 8\ \mathrm{cm}$. 将$△ ABC$沿着与$AB$垂直的方向向上平移$9\ \mathrm{cm}$,得到$△ DEF$,则图中阴影部分的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$.
答案
10.90
【点拨】本题考查平移的性质.
【解析】$\because △ ABC$沿着与$AB$垂直的方向向上平移9 cm,得到$△ DEF$,$\therefore AD = 9$,$△ ABC$与$△ DEF$的面积相等,四边形$ABED$是长方形,$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{长方形}ABED} = 10 × 9 = 90(\mathrm{cm}^2)$.故答案为90.
【点拨】本题考查平移的性质.
【解析】$\because △ ABC$沿着与$AB$垂直的方向向上平移9 cm,得到$△ DEF$,$\therefore AD = 9$,$△ ABC$与$△ DEF$的面积相等,四边形$ABED$是长方形,$\therefore S_{\mathrm{阴影}} = S_{\mathrm{长方形}ABED} = 10 × 9 = 90(\mathrm{cm}^2)$.故答案为90.
11. 如图,将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ ADE$.若$∠ DAE = 35°$,则$∠ CAD = \underline{\hspace{5em}}°$.
12. 若$(x+a)(x-2) = x^2 + bx -6$,则$b = \underline{\hspace{5em}}$.
12. 若$(x+a)(x-2) = x^2 + bx -6$,则$b = \underline{\hspace{5em}}$.
答案
11.55
【点拨】本题考查旋转的性质,正确理解旋转角的概念并且求得$∠ CAE = 90°$是解题的关键.
【解析】$\because$ 将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ ADE$,$\therefore ∠ CAE = 90°$. $\because ∠ DAE = 35°$,$\therefore ∠ CAD = ∠ CAE - ∠ DAE = 90° - 35° = 55°$.故答案为55.
12.1
【点拨】本题考查多项式乘多项式,熟练掌握其运算法则是解题的关键.
【解析】$(x+a)(x-2) = x^2 - 2x + ax - 2a = x^2 + (a-2)x - 2a = x^2 + bx - 6$,则$2a = 6$,$b = a - 2$,解得$a = 3$,$b = 3 - 2 = 1$.故答案为1.
【点拨】本题考查旋转的性质,正确理解旋转角的概念并且求得$∠ CAE = 90°$是解题的关键.
【解析】$\because$ 将$△ ABC$绕点$A$顺时针旋转$90°$得到$△ ADE$,$\therefore ∠ CAE = 90°$. $\because ∠ DAE = 35°$,$\therefore ∠ CAD = ∠ CAE - ∠ DAE = 90° - 35° = 55°$.故答案为55.
12.1
【点拨】本题考查多项式乘多项式,熟练掌握其运算法则是解题的关键.
【解析】$(x+a)(x-2) = x^2 - 2x + ax - 2a = x^2 + (a-2)x - 2a = x^2 + bx - 6$,则$2a = 6$,$b = a - 2$,解得$a = 3$,$b = 3 - 2 = 1$.故答案为1.
13. 已知$2^x = a,4^y = b,x,y$为正整数,则$2^{3x+2y} =$ $\underline{\hspace{5em}}$.(用$a,b$表示)
14. 关于$m,n$的二元一次方程组$\begin{cases}2m + n = 3, \\m - n = -1,\end{cases}$则$m + 2n =$ $\underline{\hspace{5em}}$.
14. 关于$m,n$的二元一次方程组$\begin{cases}2m + n = 3, \\m - n = -1,\end{cases}$则$m + 2n =$ $\underline{\hspace{5em}}$.
答案
13.$a^3b$
【点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解题的关键.
【解析】$\because 2^x = a$,$4^y = b = 2^{2y}$,$\therefore 2^{3x+2y} = 2^{3x} · 2^{2y} = (2^x)^3 · b = a^3 · b = a^3b$.故答案为$a^3b$.
14.4
【点拨】本题考查解二元一次方程组,代数式求值,巧解方程组是解题的关键.
