1. 对于任意实数 $a,b$, 定义新运算: $a※b=$$ab^2 - b$. 若关于 $x$ 的方程 $1※x = k$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是 （）

A.$k＞-\dfrac{1}{4}$
B.$k＜-\dfrac{1}{4}$
C.$k＞-\dfrac{1}{4}$ 且 $k\ne0$
D.$k≥-\dfrac{1}{4}$ 且 $k\ne0$

1. A 解析:由题意,得方程$1※x=k$ 即为$x^2 - x = k$. 因为该方程有两个不相等的实数根,所以$(-1)^2 - 4×1×(-k)＞0$,解得$k＞-\dfrac{1}{4}$. 故$k$的取值范围是$k＞-\dfrac{1}{4}$.

2. 定义:一次函数 $y=ax+b$ 的特征数为 $[a$ ,$b]$. 若一次函数 $y=-2x+m$ 的图象向上平移 3 个单位长度后与反比例函数 $y=-\dfrac{3}{x}$ 的图象交于 A,B 两点,且点 A,B 关于原点对称,则一次函数 $y=-2x+m$ 的特征数为（）

A.$[2,3]$
B.$[2,-3]$
C.$[-2,3]$
D.$[-2,-3]$

2. D 解析:由题意,得直线$AB$的函数表达式为$y=-2x+m+3$. 因为点$A,B$关于原点对称,所以直线$AB$经过原点,所以$m=-3$,所以一次函数$y=-2x+m$的特征数为$[-2,-3]$.

3. 对于任意实数 $a,b$ , 定义一种运算: $a \bigotimes b=$$a^{2}+b^{2}-ab$. 若 $x \bigotimes (x-1)=3$, 则 $x$ 的值为.

3. 2或$-1$ 解析:由题意,得$x \bigotimes (x-1)=3$即为$x^2+(x-1)^2 - x(x-1)=3$. 整理,得$x^2 - x - 2=0$,解得$x_1=2$,$x_2=-1$. 故$x$的值为2或$-1$.

4. (2026·江苏淮安期中)我们知道,两点之间线段最短,因此,连接两点间线段的长度叫作两点间的距离;同理,连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,因此,直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫作点到直线的距离. 类似地,连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中,最短线段的长度,叫作点到曲线的距离. 依此定义,如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,1)$到以原点$O$为圆心,1为半径的圆的距离为.

4. $\sqrt{5}-1$ 解析:连接$OA$,交$\odot O$于点$B$,则线段$AB$的长度即为点$A(2,1)$到以原点$O$为圆心,1为半径的圆的距离. 因为$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$,$OB=1$,所以$AB=OA-OB=\sqrt{5}-1$,所以点$A$到$\odot O$的距离为$\sqrt{5}-1$.

5. 在平面直角坐标系中,$O$ 为原点,$\odot O$ 的半径为 1. 对于点 $A$ 和线段 $BC$,给出如下定义:若将线段 $BC$ 绕点 $A$ 旋转可以得到$\odot O$ 的弦$B'C'$($B',C'$ 分别是 $B,C$ 的对应点),则称线段 $BC$ 是 $\odot O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”.
(1) 如图,点 $A,B_1,C_1,B_2,C_2,B_3,C_3$ 的横、纵坐标都是整数. 在线段 $B_1C_1,B_2C_2$,$B_3C_3$ 中,$\odot O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是；
(2) $△ ABC$ 是边长为 1 的等边三角形,点$A(0,t)$,其中 $t≠0$. 若 $BC$ 是$\odot O$ 的以点$A$ 为中心的“关联线段”,求 $t$ 的值；
(3) 在$△ ABC$ 中,$AB=1,AC=2$. 若 $BC$ 是$\odot O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”,直接写出 $OA$ 长的最小值和最大值,以及相应的 $BC$ 长.

5. (1) $B_2C_2$
(2) 因为$△ ABC$是边长为1的等边三角形,所以点$B,C$在以点$A$为圆心,1为半径的$\odot A$上. 因为$BC$是$\odot O$的以点$A$为中心的“关联线段”,所以点$B,C$绕点$A$旋转后的对应点$B',C'$是$\odot A$和$\odot O$的交点. 如图①,不妨设点$A$在$x$轴上方,点$B'$在点$C'$左侧,$OA$与$B'C'$的交点为$D$,连接$OB',OC',AB',AC'$,则$OB'=OC'=AB'=AC'=1$,所以四边形$AB'OC'$是菱形,所以$AD=\dfrac{1}{2}OA$,$OA⊥ B'C'$,所以$∠ ADB'=90°$. 因为$∠ AB'C'=60°$,所以$∠ B'AD=90°-∠ AB'C'=30°$,所以$B'D=\dfrac{1}{2}AB'=\dfrac{1}{2}$,所以$AD=\sqrt{AB'^2-B'D^2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,所以$OA=2AD=\sqrt{3}$,所以$A(0,\sqrt{3})$;当点$A$在$x$轴下方时,同理可得$A(0,-\sqrt{3})$. 综上所述,$t$的值为$\pm\sqrt{3}$.

(3) 如图②,由题意,得$AB'=AB=1$,$AC'=AC=2$,$OB'=OC'=1$. 如图③,当$A,O,C'$三点共线时,$OA$的长取最小值,此时$OA=AC'-OC'=1$,则$OA=OB'=OC'$. 因为点$B',C'$在$\odot O$上,所以$AC'$为$\odot O$的直径,所以$∠ AB'C'=90°$,所以$BC=B'C'=\sqrt{AC'^2-AB'^2}=\sqrt{3}$;如图④,当$A,O,B'$三点共线时,$OA$的长取最大值,此时$OA=AB'+OB'=2$,所以$OA=AC'$. 过点$A$作$AE⊥ OC'$于点$E$,过点$C'$作$C'F⊥ OA$于点$F$,则$∠ OEA=∠ OFC'=∠ B'FC'=90°$,$OE=\dfrac{1}{2}OC'=\dfrac{1}{2}$,所以$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$. 因为$S_{△ AOC'}=\dfrac{1}{2}OA· C'F=\dfrac{1}{2}OC'· AE$,所以$C'F=\dfrac{OC'· AE}{OA}=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$,所以$OF=\sqrt{OC'^2-C'F^2}=\dfrac{1}{4}$,所以$B'F=OB'-OF=\dfrac{3}{4}$,所以$BC=B'C'=\sqrt{B'F^2+C'F^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$. 综上所述,$OA$长的最小值为1,相应的$BC$长为$\sqrt{3}$;$OA$长的最大值为2,相应的$BC$长为$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.