5. (2024·淮安淮安区期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $CD ⊥ AB$, 垂足为 $D$, $BE ⊥ AC$, 垂足为 $E$, 连接 $DE$, 点 $G$, $F$ 分别是 $BC$, $DE$ 的中点. 求证: $GF ⊥ DE$.

连接DG,EG.
∵CD⊥AB,点G是BC的中点,
∴在Rt△BCD中,DG=$\frac{1}{2}$BC.
同理,EG=$\frac{1}{2}$BC,
∴DG=EG.
又F是DE的中点,
∴GF⊥DE.
归纳总结 本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质.熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,是解题的关键.

6. 如图,点 D, E 在$△ ABC$的边 BC 上,$BD=$$AD=DE=AE=CE.$
(1)求$∠ DAE$的度数;
(2)求证:$△ ABC$是等腰三角形.

(1)
∵AD=DE=AE,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°.
(2)
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=∠AED=60°.
∵BD=AD,
∴∠B=∠BAD.
∵∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠B=30°.
同理,∠C=30°,
∴∠B=∠C,
∴△ABC是等腰三角形.

7. (2025·徐州邳州期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD ⊥$ $BC,E$ 是 $AB$ 的中点,$DG$ 垂直平分 $CE$.
(1)求证:$DC=BE$;
(2)若 $∠ B=50°$, 求 $∠ AEC$ 的度数.

(1)
∵DG垂直平分CE,
∴DC=DE.
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°.
∵E是AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB,
∴DE=BE,
∴DC=BE.
(2)由(1)知DC=DE=BE,
∴∠BDE=∠B=50°,∠DCE=∠DEC.
∵∠BDE=∠DCE+∠DEC,
∴∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BDE=25°,
∴∠AEC=∠B+∠DCE=50°+25°=75°.

8. (2024·南通启东期中) 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AB = AC$, $∠ BAC = 120°$, $AD ⊥ BC$, 垂足为 $G$, 且 $AD = AB$, $∠ EDF = 60°$, 其两边分别交边 $AB,AC$ 于点 $E,F$. 求证:
(1) $△ ABD$ 是等边三角形;
(2) $BE = AF$.

(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°,
又AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠ADB=∠EDF,
∴∠ADB−∠ADE=∠EDF−∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE与△ADF中,$\begin{cases} ∠DBE=∠DAF=60°, \\ BD=AD, \\ ∠BDE=∠ADF, \end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.
思路引导 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质.熟练掌握等腰三角形的性质,并能进行推理论证是解决问题的关键.