【例1】［全国初中数学竞赛(湖北武汉)预赛]如图，点 A 在 DE 上，点 F 在 AB 上，且 $AC=CE$，$∠ 1=∠ 2=∠ 3$，则 DE 的长等于().


A.DC
B.BC
C.AB
D.$AE+AC$
解析：$\because ∠ 1+∠ D=∠ 2+∠ B$,
又$∠ 1=∠ 2, \therefore ∠ D=∠ B$.
又$∠ 2=∠ 3, \therefore ∠ ACB=∠ ECD$.
又$AC=EC, \therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DE=AB$.
答案：C

解析：$\because ∠ 1+∠ D=∠ 2+∠ B$,
又$∠ 1=∠ 2, \therefore ∠ D=∠ B$.
又$∠ 2=∠ 3, \therefore ∠ ACB=∠ ECD$.
又$AC=EC, \therefore △ ABC ≌ △ EDC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore DE=AB$.
答案：C

【例2】（第十七届江苏省初中数学竞赛）如图，在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 平分 $∠ BAD$，$AB＞AD$，下列结论中正确的是().


A.$AB-AD＞CB-CD$
B.$AB-AD=CB-CD$
C.$AB-AD＜CB-CD$
D.$AB-AD$ 与 $CB-CD$ 的大小关系不确定
解析：如图，在 $AB$ 上截取 $AE=AD$，连接$EC$，利用角平分线翻折构造全等三角形，即 $△ AEC$ $≌ △ ADC$，得 $EC=CD$，

在 $△ BCE$ 中，运用三边关系比较相关线段的大小，即在 $△ BEC$ 中，$BE＞CB-EC$，则 $AB-AD＞CB-CD$.
答案：A

解析：如图，在 $AB$ 上截取 $AE=AD$，连接$EC$，利用角平分线翻折构造全等三角形，即 $△ AEC$ $≌ △ ADC$，得 $EC=CD$，

在 $△ BCE$ 中，运用三边关系比较相关线段的大小，即在 $△ BEC$ 中，$BE＞CB-EC$，则 $AB-AD＞CB-CD$.
答案：A

1. (全国初中数学联赛)在$△ ABC$中,已知$AC=5$,中线$AD=4$,则边$AB$的取值范围是().

A.$1＜ AB＜ 9$
B.$3＜ AB＜ 13$
C.$5＜ AB＜ 13$
D.$9＜ AB＜ 13$

1. B [解析]延长 AD 到点 E,使 DE = AD,连接 EC,则
$△ ABD≌△ ECD,\therefore AB=EC.$
$\because AD=4,\therefore AE=AD+DE=8.$ 在$△ ACE$ 中,$AE-AC＜CE＜AE+AC$,即$8-5＜CE＜8+5$,
$\therefore 3＜CE＜13,\therefore 3＜AB＜13.$ 故选 B.

2. [全国初中数学竞赛(湖北荆州)预赛]在正方形$ABCD$中，$∠ MAN=45°$，$∠ MAN$绕点$A$顺时针旋转，它的两边分别交$CB$，$DC$(或它们的延长线)于点$M$，$N$。如果$∠ MAN$在如图(1)所示的位置时，有$BM+DN=MN$成立(不必证明)。请问当$∠ MAN$绕点$A$旋转到如图(2)所示的位置时，线段$BM$，$DN$和$MN$之间又有怎样的数量关系？请说明理由。

2. $DN-BM=MN$. 理由如下：
如图,在 DC 上截取$DE=BM$,连接 AE.

在$△ ADE$ 和$△ ABM$ 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABM, \\ DE=BM, \end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ ABM(\mathrm{SAS}),$
$\therefore AE=AM,∠1=∠4.$
$\because ∠1+∠2=45°,\therefore ∠2+∠4=45°,$
$\therefore ∠3=45°,\therefore ∠MAN=∠EAN.$
在$△ AEN$ 和$△ AMN$ 中,$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAN=∠MAN, \\ AN=AN, \end{cases}$
$\therefore △ AEN≌△ AMN(\mathrm{SAS}),\therefore MN=EN,$
$\therefore MN=EN=DN-DE=DN-BM.$