1. 新情境 学科融合 一定质量的氧气，它的密度$\rho(\mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)$是它的体积$V(\mathrm{m}^3)$的反比例函数，当$V = 10$时，$\rho = 1.431$。若某一时刻氧气的密度为$4.77\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3$，则此时它的体积是（）

A.$2\ \mathrm{m}^3$
B.$3\ \mathrm{m}^3$
C.$5\ \mathrm{m}^3$
D.$6\ \mathrm{m}^3$

设密度$\rho(\mathrm{kg/m}^3)$关于体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数表达式为$\rho=\frac{k}{V}$，$\because$ 当$V=10$时，$\rho=1.431$，$\therefore k=10× 1.431=14.31$.$\therefore \rho=\frac{14.31}{V}$.当$\rho=4.77$时，$V=\frac{14.31}{4.77}=3$.

【分析】
这是一道跨学科的反比例函数实际应用题，解题思路非常明确：首先题目已经明确说明密度ρ是体积V的反比例函数，我们可以先按照反比例函数的通用形式设出带待定系数的函数解析式，再把题目给出的V=10、ρ=1.431这组已知数值代入解析式，计算出待定系数k的具体值，得到完整的ρ和V的对应函数关系。最后把给定的密度值ρ=4.77代入已经求出的解析式，通过简单变形计算就能得到对应的体积V，匹配选项即可选出正确答案，这里的k本质就是固定不变的氧气总质量，符合物理中质量=密度×体积的规律。
【解析】
解：
1. 设函数解析式：根据反比例函数的定义，设密度$\rho(\mathrm{kg/m}^3)$关于体积$V(\mathrm{m}^3)$的函数表达式为$\rho=\frac{k}{V} \ (k≠0, V＞0)$。
2. 求解待定系数k：将已知条件$V=10$，$\rho=1.431$代入所设解析式，可得：
$1.431 = \frac{k}{10}$，计算得$k=10×1.431=14.31$。
3. 得到完整函数关系式：将k=14.31代回原式，得到$\rho=\frac{14.31}{V}$。
4. 代入密度求对应体积：将$\rho=4.77$代入上述关系式，可得$4.77=\frac{14.31}{V}$，变形计算得$V=\frac{14.31}{4.77}=3$，即此时氧气的体积为$3\ \mathrm{m}^3$。
【答案】B
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用
【点评】
本题依托物理的密度-体积关系设置跨学科情境，属于基础题型，核心考查待定系数法求反比例函数解析式的基本操作，数值计算难度很低，只要理清变量的对应关系，代入数值准确计算就能得到正确结果。
【难度系数】
0.8

2. 新情境 学科融合 [2025 德阳中考]公元前 3 世纪,古希腊科学家阿基米德发现:若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比,则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”:阻力×阻力臂=动力×动力臂. 已知阻力和阻力臂分别为 600 N 和 1 m,当动力为 1 200 N 时,动力臂是m.

$600× 1÷ 1\,200=0.5(\mathrm{m})$，$\therefore$ 动力臂是$0.5\ \mathrm{m}$.

【分析】
这道题直接给出了杠杆原理的明确等量关系：阻力×阻力臂=动力×动力臂，我们已知阻力、阻力臂、动力三个数值，目标是求动力臂。解题时首先把已知的三个量代入给定的等量关系式，再通过等式变形，将动力臂单独放在等式一侧，用阻力和阻力臂的乘积除以动力，最后做简单的有理数除法计算就能直接得到动力臂的结果。
【解析】
解：根据题干给出的杠杆原理：
$\mathrm{阻力} × \mathrm{阻力臂} = \mathrm{动力} × \mathrm{动力臂}$
代入已知条件：阻力为$600\ \mathrm{N}$，阻力臂为$1\ \mathrm{m}$，动力为$1200\ \mathrm{N}$，可得：
$600 × 1 = 1200 × \mathrm{动力臂}$
对等式变形计算：
$\mathrm{动力臂} = 600 × 1 ÷ 1200 = 0.5\ (\mathrm{m})$
【答案】
$0.5$
【知识点】
杠杆原理，有理数乘除运算
【点评】
本题是跨学科融合的基础应用题，结合物理的杠杆平衡知识，题干直接给出核心等量关系，不需要学生自行推导复杂公式，仅需代入已知数值进行简单计算即可得出结果，主要考查学生对给定公式的理解应用能力，计算量极小，属于极易得分的基础题型。
【难度系数】
0.9

