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1. ［2024 眉山中考］某村的“智慧春耕”提高了生产效率，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从 2021 年的 670 千克增长到了 2023 年的 780 千克. 设该村水稻亩产量的年平均增长率为$x$，则可列方程为（
A.$670 × (1+2x)=780$
B.$670 × (1+x)^2=780$
C.$670 × (1+x^2)=780$
D.$670 × (1+x)=780$
B
）A.$670 × (1+2x)=780$
B.$670 × (1+x)^2=780$
C.$670 × (1+x^2)=780$
D.$670 × (1+x)=780$
答案
利用 2021 年的亩产量$×(1+$年平均增长率$)^2 =$2023 年的亩产量,即可得出关于 $x$ 的一元二次方程为$670×(1+x)^2=780.$
解析
【分析】
拿到这道题首先明确它是年平均增长率类的列方程应用题，我们可以顺着时间线逐步推导产量：首先已知2021年的亩产量是初始值670千克，年平均增长率为x，先算增长1年后也就是2022年的亩产量，应该是初始产量乘(1+增长率)，得到670(1+x)；接下来2023年是在2022年的产量基础上再以相同增长率x增长，所以2023年的产量就是2022年产量再乘一次(1+x)，也就是670(1+x)²，题目给出2023年亩产量为780千克，把这个等量关系对应起来就能列出正确方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据年平均增长率的计算逻辑分步推导：
1. 已知2021年水稻亩产量为670千克，年平均增长率为x，
则经过1年增长后，2022年的水稻亩产量为：$670×(1+x)$ 千克；
2. 2023年是在2022年的产量基础上继续按增长率x增长，
因此2023年的水稻亩产量为：$670×(1+x)×(1+x)=670×(1+x)^2$ 千克；
3. 结合题目给出的2023年亩产量为780千克的条件，可列方程：
$670×(1+x)^2=780$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程实际应用；年平均增长率模型
【点评】本题属于中考基础题型，核心考查连续两年增长的年平均增长率公式，易错点是混淆“两年总增长量”和“连续复利式增长”的区别，误选A选项，只要顺着年份逐年推导产量的逻辑，就能轻松避开错误得到正确结果。
【难度系数】0.9
拿到这道题首先明确它是年平均增长率类的列方程应用题，我们可以顺着时间线逐步推导产量：首先已知2021年的亩产量是初始值670千克，年平均增长率为x，先算增长1年后也就是2022年的亩产量，应该是初始产量乘(1+增长率)，得到670(1+x)；接下来2023年是在2022年的产量基础上再以相同增长率x增长，所以2023年的产量就是2022年产量再乘一次(1+x)，也就是670(1+x)²，题目给出2023年亩产量为780千克，把这个等量关系对应起来就能列出正确方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：根据年平均增长率的计算逻辑分步推导：
1. 已知2021年水稻亩产量为670千克，年平均增长率为x，
则经过1年增长后，2022年的水稻亩产量为：$670×(1+x)$ 千克；
2. 2023年是在2022年的产量基础上继续按增长率x增长，
因此2023年的水稻亩产量为：$670×(1+x)×(1+x)=670×(1+x)^2$ 千克；
3. 结合题目给出的2023年亩产量为780千克的条件，可列方程：
$670×(1+x)^2=780$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】一元二次方程实际应用；年平均增长率模型
【点评】本题属于中考基础题型，核心考查连续两年增长的年平均增长率公式，易错点是混淆“两年总增长量”和“连续复利式增长”的区别，误选A选项，只要顺着年份逐年推导产量的逻辑，就能轻松避开错误得到正确结果。
【难度系数】0.9
2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90^{ \circ }$,$AB=6\ {cm}$,$BC=3\ {cm}$,点$P$以$1\ {cm/s}$的速度从点$A$开始,沿边$AB$向点$B$移动,点$Q$以$2\ {cm/s}$的速度从点$B$开始,沿边$BC$向点$C$移动.当点$Q$移动到点$C$时停止,点$P$也随之停止移动,连接$PQ$.如果点$P$,$Q$分别从点$A$,$B$同时出发,要使$P$,$Q$两点之间的距离为$4\sqrt{2}\ {cm}$,那么需要经过
（
A.$\dfrac{2}{5}\ {s}$
B.$2\ {s}$
C.$\dfrac{6}{5}\ {s}$
D.$\dfrac{2}{5}\ {s}$或$2\ {s}$
（
A
）A.$\dfrac{2}{5}\ {s}$
B.$2\ {s}$
C.$\dfrac{6}{5}\ {s}$
D.$\dfrac{2}{5}\ {s}$或$2\ {s}$
答案
设点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发,$x$ s 后点 P,Q之间的距离为 $4\sqrt{2}\ \mathrm{cm},\therefore AP = x\ \mathrm{cm}, BQ = 2x\ \mathrm{cm}.$
