【例2】如图,在$△ ABC$中,若$∠ B=2∠ C$,$AD⊥ BC$,$E$为$BC$边的中点.求证:$AB=2DE$.
【点拨】取斜边$AC$或$AB$的中点,利用斜边中线性质和中位线性质.
【证明】

取 AB 的中点 M,连接 ME,MD. 设∠C=x.
∵ ∠B=2∠C,
∴ ∠B=2x.
∵ 点 E 是 BC 的中点,
∴ ME//AC.
∴ ∠MED=∠C=x.
在Rt△ADB 中,
∵ M 是 AB 的中点,
∴ MD=MB,
∴ ∠MDB=∠B=2x.
∵ ∠MDB=∠DME+∠MED,
∴ ∠DME=x=∠MED.
∴ DE=DM.
∵ DM=MB=$\frac{1}{2}$AB,
∴ DE=$\frac{1}{2}$AB,即 AB=2DE.

【例3】如图,在梯形ABCD中,已知AB//CD,AD=BC.求证:∠A=∠B.
【点拨】过上底向下底作高,构造直角三角形,然后利用两个三角形全等解决问题.
【证明】

分别过点 D,C 作 AB 的垂线,垂足分别为 E,F.
∵ AB//CD,
∴ DE = CF. 又 AD=BC,
∴ Rt△DAE≌Rt△CBF,
∴ ∠A=∠B.

【例4】如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E,F分别是AD,BC的中点.若∠B+∠C=90°,AD=7,BC=15,求EF的长度.
【点拨】由条件∠B+∠C=90°,通过平移AB,DC构造直角三角形,使EF恰好是该直角三角形的中线.
【解答】

过点 E 作 EM//AB,EN//DC,分别交 BC 于 M,N.
∵ ∠B+∠C=90°,
∴ ∠EMN+∠ENM=90°.
∴ △MEN 是直角三角形.
∵ AD=7,BC=15,
∴ MN=8.
∵ E,F 分别是 AD,BC 的中点,
∴ F 为 MN 的中点,
∴ EF=$\frac{1}{2}$MN=4.