1[中]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是 ()

1.C 【解析】A选项,由全等三角形的判定定理“SAS”证得题图中两个小三角形全等,故本选项不符合题意. B选项,由全等三角形的判定定理“SAS”证得题图中两个小三角形全等,故本选项不符合题意. C选项,如图(1),
∵ ∠DEC = ∠B + ∠BDE,
∴ x°+∠FEC = x°+∠BDE,
∴ ∠FEC = ∠BDE,
∴ BE 和 CF 是对应边,而已知给的是 BD=FC=3,
∴ 不能判定两个小三角形全等,故本选项符合题意. D选项,如图(2),
∵ ∠DEC = ∠B + ∠BDE,
∴ x°+ ∠FEC = x° + ∠BDE,
∴ ∠FEC = ∠BDE.
∵ BD = EC = 2,∠B = ∠C,
∴ △BDE ≅ △CEF(ASA),
∴ 能判定两个小三角形全等,故本选项不符合题意. 故选 C.

2[中]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AB＞BC$,点D在边BC上,$CD=2BD$,点E,F在线段AD上,$∠1=∠2=∠BAC$,若$△ ABC$的面积为18,则$△ ACF$与$△ BDE$的面积之和是 ()


A.6
B.8
C.9
D.12

2.A 【解析】
∵ ∠1 = ∠2 = ∠BAC, ∠1 = ∠BAE+∠ABE, ∠BAC = ∠BAE+∠CAF, ∠2 = ∠FCA + ∠CAF,
∴ ∠ABE = ∠CAF, ∠BAE = ∠FCA. 在△ABE 和△CAF 中, $\begin{cases} ∠ABE=∠CAF, \\ AB=CA, \\ ∠BAE=∠ACF, \end{cases}$
∴ △ABE ≅ △CAF (ASA),
∴ $S_{△ACF}=S_{△ABE}$,
∴ $S_{△ACF}+S_{△BDE}=S_{△ABE}+S_{△BDE}=S_{△ABD}$.
∵ △ABC 的面积为 18, CD=2BD,
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{3}×18=6$,
∴ $S_{△ACF}+S_{△BDE}=S_{△ABD}=6$. 故选 A.

3[2026北京西城区期末，较难]如图，△ABC的顶点C是动点，其边长满足AB=9，CA=2a+2，CB=2a−3。点D在∠ACB的平分线上，且∠ADC=90°，则a的取值范围是，△ABD面积的最大值为。

3.$a＞\frac{5}{2}$ $\frac{45}{4}$ 【解析】在△ABC 中,
∵ AC+BC＞AB,
∴ 2a+2+2a−3＞9,解得 $a＞\frac{5}{2}$. 如图所示,延长 AD,CB 交于点 E.
∵ CD 平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠ECD. 在 △ACD 和 △ECD 中, $\begin{cases} ∠ACD=∠ECD, \\ CD=CD, \\ ∠ADC=∠EDC=90°, \end{cases}$
∴ △ACD ≅ △ECD(ASA),
∴ EC=AC=2a+2,AD=ED.
∵ CB=2a−3,
∴ BE=EC−BC=2a+2−(2a−3)=5.
∵ AD=ED,
∴ $S_{△ABD}:S_{△ABE}=1:2$. 当 BE ⊥ AB 时,△ABE 的面积取最大值,最大值为 $\frac{1}{2}×9×5=\frac{45}{2}$,
∴ △ABD 面积的最大值为 $\frac{1}{2}S_{△ABE}=\frac{1}{2}×\frac{45}{2}=\frac{45}{4}$. 故答案为 $a＞\frac{5}{2},\frac{45}{4}$.

4[2025江苏连云港期末,中]如图,AE与BD相交于点C,AC=EC,BC=DC,AB=4 cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以3 cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P返回到点A时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t s.连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.

刷素养 →…………走向重高

4.【解】如图,在△ABC 和△EDC 中, $\begin{cases} AC=EC, \\ ∠ACB=∠ECD, \\ BC=DC, \end{cases}$
∴ △ABC≅△EDC(SAS),
∴ ∠A = ∠E, ED = AB = 4 cm. 在△ACP 和△ECQ 中, $\begin{cases} ∠A=∠E, \\ AC=CE, \\ ∠ACP=∠ECQ, \end{cases}$
∴ △ACP≅△ECQ(ASA),
∴ AP=EQ. 当点 P 由 A 向 B 运动,即 $0≤t≤\frac{4}{3}$ 时,3t=4−t,解得 t=1;当点 P 由 B 向 A 运动,即 $\frac{4}{3}＜t≤\frac{8}{3}$ 时,8−3t=4−t,解得 t=2. 综上所述,当线段 PQ 经过点 C 时,t 的值为 1 或 2.