3. 新情境 学科融合 在电压不变的情况下,电流$I$(单位:A)与电阻$R$(单位:$\Omega$)是反比例函数关系.当$R=6$时,$I=5$,则电流$I$与电阻$R$之间的函数表达式为$I=$.

设电流$I$与电阻$R$之间的函数表达式为$I=\frac{U}{R}$，当$R=6$时，$I=5$，$\therefore 5=\frac{U}{6}$，解得$U=30$.$\therefore$ 电流$I$与电阻$R$之间的函数表达式为$I=\frac{30}{R}$.

【分析】
首先题目明确电压不变时电流I和电阻R是反比例函数关系，我们可以用待定系数法来求解对应的函数表达式：第一步先结合物理中电流、电阻、电压的关系，设出带未知定值电压U的反比例函数形式$I=\frac{U}{R}$；第二步把题目给出的$R=6$、$I=5$的对应数值代入所设表达式，计算出常数U的具体值；第三步把求出的U代回最初的表达式，就能得到I和R之间完整的函数关系式。
【解析】
解：设电流$I$与电阻$R$之间的函数表达式为$I=\frac{U}{R}$（$U$为非零定值），
将$R=6$，$I=5$代入表达式得：
$5=\frac{U}{6}$，
解得$U=5×6=30$，
将$U=30$回代到所设函数式中，可得电流$I$与电阻$R$的函数表达式。
【答案】
$\frac{30}{R}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数实际应用
【点评】
本题是数物融合的新情境基础题，结合欧姆定律背景考查反比例函数的基础求解，按照待定系数法“设、代、求、还原”的常规步骤即可顺利得出结果，难度较低，也体现了跨学科知识的关联性，实际情境中电阻R的取值为正，符合物理现实逻辑。
【难度系数】
0.9

4. 科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度. 密度计悬浮在不同液体中时，浸在液体中的高度$h\ (\mathrm{cm})$是液体的密度$\rho(\mathrm{g/cm^3})$的反比例函数，当密度计悬浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$的水中时，浸在液体中的高度为$20\ \mathrm{cm}$.
（1）求$h$关于$\rho$的函数表达式.
（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，$h=25$，求该液体的密度.

（1）设$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠ 0)$.把$\rho=1$，$h=20$代入，得$k=1× 20=20$.$\therefore h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$.
（2）把$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，解得$\rho=0.8$.$\therefore$ 该液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$.

【分析】
这是一道反比例函数的实际应用问题，解题思路非常清晰：
1. 题目已经直接说明浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，我们可以先按照待定系数法的常规步骤，先设出反比例函数的通用形式$h=\frac{k}{\rho}(k≠0)$。
2. 把题目给出的已知条件：密度为1g/cm³时对应h=20cm代入所设的函数式，就能计算出待定系数k的数值，直接得到h关于ρ的函数表达式，完成第一问的求解。
3. 第二问属于已知函数值反求自变量的问题，只需要把h=25代入已经求出的函数表达式，解出对应的ρ值，再补充对应物理单位就可以得到结果。
【解析】
（1）设$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}(k≠ 0)$。
把$\rho=1$，$h=20$代入表达式，得$k=1× 20=20$。
因此$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\frac{20}{\rho}$。
（2）把$h=25$代入$h=\frac{20}{\rho}$，得$25=\frac{20}{\rho}$，
解得$\rho=0.8$。
因此该液体的密度为$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
（1）$h=\frac{20}{\rho}$；（2）$0.8\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数实际应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用题，结合物理密度计的场景出题，运算量极低，核心考察最基础的待定系数法求反比例函数解析式的能力，绝大多数学生都能顺利完成解题，只需要注意实际场景下密度的取值为正，符合物理常识即可。
【难度系数】
0.9