$\therefore BP=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ PBQ$ 中,$BP^2 + BQ^2=PQ^2$,即$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$,解得 $x_1=\dfrac{2}{5}$,$x_2=2$(不合题意,舍去). $\therefore$ 要使 $P,Q$ 两点之间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,则需要经过$\dfrac{2}{5}\ \mathrm{s}.$
$\therefore BP=AB-AP=(6-x)\ \mathrm{cm}.$ 在 $\mathrm{Rt}△ PBQ$ 中,$BP^2 + BQ^2=PQ^2$,即$(6-x)^2+(2x)^2=(4\sqrt{2})^2$,解得 $x_1=\dfrac{2}{5}$,$x_2=2$(不合题意,舍去). $\therefore$ 要使 $P,Q$ 两点之间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$,则需要经过$\dfrac{2}{5}\ \mathrm{s}.$
解析
【分析】
这是直角三角形背景下的动点问题，解题思路如下：1. 先设运动时间为x秒，根据P、Q的运动速度，分别表示出AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP得到BP的长度；2. 因为∠B是直角，所以△PBQ是直角三角形，已知PQ的长度，直接用勾股定理建立关于x的一元二次方程；3. 注意题目给出的运动限制：点Q到C就停止，先算出Q的最长运动时间，筛选出符合取值范围的解，舍去不符合实际运动情况的根，最终得到正确的时间。
【解析】
设经过$x\ \mathrm{s}$后，P、Q两点之间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
根据点P的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，可得$AP = x\ \mathrm{cm}$，因此$BP = AB - AP = (6 - x)\ \mathrm{cm}$；
根据点Q的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，可得$BQ = 2x\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=3\ \mathrm{cm}$，点Q从B运动到C的总时长为$3÷2=1.5\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围是$0≤ x≤1.5$。
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理$BP^2 + BQ^2 = PQ^2$，代入已知条件得：
$(6-x)^2 + (2x)^2 = (4\sqrt{2})^2$
展开整理方程：
$36 -12x +x^2 +4x^2 = 32$
$5x^2 -12x +4 = 0$
因式分解求解得：$(5x-2)(x-2)=0$，即$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$。
因为x的取值范围是$0≤ x≤1.5$，$x=2＞1.5$，不符合运动限制，舍去该根。
因此符合条件的时间为$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$。
【答案】A
【知识点】勾股定理，一元二次方程实际应用，动点几何
【点评】本题的易错点是解出一元二次方程的两个根后，忽略点Q的运动边界限制，误将超出运动时长的$x=2$保留，错选D选项。解决这类动点几何问题时，一定要先明确动点的运动范围，对求出的方程的根进行实际意义的检验，排除不符合条件的解。
【难度系数】
0.5
这是直角三角形背景下的动点问题，解题思路如下：1. 先设运动时间为x秒，根据P、Q的运动速度，分别表示出AP、BQ的长度，再用AB的长度减去AP得到BP的长度；2. 因为∠B是直角，所以△PBQ是直角三角形，已知PQ的长度，直接用勾股定理建立关于x的一元二次方程；3. 注意题目给出的运动限制：点Q到C就停止，先算出Q的最长运动时间，筛选出符合取值范围的解，舍去不符合实际运动情况的根，最终得到正确的时间。
【解析】
设经过$x\ \mathrm{s}$后，P、Q两点之间的距离为$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$。
根据点P的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$，可得$AP = x\ \mathrm{cm}$，因此$BP = AB - AP = (6 - x)\ \mathrm{cm}$；
根据点Q的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，可得$BQ = 2x\ \mathrm{cm}$。
已知$BC=3\ \mathrm{cm}$，点Q从B运动到C的总时长为$3÷2=1.5\ \mathrm{s}$，因此x的取值范围是$0≤ x≤1.5$。
