【典例1】如图，$AB=CE$，且$∠ A + ∠ ACE = 180°$，$AC$交$BE$于$M$，求证：$BM=EM$.


备用图

方法一(割大):过点B作BG//CE交AC于点G，
∴∠AGB+∠C=180°，
∴∠A=∠BGA，
∴AB=BG,
∴BG=CE，
在△BGM和△ECM中，
$\begin{cases} ∠MBG=∠MEC, \\ BG=CE, \\ ∠BGM=∠C, \end{cases}$
∴△BGM≌△ECM(ASA)，
∴BM=EM.
方法二:(补小)过点E作EF//AB交AC的延长线于F点，
∴∠A=∠F，
∴∠ECF=∠F，
∴CE=EF=AB，
在△ABM和△FEM中，
$\begin{cases} ∠A=∠F, \\ AB=EF, \\ ∠B=∠FEM, \end{cases}$
∴△ABM≌△FEM(ASA)，
∴BM=EM.

【典例2】如图，点D为△ABC外一点，AD交BC边于点P，且AP＝PB，∠C＋∠D＝180°，求证：AC＝BD.

备用图

方法一:在PC上取点M,使AC=AM，
∴∠D=∠AMP，
在△APM和△BPD中，
$\begin{cases} ∠AMP=∠D, \\ ∠APM=∠BPD, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△APM≌△BPD(AAS)，
∴AM=BD,
∴AC=BD.
方法二:在AD的延长线上取点H,使BH=BD，
∴∠H=∠BDH=∠C，
在△APC和△BPH中，
$\begin{cases} ∠C=∠H, \\ ∠APC=∠BPH, \\ AP=PB, \end{cases}$
∴△ACP≌△BPH(AAS),
∴AC=BH=BD.

题型三 角度的错位相等
【典例3】如图，在$△ ABC$中，点D在AC上，点E在AB上，$∠ CDE=∠ B$，$DE=BC$，求证：$AC=AE$.
备用图

方法一:在AB上取点M,使BC=CM，
证△ACM≌△AED，
∴AC=AE.
方法二:在AB延长线上取点M,使CM=AC,则
△ADE≌△MBC，
CM=AE=AC.