登录
1. 求$|x-4|+|x+2|$的最小值.
答案
由绝对值的几何意义可知|x-4|+|x+2|表示数轴上表示数x的点到表示4与-2的两点的距离和，根据数轴可得当-2≤x≤4时，|x-4|+|x+2|有最小值，最小值为6.
2. 求$|x-3|+|x-2|+|x+1|$的最小值.
答案
由绝对值的几何意义可知|x-3|+|x-2|+|x+1|表示数轴上表示数x的点到表示3,2,-1的点的距离之和，根据数轴可得当x=2时，|x-3|+|x-2|+|x+1|有最小值为4.
3. (1)若$|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1| ≥ a$对任意有理数$x$都成立,则$a$的最大值为________.
(2)求$|x-1|+|x-2|+\dots+|x-101|$的最小值.
(2)求$|x-1|+|x-2|+\dots+|x-101|$的最小值.
答案
(1)6 【解析】当0≤x≤2时，|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|有最小值6，所以|x-3|+|x-2|+|x|+|x+1|≥a对任意的有理数x都成立，所以a≤6，所以a的最大值是6.
(2)|x-1|+|x-2|+…+|x-101|可以看成是表示数x的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时，要想和为最小值，x取使最中间一项为0的值.因为|x-1|+|x-2|+…+|x-101|最中间一项是|x-51|，所以|x-51|=0，即x=51.当x=51时，|x-1|+|x-2|+…+|x-101|=50+49+…+0+1+2+…+50 = [(1+50)×50]÷2×2=2 550.故|x-1|+|x-2|+…+|x-101|的最小值为2 550.
(2)|x-1|+|x-2|+…+|x-101|可以看成是表示数x的点到各点的距离之和.在奇数个绝对值相加时，要想和为最小值，x取使最中间一项为0的值.因为|x-1|+|x-2|+…+|x-101|最中间一项是|x-51|，所以|x-51|=0，即x=51.当x=51时，|x-1|+|x-2|+…+|x-101|=50+49+…+0+1+2+…+50 = [(1+50)×50]÷2×2=2 550.故|x-1|+|x-2|+…+|x-101|的最小值为2 550.