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理$BP^2 + BQ^2 = PQ^2$，代入已知条件得：
$(6-x)^2 + (2x)^2 = (4\sqrt{2})^2$
展开整理方程：
$36 -12x +x^2 +4x^2 = 32$
$5x^2 -12x +4 = 0$
因式分解求解得：$(5x-2)(x-2)=0$，即$x_1=\frac{2}{5}$，$x_2=2$。
因为x的取值范围是$0≤ x≤1.5$，$x=2＞1.5$，不符合运动限制，舍去该根。
因此符合条件的时间为$\frac{2}{5}\ \mathrm{s}$。
【答案】A
【知识点】勾股定理，一元二次方程实际应用，动点几何
【点评】本题的易错点是解出一元二次方程的两个根后，忽略点Q的运动边界限制，误将超出运动时长的$x=2$保留，错选D选项。解决这类动点几何问题时，一定要先明确动点的运动范围，对求出的方程的根进行实际意义的检验，排除不符合条件的解。
【难度系数】
0.5
3. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，那么它的周长为
24
.答案
设中间的偶数是 $x$,则另外两个偶数是 $x-2,x+2.$ 根据勾股定理,得$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$,解得 $x_1=8$,$x_2=0$(不合题意,舍去). $\therefore$ 这个直角三角形的三边长是6,8,10. $\therefore$ 该直角三角形的周长为 $6+8+10=24.$
解析
【分析】
首先梳理题目给出的两个核心条件：图形是直角三角形、三边长为三个连续偶数。首先思考连续偶数的特点：相邻两个偶数的差值为2，为了简化后续计算，优先选择设中间的偶数为未知数x，这样另外两个连续偶数自然就是x-2和x+2，这种设元方式可以让后续展开方程后二次项抵消，大幅降低计算复杂度。接下来，直角三角形中最长的边必然是斜边，因此三个数里最大的x+2就是斜边，剩下两个较小的数是直角边，直接套用勾股定理列出方程，解出方程的根之后，结合三角形边长为正的实际要求舍去不符合题意的无效解，得到三边长度后相加就能算出最终周长。
【解析】
解：设三个连续偶数中中间的数为x，则另外两个边长分别为x-2、x+2，其中最大的x+2是该直角三角形的斜边。
根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(x-2)^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开方程得：
$x^2 -4x +4 +x^2 = x^2 +4x +4$
整理化简后得：
$x^2 -8x = 0$
因式分解得：
$x(x-8)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
由于三角形的边长不能为0，x=0不符合实际意义，直接舍去。
因此该直角三角形的三边长分别为$8-2=6$、8、$8+2=10$，
周长为$6+8+10=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；一元二次方程应用；偶数性质
【点评】
本题是直角三角形结合代数方程的基础题型，核心技巧是通过设中间的连续偶数为未知数简化运算，解题时要先明确最长边对应斜边才能正确列出勾股定理等式，同时要对一元二次方程的解做实际意义校验，避免保留边长为0这类不符合要求的无效解。
【难度系数】
0.7
首先梳理题目给出的两个核心条件：图形是直角三角形、三边长为三个连续偶数。首先思考连续偶数的特点：相邻两个偶数的差值为2，为了简化后续计算，优先选择设中间的偶数为未知数x，这样另外两个连续偶数自然就是x-2和x+2，这种设元方式可以让后续展开方程后二次项抵消，大幅降低计算复杂度。接下来，直角三角形中最长的边必然是斜边，因此三个数里最大的x+2就是斜边，剩下两个较小的数是直角边，直接套用勾股定理列出方程，解出方程的根之后，结合三角形边长为正的实际要求舍去不符合题意的无效解，得到三边长度后相加就能算出最终周长。
【解析】
解：设三个连续偶数中中间的数为x，则另外两个边长分别为x-2、x+2，其中最大的x+2是该直角三角形的斜边。
根据勾股定理，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可列方程：
$(x-2)^2 + x^2 = (x+2)^2$
展开方程得：
$x^2 -4x +4 +x^2 = x^2 +4x +4$
整理化简后得：
$x^2 -8x = 0$
因式分解得：
$x(x-8)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=0$。
由于三角形的边长不能为0，x=0不符合实际意义，直接舍去。
因此该直角三角形的三边长分别为$8-2=6$、8、$8+2=10$，
周长为$6+8+10=24$。
【答案】
24
【知识点】
勾股定理；一元二次方程应用；偶数性质
【点评】
本题是直角三角形结合代数方程的基础题型，核心技巧是通过设中间的连续偶数为未知数简化运算，解题时要先明确最长边对应斜边才能正确列出勾股定理等式，同时要对一元二次方程的解做实际意义校验，避免保留边长为0这类不符合要求的无效解。
【难度系数】
0.7
4. 某街道居民积极参加“创文明社区”活动,据了解,该街道居民人口共有7.5万人,街道划分为A,B两个社区,B社区居民的人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍.