5 核心素养 几何直观 [2026黑龙江牡丹江期中,难]
(1)已知△ABC中,∠BAC,∠ACB的平分线AD,CE交于点O,∠COD=60°,如图(1),求证:AE+CD=AC.(提示:在AC上取一点F,使AF=AE,连接OF)
(2)如图(2),∠BAC的平分线AD与△ABC的外角平分线CE交于点O,CO的延长线与AB的延长线交于点E,∠COD=60°;如图(3),△ABC的外角平分线AD与△ABC的外角平分线CE所在直线交于点O,CE与AB的延长线交于点E,AO的延长线与BC的延长线交于点D,∠COD=120°.请猜想并直接写出线段AE,CD,AC之间的数量关系.
(3)在(2)的条件下,若CD=2AE=5,则AC=.

5.(1)【证明】在 AC 上取一点 F,使 AF=AE,连接 OF,如图(1).
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠OAE = ∠OAF. 又
∵ AO = AO,
∴ △AOE ≅ △AOF(SAS),
∴ ∠AOE = ∠AOF.
∵ ∠COD = 60°,
∴ ∠AOE = ∠COD = 60°,
∴ ∠AOF = ∠AOE = 60°,
∴ ∠COF = 180°−∠AOE −∠AOF = 180°−60°−60° = 60°,
∴ ∠COF = ∠COD = 60°.
∵ CE 平分∠ACB,
∴ ∠OCF = ∠OCD. 又
∵ CO = CO,
∴ △COF ≅ △COD(ASA),
∴ CF=CD,
∴ AC=AF+CF=AE+CD,即 AE+CD=AC.
(2)【解】题图(2)中,AE=AC+CD;题图(3)中,CD=AC+AE. 如图(2),在 AE 上取一点 F,使 AF = AC,连接 OF.
∵ AD 平分∠BAC,
∴ ∠OAF=∠OAC. 又
∵ AO = AO,
∴ △AOF≅△AOC(SAS),
∴ ∠AOC = ∠AOF,∠AFO = ∠ACO,OF=OC.
∵ ∠COD = 60°,
∴ ∠AOF = ∠AOC = 60°,
∴ ∠EOF = 180° − ∠COD − ∠AOF = 180° − 60° − 60° = 60°,
∴ ∠EOF=∠COD.
∵ ∠AFO = ∠ACO,
∴ ∠EFO = ∠OCG.
∵ CE 平分∠BCG,
∴ ∠BCE = ∠ECG,
∴ ∠EFO = ∠DCO. 又
∵ OF = OC,∠EOF = ∠COD,
∴ △EOF ≅ △DOC (ASA),
∴ EF = CD,
∴ AE=AF+EF=AC+CD,即 AE=AC+CD.
如图(3),在 CD 上取一点 F,使 CF=AC,连接 OF.
∵ CE 平分∠BCH,
∴ ∠BCE = ∠HCE = ∠OCF = ∠OCA. 又
∵ CO = CO, CF = CA,
∴ △COF≅△COA(SAS),
∴ ∠COF = ∠COA, OF = OA.
∵ ∠COD = 120°,
∴ ∠COA = 60°,
∴ ∠COF = ∠COA = 60°,
∴ ∠DOF = 120°−60°=60°,
∴ ∠COA = ∠DOF.
∵ AD 是∠CAG 的平分线,
∴ ∠CAD = ∠GAD.
∵ ∠GAD = ∠E+∠AOE,∠OFD = ∠FOC + ∠FCO,∠AOC = ∠FOC,∠ACO = ∠FCO,∠ACO = ∠E + ∠EAC,
∴ ∠DFO = ∠AOE + ∠E + ∠EAC = ∠CAO + ∠EAC = ∠EAO. 在△EAO 和 △DFO 中, $\begin{cases} ∠EAO=∠DFO, \\ OA=OF, \\ ∠EOA=∠DOF, \end{cases}$
∴ △EAO ≅ △DFO(ASA),
∴ DF=AE,
∴ CD=CF+DF=AC+AE,即 CD=AC+AE.
(3)
∵ CD=2AE=5,
∴ AE=$\frac{5}{2}$. 当 AE=AC+CD 时,AC=AE−CD=$\frac{5}{2}−5=−\frac{5}{2}＜0$,此种情况不成立;当 CD=AC+AE 时,AC=CD−AE=5−$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$. 综上,AC 的值为 $\frac{5}{2}$. 故答案为 $\frac{5}{2}$.