【解析】$\begin{cases}2m + n = 3,① \\ m - n = -1,②\end{cases}$ ①$-$②,得$m + 2n = 4$.故答案为4.
【点拨】本题考查幂的乘方与积的乘方,同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则是解题的关键.
【解析】$\because 2^x = a$,$4^y = b = 2^{2y}$,$\therefore 2^{3x+2y} = 2^{3x} · 2^{2y} = (2^x)^3 · b = a^3 · b = a^3b$.故答案为$a^3b$.
14.4
【点拨】本题考查解二元一次方程组,代数式求值,巧解方程组是解题的关键.
【解析】$\begin{cases}2m + n = 3,① \\ m - n = -1,②\end{cases}$ ①$-$②,得$m + 2n = 4$.故答案为4.
15. 若整式$9x^2 - 2mx + 1$可以写成一个多项式的平方，则常数$m$的值为________.
答案
15.$±3$
【点拨】本题考查完全平方式,熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.
【解析】$\because$ 整式$9x^2 - 2mx + 1$可以写成一个多项式的平方,
$\therefore -2m = ±2 × 3 × 1$,即$2m = ±6$,则$m = ±3$.故答案为$±3$.
【点拨】本题考查完全平方式,熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键.
【解析】$\because$ 整式$9x^2 - 2mx + 1$可以写成一个多项式的平方,
$\therefore -2m = ±2 × 3 × 1$,即$2m = ±6$,则$m = ±3$.故答案为$±3$.
16. 如图,在长方形ABCD中,$AB = CD = 3$,$AD = BC = 4$,$BD = 5$,动点P在对角线BD上运动,点P关于边BC,CD的对称点分别为$P'$,$P''$,连接$P'P''$,则在点P的运动过程中,线段$P'P''$的最小值是________.
答案
16.$\dfrac{24}{5}$
【点拨】本题考查长方形的性质,轴对称的性质,涉及三角形的面积、点到直线的距离等知识.
【解析】过点$C$作$CM ⊥ BD$交$BD$于点$M$,连接$CP$,如图
,长方形$ABCD$中,$AB = CD = 3$,$AD = BC = 4$,$BD = 5$,$\therefore S_{△BCD} = \dfrac{1}{2}BC · CD = \dfrac{1}{2}BD · CM$,$\therefore CM = \dfrac{BC · CD}{BD} = \dfrac{12}{5}$. $\because$ 点$P$关于边$BC$,$DC$的对称点分别为$P'$,$P''$,$\therefore P'C = PC = P''C$,$\therefore P'P'' = 2CP$,线段$P'P''$长度最小即是$CP$长度最小,此时$CP ⊥ BD$,即点$P$与点$M$重合,线段$P'P''$的最小值为$2CM = \dfrac{24}{5}$.故答案为$\dfrac{24}{5}$.三、解答题(本大题共9小题,共68分.解答应写出过程)
17. (8分)计算:
(1)$(\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^3 - (π - 3.14)^0$;
(2)$3a^2 · 2a^4 - (-2a^3)^2 + a^8 ÷ a^2$.
·44·
17. (8分)计算:
(1)$(\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^3 - (π - 3.14)^0$;
(2)$3a^2 · 2a^4 - (-2a^3)^2 + a^8 ÷ a^2$.
·44·
答案
17.
【点拨】本题考查整式的混合运算,实数的运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
【解析】(1) $(\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^3 - (π - 3.14)^0$
$=4 - 1 - 1$
$=3 - 1$
$=2$.
(2) $3a^2 · 2a^4 - (-2a^3)^2 + a^8 ÷ a^2$
$=6a^6 - 4a^6 + a^6$
$=2a^6 + a^6$
$=3a^6$.
【点拨】本题考查整式的混合运算,实数的运算,熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
【解析】(1) $(\dfrac{1}{2})^{-2} + (-1)^3 - (π - 3.14)^0$
$=4 - 1 - 1$
$=3 - 1$
$=2$.
(2) $3a^2 · 2a^4 - (-2a^3)^2 + a^8 ÷ a^2$
$=6a^6 - 4a^6 + a^6$
$=2a^6 + a^6$
$=3a^6$.