(1) 问:A社区居民人口至少有多少万人?
(2) 街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”了解情况,发现:A社区有1.2万人了解,B社区有1万人了解.为了提高了解率,街道工作人员用两个月的时间加强宣传,使A社区了解人数的月平均增长率为$m\%$,B社区的了解人数第一个月增长了$m\%$,第二个月增长了$2m\%$,两个月后,街道居民的了解率达到76%,求$m$的值.
(1) 问:A社区居民人口至少有多少万人?
(2) 街道工作人员调查A,B两个社区居民对“社会主义核心价值观”了解情况,发现:A社区有1.2万人了解,B社区有1万人了解.为了提高了解率,街道工作人员用两个月的时间加强宣传,使A社区了解人数的月平均增长率为$m\%$,B社区的了解人数第一个月增长了$m\%$,第二个月增长了$2m\%$,两个月后,街道居民的了解率达到76%,求$m$的值.
答案
(1) 设 A 社区居民人口有 $x$ 万人,则 B 社区居民人口有$(7.5-x)$万人. 依题意,得 $7.5-x≤2x$,解得 $x≥2.5$,即 A社区居民人口至少有 2.5 万人.
(2) 依题意,得 $1.2(1+m\%)^2+1×(1+m\%)×(1+2m\%)=7.5×76\%$. 设$m\%=a$,方程可化为 $1.2(1+a)^2+(1+a)(1+2a)=5.7.$化简,得 $32a^2+54a-35=0$,解得 $a=0.5$ 或 $a=-\dfrac{35}{16}$(不合题意,舍去). $\therefore m=50.$
(2) 依题意,得 $1.2(1+m\%)^2+1×(1+m\%)×(1+2m\%)=7.5×76\%$. 设$m\%=a$,方程可化为 $1.2(1+a)^2+(1+a)(1+2a)=5.7.$化简,得 $32a^2+54a-35=0$,解得 $a=0.5$ 或 $a=-\dfrac{35}{16}$(不合题意,舍去). $\therefore m=50.$
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问是一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设A社区的人口数量为未知数，用总人数表示出B社区的人口数，再根据题干给出的“B社区居民人口数量不超过A社区的2倍”这个不等关系列出不等式，求解后就能得到A社区人口的最小值。第二问是增长率类的一元二次方程应用，首先要分别表示出两个月后A、B两个社区的了解人数：A社区连续两个月的月平均增长率都是m%，所以最终了解人数是初始了解人数乘(1+m%)的平方；B社区第一个月增长m%、第二个月在上月基础上增长2m%，所以最终了解人数是初始了解人数乘(1+m%)再乘(1+2m%)，两者相加等于总居民数乘最终了解率76%，之后用换元法把m%替换为新的未知数简化方程，解出一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，就能得到m的值。
【解析】
(1) 设A社区居民人口有$x$万人，则B社区居民人口为$(7.5 - x)$万人。
根据题意“B社区居民的人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”，可列不等式：
$7.5 - x ≤ 2x$
移项整理得：$3x ≥ 7.5$
解得：$x ≥ 2.5$
即A社区居民人口至少有2.5万人。
(2) 根据两个月后街道总了解人数 = 街道总人数 × 了解率76%，可列方程：
$1.2(1+m\%)^2 + 1×(1+m\%)(1+2m\%) = 7.5×76\%$
令$a = m\%$，代入方程化简：
$1.2(1+a)^2 + (1+a)(1+2a) = 5.7$
展开并合并同类项得：$3.2a^2 +5.4a -3.5 =0$，两边同乘10消去小数得$32a^2 +54a -35=0$
解该一元二次方程，得$a_1=0.5$，$a_2=-\frac{35}{16}$，增长率不能为负，舍去负根。
因此$a = m\% =0.5$，即$m=50$。
【答案】
(1) A社区居民人口至少有2.5万人；(2) m的值为50
【知识点】
一元一次不等式应用，一元二次方程增长率问题
【点评】
