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【典例1】如图，在等边$△ ABC$中，点$D$为$BC$边的中点，点$E$在$AB$的延长线上，$AD=DE$，$ED$的延长线交$AC$于点$F$，求$\frac{CF}{AC}$的值。
答案
在△ABC 中，
∵CD=BD,
∴∠DAB=30°,
又
∵AD=DE,
∴∠E=30°,
而∠DBA=60°,
∴∠CDF=∠BDE=30°,
∴DF⊥CF,
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$AC,
即$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{4}$.
∵CD=BD,
∴∠DAB=30°,
又
∵AD=DE,
∴∠E=30°,
而∠DBA=60°,
∴∠CDF=∠BDE=30°,
∴DF⊥CF,
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{4}$AC,
即$\frac{CF}{AC}=\frac{1}{4}$.
【典例2】如图，四边形ABCD中，AD=4，BC=1，∠A=30°，∠B=90°，∠ADC=120°，求CD的长。
答案
延长 AD,BC 交于 E,构造 30°的直角△ABE，
∵∠A=30°,
∴∠E=60°,
∴△CDE 为等边三角形，
设CD=x，
∴CE=x,BE=x+1,
在△ABE 中，
$x+1=\frac{1}{2}(x+4)$,
∴x=2,
∴CD=2.
变式.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E是△ABC内两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,求BC的长.
答案
延长 AD 交 BC 于 H,延长 ED 交 BC 于 F，
∴△BEF 为等边三角形，
∴BF=6,DF=4,HF=2,
又
∵AD 平分∠BAC,AB=AC,
∴BH=CH=4,
∴BC=8.
【典例3】如图，$△ ABC$中，$BD$是$AC$边上的中线，$BD⊥ BC$，$∠ ABD=30°$，求证：$AB=2BC$.
答案
过点 A 作 AM⊥BD 交 BD 的延长线于点 M，
在△ADM 和△CDB 中，
$\begin{cases}∠AMD=∠CBD,\\∠ADM=∠CDB,\\AD=CD,\end{cases}$
∴△ADM≌△CDB(AAS),
∴AM=BC,
在Rt△ABM 中，
∠ABD=30°,
AB=2AM=2BC.
变式.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=90°,∠CAB=∠CAD=60°,点 E 在 AB 上,AE=3,BE=2,ED=EC,则 AD 的长度为
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. 答案
过点 E 分别作 EM⊥AD,EN⊥AC,交直线 DA,AC 于点 M,N，
∵∠EAM=∠EAN=60°,
∴EM=EN,
∴AM=AN=1.5,
AC=2AB=10,
在Rt△EDM 和Rt△ECN 中，
$\begin{cases}ED=EC,\\EM=EN,\end{cases}$
∴Rt△EDM≌Rt△ECN(HL),
∴DM=CN=8.5,
∴AD=DM-AM=7.