5. 在温度不变的条件下,对气缸顶部的活塞加压,加压后气缸内的气体对气缸壁所产生的压强$p$(kPa)与气体的体积$V$(mL)成反比例,$p$关于$V$的函数图象如图所示. 当气体体积压缩了 40 mL时,压强的变化可能为（）

A.从 100 kPa 加到 125 kPa
B.从 75 kPa 加到 100 kPa
C.从 50 kPa 加到 75 kPa
D.从 25 kPa 加到 50 kPa

设$p$关于$V$的函数表达式为$p=\frac{k}{V}$($k$为常数，且$k≠ 0$).将$(100,60)$代入$p=\frac{k}{V}$，得$\frac{k}{100}=60$，解得$k=6\,000$，$\therefore p$关于$V$的函数表达式为$p=\frac{6\,000}{V}$.$\therefore V=\frac{6\,000}{p}$.设当$p=p_1$时，$V=V_1$，当$p=p_2$时，$V=V_2$，则$V_1=\frac{6\,000}{p_1}$，$V_2=\frac{6\,000}{p_2}$.$\therefore V_1-V_2=6\,000(\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2})=40$.
$\therefore \frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{150}$.当$p_1=100$，$p_2=125$时，$\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{100}-\frac{1}{125}=\frac{1}{500}≠\frac{1}{150}$，$\therefore$ 选项A不符合题意.当$p_1=75$，$p_2=100$时，$\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{75}-\frac{1}{100}=\frac{1}{300}≠\frac{1}{150}$，$\therefore$ 选项B不符合题意.当$p_1=50$，$p_2=75$时，$\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{50}-\frac{1}{75}=\frac{1}{150}$，$\therefore$ 选项C符合题意.当$p_1=25$，$p_2=50$时，$\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{25}-\frac{1}{50}=\frac{1}{50}≠\frac{1}{150}$，$\therefore$ 选项D不符合题意.$\therefore$ 当气体体积压缩了40 mL时，压强可能从50 kPa加到了75 kPa.

【分析】
首先根据题意明确压强p和体积V成反比例关系，先设出反比例函数的一般形式；再结合图像给出的点(100,60)，用待定系数法求出反比例函数的常数k，得到p和V的完整函数关系式。接下来根据“气体体积压缩了40mL”的条件，也就是变化前的体积减去变化后的体积等于40mL，将V用p的表达式代换，推导出前后压强p₁、p₂需要满足的等量关系，最后将四个选项的压强数值逐一代入该等量关系验证，即可选出符合条件的正确选项。
【解析】
解：设p关于V的函数表达式为$p=\frac{k}{V}$（k为常数，且$k≠0$）。
将图像上的点$(100,60)$代入$p=\frac{k}{V}$，可得：
$\frac{k}{100}=60$，解得$k=6000$，
因此p关于V的函数表达式为$p=\frac{6000}{V}$，变形可得$V=\frac{6000}{p}$。
设初始压强为$p_1$时对应的体积为$V_1$，加压后压强为$p_2$时对应的体积为$V_2$，则：
$V_1=\frac{6000}{p_1}$，$V_2=\frac{6000}{p_2}$。
由题意体积压缩了40mL，即$V_1-V_2=40$，代入得：
$\frac{6000}{p_1}-\frac{6000}{p_2}=40$，整理得$\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}=\frac{1}{150}$。
逐个验证选项：
选项A：当$p_1=100\ \mathrm{kPa}$，$p_2=125\ \mathrm{kPa}$时，$\frac{1}{100}-\frac{1}{125}=\frac{1}{500}≠\frac{1}{150}$，不符合条件；
选项B：当$p_1=75\ \mathrm{kPa}$，$p_2=100\ \mathrm{kPa}$时，$\frac{1}{75}-\frac{1}{100}=\frac{1}{300}≠\frac{1}{150}$，不符合条件；
选项C：当$p_1=50\ \mathrm{kPa}$，$p_2=75\ \mathrm{kPa}$时，$\frac{1}{50}-\frac{1}{75}=\frac{1}{150}$，符合条件；
选项D：当$p_1=25\ \mathrm{kPa}$，$p_2=50\ \mathrm{kPa}$时，$\frac{1}{25}-\frac{1}{50}=\frac{1}{50}≠\frac{1}{150}$，不符合条件。
综上，只有选项C满足要求。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题是反比例函数结合物理气体定律的实际应用题，解题核心是先通过已知点确定反比例函数的参数，再结合体积变化的条件推导压强的等量关系，通过代入验证快速筛选正确答案，既考查了反比例函数的基础性质，也锻炼了学生将实际场景转化为数学关系式的能力，需要注意不要搞反体积和压强的对应变化关系。
【难度系数】
0.7