本题结合社区创文的实际场景命题，第一问难度较低，核心是准确识别“不超过”对应的不等号，求解不等式得到最小值；第二问需要注意两个社区的增长模式存在差异，不要混淆B社区两个月不同的增长率，通过换元法可以有效简化含百分数的方程计算，最后要结合实际意义舍去负数解，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，第一问是一元一次不等式的实际应用，解题思路是先设A社区的人口数量为未知数，用总人数表示出B社区的人口数，再根据题干给出的“B社区居民人口数量不超过A社区的2倍”这个不等关系列出不等式，求解后就能得到A社区人口的最小值。第二问是增长率类的一元二次方程应用，首先要分别表示出两个月后A、B两个社区的了解人数：A社区连续两个月的月平均增长率都是m%，所以最终了解人数是初始了解人数乘(1+m%)的平方；B社区第一个月增长m%、第二个月在上月基础上增长2m%，所以最终了解人数是初始了解人数乘(1+m%)再乘(1+2m%)，两者相加等于总居民数乘最终了解率76%，之后用换元法把m%替换为新的未知数简化方程，解出一元二次方程后舍去不符合实际意义的负根，就能得到m的值。
【解析】
(1) 设A社区居民人口有$x$万人，则B社区居民人口为$(7.5 - x)$万人。
根据题意“B社区居民的人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”，可列不等式：
$7.5 - x ≤ 2x$
移项整理得：$3x ≥ 7.5$
解得：$x ≥ 2.5$
即A社区居民人口至少有2.5万人。
(2) 根据两个月后街道总了解人数 = 街道总人数 × 了解率76%，可列方程：
$1.2(1+m\%)^2 + 1×(1+m\%)(1+2m\%) = 7.5×76\%$
令$a = m\%$，代入方程化简：
$1.2(1+a)^2 + (1+a)(1+2a) = 5.7$
展开并合并同类项得：$3.2a^2 +5.4a -3.5 =0$，两边同乘10消去小数得$32a^2 +54a -35=0$
解该一元二次方程，得$a_1=0.5$，$a_2=-\frac{35}{16}$，增长率不能为负，舍去负根。
因此$a = m\% =0.5$，即$m=50$。
【答案】
(1) A社区居民人口至少有2.5万人；(2) m的值为50
【知识点】
一元一次不等式应用，一元二次方程增长率问题
【点评】
本题结合社区创文的实际场景命题，第一问难度较低，核心是准确识别“不超过”对应的不等号，求解不等式得到最小值；第二问需要注意两个社区的增长模式存在差异，不要混淆B社区两个月不同的增长率，通过换元法可以有效简化含百分数的方程计算，最后要结合实际意义舍去负数解，避免出现不符合现实的结果。
【难度系数】
0.6
5. 某校“研学”活动小组在一次野外实践时,发现一种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总个数是57,则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（
A.8
B.7
C.6
D.5
B
）A.8
B.7
C.6
D.5
答案
设这种植物每个支干长出的小分支的个数是 $x.$ 由题意,得 $1+x+x^2=57.$ 整理,得 $x^2+x-56=0$,解得$x_1=7,x_2=-8$(不合题意,舍去). $\therefore$ 这种植物每个支干长出的小分支的个数是 7.
解析
【分析】
这是典型的一元二次方程实际应用的分支增长类问题，解题时首先要明确各部分的数量关系：首先主干固定为1个，设每个支干长出的小分支个数为x，那么主干长出的支干总数就是x个，每个支干再长出x个小分支，因此小分支的总数量为x·x = x²个。题目给出三者总个数为57，就可以据此列出方程，求解一元二次方程后，结合“分支个数不能为负数”的实际意义舍去不符合题意的负根，就能得到正确结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支的个数是$x$。
根据主干、支干、小分支总个数为57，可列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理方程得：
$x^2 + x - 56 = 0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-8$
因为小分支的个数是正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去该根。
因此每个支干长出的小分支的个数是7。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程应用的经典基础题型，核心考点是梳理清楚主干、支干、小分支三者的数量关系，不少同学容易遗漏主干的1个导致列错方程，同时要牢记实际场景下的未知数取值必须符合现实逻辑，要主动舍去无意义的负根。
【难度系数】
0.7
这是典型的一元二次方程实际应用的分支增长类问题，解题时首先要明确各部分的数量关系：首先主干固定为1个，设每个支干长出的小分支个数为x，那么主干长出的支干总数就是x个，每个支干再长出x个小分支，因此小分支的总数量为x·x = x²个。题目给出三者总个数为57，就可以据此列出方程，求解一元二次方程后，结合“分支个数不能为负数”的实际意义舍去不符合题意的负根，就能得到正确结果。
