1. 新趋势学科内综合 一次函数$y=kx+b$的图象如图所示，则关于$x$的一元二次方程$x^2+bx+k-1=0$的根的情况是（）

A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定

1.C

2. 关于x的方程$x^2 - 2x + a - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则实数a可取的最大整数为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

【点拨】
∵关于 x 的方程$x^2 - 2x + a - 2 = 0$有两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2)² -4×(a-2)＞0，解得 a＜3，
∴a 可取的最大整数为 2.

3.已知关于$x$的方程$(1-2k)x^2 - 2\sqrt{k+1}x - 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是。

【点拨】当 1-2k=0，即 $k=\dfrac{1}{2}$ 时，原方程化为$-\sqrt{6}x-1=0$，此方程有实数根；当 1-2k≠0，即 $k≠\dfrac{1}{2}$ 时，Δ=$(-2 \sqrt{k+1})^2 -4×(-1)×(1-2k)≥ 0$ 且 $k+1≥0$，解得 $-1≤ k≤ 2$. 综上，k 的取值范围是 $-1≤ k≤ 2$.
点易错 ①本题没指明是一元二次方程，所以需分二次项系数为 0 和不为 0 两种情况讨论；②本题易漏 $\sqrt{k+1}$ 有意义的条件.

4. 一次函数 $y=-x+2$ 的图象与反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 的图象的交点个数为 （）

A.1
B.2
C.3
D.0

【点拨】联立得方程组$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=-\dfrac{1}{x}, \end{cases}$ $\therefore -x+2=-\dfrac{1}{x}$，即 $x^2-2x-1=0$. $\because \Delta=4+4=8＞0$，$\therefore$ 一次函数 $y=-x+2$ 的图象与反比例函数 $y=-\dfrac{1}{x}$ 的图象的交点个数为 2.

5.已知一次函数$y=-x+2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$在同一坐标系内的图象没有交点，则k的取值范围为。

【点拨】将 $y=-x+2$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$，得 $-x+2=\dfrac{k}{x}$，整理得 $x^2-2x+k=0$. $\because$ 一次函数 $y=-x+2$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 在同一坐标系内的图象没有公共点，$\therefore$ 一元二次方程 $x^2-2x+k=0$ 没有实数根，$\therefore \Delta=(-2)^2-4k＜0$，解得 $k＞1$.

6. 设 $ a,b,c $ 是$△ ABC$的三条边，关于 $ x $ 的方程$\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$有两个相等的实数根，方程 $ 3cx + 2b = 2a $ 的根为 $ x=0 $。试判断$△ ABC$的形状。

【解】$\because \frac{1}{2}x^2 + \sqrt{b}x + c - \frac{1}{2}a = 0$ 有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=(\sqrt{b})^2 -4× \frac{1}{2}(c-\frac{1}{2}a)=0$，整理得 $a+b-2c=0$①.
$\because 3cx+2b=2a$ 的根为 $x=0$，$\therefore b=a$②.
把②代入①，得 $a=c$，$\therefore a=b=c$.
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形.

7. 已知$x_1,x_2$是一元二次方程$x^2 -6x +3=0$的两根，不解方程求下列各式的值：
(1)$x_1^2 + x_2^2$；
(2)$(x_1 -1)(x_2 -1)$；
(3)$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$；
(4)$x_1\sqrt{\frac{x_2}{x_1}} + x_2\sqrt{\frac{x_1}{x_2}}$。

【解】$\because x_1,x_2$ 是一元二次方程 $x^2 -6x +3=0$ 的两根，
$\therefore x_1 + x_2 = -\dfrac{-6}{1}=6$，$x_1 x_2 =\dfrac{3}{1}=3$.
(1)$x_1^2 + x_2^2=(x_1 + x_2)^2 -2x_1 x_2=6^2 -2× 3=30$.
(2)$(x_1 -1)(x_2 -1)=x_1 x_2 -(x_1 + x_2)+1=3-6+1=-2$.
(3)$\dfrac{x_2}{x_1} + \dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}=\dfrac{30}{3}=10$.
(4)$x_1\sqrt{\dfrac{x_2}{x_1}} + x_2\sqrt{\dfrac{x_1}{x_2}}=\sqrt{\dfrac{x_1^2 · x_2}{x_1}} + \sqrt{\dfrac{x_2^2 · x_1}{x_2}}=2\sqrt{x_1 x_2}=2\sqrt{3}$.
点规律 一元二次方程中利用根与系数的关系解题的常见变形：(1)$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1 x_2}$；(2)$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1 x_2$；(3)$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$.

8. 一题多解 已知方程$x^2 - 2026x + 1 = 0$的两根分别为$x_1, x_2$，则$x_1^2 - \frac{2026}{x_2}$的值为。

【点拨】方法 1：$\because$ 方程 $x^2 - 2026x + 1 = 0$ 的两根分别为 $x_1, x_2$，$\therefore x_1^2 - 2026x_1 + 1 = 0$，$x_1 · x_2 = 1$，$\therefore x_1^2 = 2026x_1 - 1$，$x_1 = \dfrac{1}{x_2}$，$\therefore x_1^2 - \dfrac{2026}{x_2} = 2026x_1 - 1 - 2026x_1 = -1$. 方法 2：由根与系数的关系得 $x_1 + x_2 = 2026$，$x_1 · x_2 = 1$，$\therefore x_1 = 2026 - x_2$. $\therefore x_1^2 - \dfrac{2026}{x_2} = \dfrac{x_1^2 · x_2 - 2026}{x_2} = \dfrac{x_1 - 2026}{x_2} = \dfrac{2026 - x_2 - 2026}{x_2} = -1$.

9.阅读材料:如果$a,b$是一元二次方程$x^2+x-1=0$的两个实数根,则有$a^2+a-1=0,b^2+b-1=0$.创新应用:如果$m,n$是两个不相等的实数,且满足$m^2 - m = 3, n^2 - n = 3$,那么代数式$2n^2 - mn + 2m + 2026$的值为.

【点拨】$\because m,n$ 是两个不相等的实数，且满足 $m^2 - m = 3$，$n^2 - n = 3$，$\therefore m,n$ 是一元二次方程 $x^2 - x - 3 = 0$ 的两个实数根，$n^2 = n + 3$，$\therefore m + n = 1$，$mn = -3$，$\therefore 2n^2 - mn + 2m + 2026 = 2(n+3) - (-3) + 2m + 2026 = 2(m+n) + 2035 = 2× 1 + 2035 = 2037$.

10. 已知$x_1,x_2$是方程$5x^2 - 2x - 2 = 0$的两根，求一个新的一元二次方程，使它的两根是$\frac{x_1}{x_2 + 1}$和$\frac{x_2}{x_1 + 1}$。

【解】$\because x_1,x_2$ 是方程 $5x^2 - 2x - 2 = 0$ 的两根，
$\therefore x_1 + x_2 = \dfrac{2}{5}$，$x_1 x_2 = -\dfrac{2}{5}$，
$\therefore \dfrac{x_1}{x_2 + 1} + \dfrac{x_2}{x_1 + 1} = \dfrac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 + (x_1 + x_2)}{x_1 + x_2 + x_1 x_2 + 1} = \dfrac{34}{25}$，
$\dfrac{x_1}{x_2 + 1} · \dfrac{x_2}{x_1 + 1} = \dfrac{x_1 x_2}{x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1} = -\dfrac{2}{5}$，
$\therefore$ 新的一元二次方程为 $25x^2 - 34x - 10 = 0$.