24. (6分)请你说明对任意正整数n,式子$n(n+5)-(n+2)(n-3)$的值必定能被6整除.

24.解:$n(n+5)-(n+2)(n-3)=n^{2}+5n-n^{2}+3n-2n+6=6(n+1)$,故原式的值必定能被6整除.

25. (8分)已知$|x-y+3|+(2x+y)^{2}=0$,求$(x^{2}-2y^{2})(x+2y)-2xy(x-y)$的值.

25.解:$(x^{2}-2y^{2})(x+2y)-2xy(x-y)=x^{3}+2x^{2}y-2xy^{2}-4y^{3}-2x^{2}y+2xy^{2}=x^{3}-4y^{3}.$
因为$|x-y+3|+(2x+y)^{2}=0$,所以$\begin{cases} x-y+3=0, \\2x+y=0, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=-1, \\y=2, \end{cases}$所以原式$=(-1)^{3}-4×2^{3}=-33.$

26. (11分)如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.

(1)按要求填空:
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于.
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积.
方法1:.
方法2:.
③观察图②,请写出代数式$(m+n)^{2},(m-n)^{2},mn$这三个代数式之间的等量关系:.
(2)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:若$|m+n-6|+|mn-4|=0$,求$(m-n)^{2}$的值.
(3)实际上有许多代数恒等式都可以用图形的面积来表示,如图③,它表示的等式为.

26.解:(1)①阴影部分的正方形边长是$m-n$.
②方法1:阴影部分的面积就等于边长为$(m-n)$的小正方形的面积,即$(m-n)^{2}.$
方法2:边长为$(m+n)$的大正方形的面积减去4个长为$m$、宽为$n$的长方形面积,即$(m+n)^{2}-4mn.$
③$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn.$
(2)因为$|m+n-6|+|mn-4|=0$,所以$m+n-6=0,mn-4=0$,所以$m+n=6,mn=4.$
由(1)可得$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn$,所以$(m-n)^{2}=(m+n)^{2}-4mn=6^{2}-4×4=20$,所以$(m-n)^{2}=20.$
(3)根据大长方形面积等于长乘宽有:$(2m+n)(m+n)$,或等于2个边长为$m$的正方形、1个边长为$n$的正方形加上3个长为$m$、宽为$n$的小长方形面积和有:$2m^{2}+3mn+n^{2}$,故可得$(2m+n)(m+n)=2m^{2}+3mn+n^{2}.$