【解析】
解：设这种植物每个支干长出的小分支的个数是$x$。
根据主干、支干、小分支总个数为57，可列方程：
$1 + x + x^2 = 57$
整理方程得：
$x^2 + x - 56 = 0$
解得：$x_1=7$，$x_2=-8$
因为小分支的个数是正整数，$x=-8$不符合实际意义，舍去该根。
因此每个支干长出的小分支的个数是7。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程实际应用；一元二次方程求解；实际问题验根
【点评】
本题是一元二次方程应用的经典基础题型，核心考点是梳理清楚主干、支干、小分支三者的数量关系，不少同学容易遗漏主干的1个导致列错方程，同时要牢记实际场景下的未知数取值必须符合现实逻辑，要主动舍去无意义的负根。
【难度系数】
0.7
6. [2024 绵阳中考]超市销售某种礼盒,该礼盒的原价为 500 元/个. 因销量持续攀升,商家在 3 月提价20%后发现销量锐减,于是经过核算决定在 3 月售价的基础上,4,5 月按照相同的降价率r连续降价. 已知 5 月礼盒的售价为 486 元/个,则$r=$
10%
.答案
根据题意,得 $500(1+20\%)(1-r)^2=486$,解得$r_1=0.1,r_2=1.9$(不合题意,舍去). $\therefore r=10\%.$
解析
【分析】
我们可以顺着价格的变化逻辑逐步推导：首先先算出3月提价20%之后的售价，提价20%就是在原价500元的基础上乘以(1+20%)，得到3月的售价后，再结合连续两次同比例降价的规律：连续两次降价的最终售价=降价前的基数×(1-降价率)²，题目已经给出5月最终售价为486元，据此就能列出关于r的一元二次方程，解出方程的两个根后，结合降价率的实际意义（降价率必须在0到1之间，不可能超过100%），舍去不符合实际的无效根，就能得到正确结果。
【解析】
1. 计算3月提价后的售价：
礼盒原价为500元/个，3月提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%)=600$ 元/个
2. 列关于降价率r的方程：
4、5月在3月售价的基础上以相同降价率r连续降价两次，5月售价为486元，因此可得方程：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程并验证根的合理性：
方程两边同时除以600，得：$(1-r)^2=0.81$
开平方得：$1-r=\pm0.9$
当$1-r=0.9$时，解得$r=0.1$，符合降价率的实际范围；
当$1-r=-0.9$时，解得$r=1.9$，降价率为190%不符合实际销售逻辑，舍去该根。
因此最终得到$r=10\%$。
【答案】10%
【知识点】
一元二次方程实际应用，连续变化率问题
【点评】
本题是中考非常典型的基础销售类百分率题型，核心易错点是不能直接用原价500作为两次降价的基数，要先算出提价后的价格作为降价的基数，另外很多同学容易忽略对解出的根做实际意义校验，忘记舍去大于1的无效根，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.7
我们可以顺着价格的变化逻辑逐步推导：首先先算出3月提价20%之后的售价，提价20%就是在原价500元的基础上乘以(1+20%)，得到3月的售价后，再结合连续两次同比例降价的规律：连续两次降价的最终售价=降价前的基数×(1-降价率)²，题目已经给出5月最终售价为486元，据此就能列出关于r的一元二次方程，解出方程的两个根后，结合降价率的实际意义（降价率必须在0到1之间，不可能超过100%），舍去不符合实际的无效根，就能得到正确结果。
【解析】
1. 计算3月提价后的售价：
礼盒原价为500元/个，3月提价20%，因此3月售价为：
$500×(1+20\%)=600$ 元/个
2. 列关于降价率r的方程：
4、5月在3月售价的基础上以相同降价率r连续降价两次，5月售价为486元，因此可得方程：
$600(1-r)^2=486$
3. 解方程并验证根的合理性：
方程两边同时除以600，得：$(1-r)^2=0.81$
开平方得：$1-r=\pm0.9$
当$1-r=0.9$时，解得$r=0.1$，符合降价率的实际范围；
当$1-r=-0.9$时，解得$r=1.9$，降价率为190%不符合实际销售逻辑，舍去该根。
因此最终得到$r=10\%$。
【答案】10%
【知识点】
一元二次方程实际应用，连续变化率问题
【点评】
本题是中考非常典型的基础销售类百分率题型，核心易错点是不能直接用原价500作为两次降价的基数，要先算出提价后的价格作为降价的基数，另外很多同学容易忽略对解出的根做实际意义校验，忘记舍去大于1的无效根，属于必须掌握的基础考点。
【难度系数】
0.7