6. 新情境 学科融合 试管中某种液体发生化学反应后,液体温度$T(°\mathrm{C})$是关于时间$t(\min)$的反比例函数,其部分图象如图所示,化学反应后该液体的温度从$60\ °\mathrm{C}$降到$36\ °\mathrm{C}$,要经过$\min$.

设$T(℃)$与$t(\min)$之间的函数表达式为$T=\frac{k}{t}$($k$为常数，且$k≠ 0$).将$(2,90)$代入，得$90=\frac{k}{2}$，解得$k=180$.
$\therefore T=\frac{180}{t}$.当$T=60$时，$t=3$.当$T=36$时，$t=5$.$\because 5-3=2(\min)$，$\therefore$ 化学反应后该液体的温度从$60\ ℃$降到$36\ ℃$，要经过$2\ \min$.

【分析】
首先题目明确说明液体温度T是时间t的反比例函数，我们可以按以下思路解题：第一步先设出反比例函数的标准形式，第二步利用图像给出的已知点(2,90)，通过待定系数法求出反比例函数的完整解析式；第三步分别将60℃和36℃这两个温度值代入解析式，算出两个温度各自对应的时刻，两个时刻的差值就是温度从60℃降到36℃所经过的时间，即可得到最终结果。
【解析】
解：设温度$T(℃)$与时间$t(\min)$的函数关系式为$T=\frac{k}{t}$（$k$为常数，且$k≠0$，$t＞0$）。
1. 代入已知点求参数$k$：由图像可知当$t=2\ \min$时，$T=90℃$，将其代入函数式得：
$90=\frac{k}{2}$，解得$k=180$，因此得到函数解析式为$T=\frac{180}{t}$。
2. 计算温度为$60℃$对应的时刻：将$T=60$代入解析式，得$60=\frac{180}{t}$，解得$t_1=3\ \min$。
3. 计算温度为$36℃$对应的时刻：将$T=36$代入解析式，得$36=\frac{180}{t}$，解得$t_2=5\ \min$。
4. 计算降温的间隔时长：温度从$60℃$降到$36℃$经过的时间为$t_2-t_1=5-3=2\ \min$。
【答案】
2
【知识点】
待定系数法求反比例函数，反比例函数实际应用
【点评】
本题属于跨学科融合的实际应用题，核心考查反比例函数在实际场景中的应用，易错点是直接把36℃对应的总时长5min作为答案，忽略题目要求的是从60℃开始降温的间隔时长，解题时需要仔细审题，明确所求为两个时刻的差值而非从t=0开始的总时长。
【难度系数】
0.6