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10. 以“万”为单位，准确值5万与近似值5万最多相差
5 000
。答案
10. 5 000 解析:因为近似值为5万的数大于或等于45 000,小于54 999,所以准确值5万与近似值5万最多相差$50 000－45 000＝5 000$．
11. 8位裁判给一位运动员打分，每个人给的分数都是整数，去掉一个最高分，再去掉一个最低分，其余得分的平均数作为该运动员的最终得分，且当用四舍五入取近似值的方法精确到十分位时，该运动员得8.3分。若精确到百分位，则该运动员的得分是
8.33
分。答案
11. 8.33 解析:由题意,得该运动员得分去掉一个最高分和一个最低分后的总分大于或等于$8.25×6＝49.5$(分),小于$8.35×6＝50.1$(分)．又裁判的打分都是整数,所以该运动员得分去掉一个最高分和一个最低分后的总分为50分,即该运动员的得分精确到百分位是$50÷6≈8.33$(分)．
12. 对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$(x)$，即当$n$为非负整数时，若$n-0.5≤ x＜ n+0.5$，则$(x)=n$. 例如: $(1.34)=1$，$(4.86)=5$. 若$(0.5x-1)=7$，则实数$x$的取值范围为________.
答案
12. $15≤x＜17$ 解析:由题意,得$6.5≤0.5x－1＜7.5$,解得$15≤x＜17$. 则x的取值范围为$15≤x＜17$．
13. (2026·江苏苏州期末)把一个四位数$x$先四舍五入到十位，所得的数为$y$，再将$y$四舍五入到百位，所得的数为$z$，最后将$z$四舍五入到千位，所得的数恰好为$3× 10^3$.
(1) 数$x$的最小值和最大值分别是什么？
(2) 用数$x$的最大值减数$x$的最小值，得到的差用科学记数法表示是什么(结果精确到千位)？
(1) 数$x$的最小值和最大值分别是什么？
(2) 用数$x$的最大值减数$x$的最小值，得到的差用科学记数法表示是什么(结果精确到千位)？
答案
13. (1) 由题意,得z的取值范围为$2.5×10^{3}≤z≤3.4×10^{3}$. 当z取最小值,即$z＝2.5×10^{3}$时,$y≥2.45×10^{3}$,即y的最小值为$2.45×10^{3}$. 同理,得x的最小值为2 445. 当z取最大值,即$z＝3.4×10^{3}$时,$y≤3.44×10^{3}$,即y的最大值为$3.44×10^{3}$. 同理,得x的最大值为3 444. 综上,数x的最小值和最大值分别是2 445和3 444.
(2) 由(1),得数x的最大值是3 444,数x的最小值是2 445. 所以$3 444－2 445＝999≈1×10^{3}$．
(2) 由(1),得数x的最大值是3 444,数x的最小值是2 445. 所以$3 444－2 445＝999≈1×10^{3}$．
14. 已知一个全长为 400 m 的标准半圆式跑道（由两个半圆和两条线段组成），每条跑道的宽是 1.22 m. 现在要在该跑道上进行 200 m 赛跑，若终点在同一直线上，则第一道运动员和第四道运动员的起跑线应相差
（$π$取 3.14，结果精确到 0.1 m）
11.5
m.（$π$取 3.14，结果精确到 0.1 m）
答案
14. 11.5 解析:设第一跑道半圆部分的半径为r m. 因为每条跑道的宽为1.22 m,所以第四跑道半圆部分的半径为$r＋3×1.22＝(r＋3.66)m$. 因为赛跑路程为200 m,且终点在同一直线上,所以第一跑道的运动员与第四跑道的运动员起跑线应相差$\frac{1}{2}×2π×(r＋3.66)－\frac{1}{2}×2πr＝3.66π≈11.5$(m)．
15. 新素养 应用意识 公元3世纪，我国数学家就能利用近似公式$\sqrt{a^2 + r} \approx a + \frac{r}{2a}$（$a,r$为正整数，且$a$取尽可能大的正整数），得到无理数的近似值. 例如：$\sqrt{2}$可化为$\sqrt{1^2 +1}$，再由近似公式，得$\sqrt{1^2 +1} \approx1 + \frac{1}{2×1}=\frac{3}{2}=1.5$.
（1）利用上述公式，估算$\sqrt{17}$的近似值；
（2）已知正整数$m,n$满足$n＜\sqrt{m}＜n+1$，利用近似公式求$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值（用含$n$的代数式表示）.
（1）利用上述公式，估算$\sqrt{17}$的近似值；
（2）已知正整数$m,n$满足$n＜\sqrt{m}＜n+1$，利用近似公式求$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值（用含$n$的代数式表示）.
答案
15. (1) 因为$\sqrt{17}$可化为$\sqrt{4^{2}＋1}$,所以由近似公式,得$\sqrt{17}＝\sqrt{4^{2}＋1}≈4＋\frac{1}{2×4}＝4＋\frac{1}{8}＝4.125$,即$\sqrt{17}$的近似值为4.125.
(2) 因为$n＜\sqrt{m}＜n＋1$,且m,n为正整数,所以$n^{2}＜m＜(n＋1)^{2}$,即m的所有可能取值为$n^{2}＋1$,$n^{2}＋2$,$…$,$n^{2}＋2n$. 设$\sqrt{m}$所有可能取值之和为S,则$S＝\sqrt{n^{2}＋1}＋\sqrt{n^{2}＋2}＋…＋\sqrt{n^{2}＋2n}$. 由近似公式,得$S≈n＋\frac{1}{2n}＋n＋\frac{2}{2n}＋…＋n＋\frac{2n}{2n}＝n·2n＋\frac{1＋2＋…＋2n}{2n}＝2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$,即$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值为$2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$．
(2) 因为$n＜\sqrt{m}＜n＋1$,且m,n为正整数,所以$n^{2}＜m＜(n＋1)^{2}$,即m的所有可能取值为$n^{2}＋1$,$n^{2}＋2$,$…$,$n^{2}＋2n$. 设$\sqrt{m}$所有可能取值之和为S,则$S＝\sqrt{n^{2}＋1}＋\sqrt{n^{2}＋2}＋…＋\sqrt{n^{2}＋2n}$. 由近似公式,得$S≈n＋\frac{1}{2n}＋n＋\frac{2}{2n}＋…＋n＋\frac{2n}{2n}＝n·2n＋\frac{1＋2＋…＋2n}{2n}＝2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$,即$\sqrt{m}$所有可能取值之和的近似值为$2n^{2}＋n＋\frac{1}{2}$．
