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类型一 逆向开放探究
原题1:数学课上,张老师给出了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数。(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数。(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下两题:
变式1:等腰三角形ABC中,∠A=100°,求∠B的度数。
变式2:等腰三角形ABC中,∠A=45°,求∠B的度数。
(1)请你解答以上两道变式题。
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B只有一个度数时,请你探索x的取值范围。
原题1:数学课上,张老师给出了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数。(答案:35°)
例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数。(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下两题:
变式1:等腰三角形ABC中,∠A=100°,求∠B的度数。
变式2:等腰三角形ABC中,∠A=45°,求∠B的度数。
(1)请你解答以上两道变式题。
(2)解(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同。如果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B只有一个度数时,请你探索x的取值范围。
答案
(1) 变式1:因为∠A=100°,所以∠A只能为△ABC的顶角。因为△ABC为等腰三角形,所以∠B=∠C=1/2×(180°-100°)=40°。
变式2:若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=67.5°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×45°=90°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=45°;故∠B为67.5°或90°或45°。
(2)分两种情况:①当90≤x＜180时,∠A只能为顶角,所以∠B的度数只有一个;②当0＜x＜90时,当x=60时,等腰三角形ABC是等边三角形,所以∠B的度数只有一个,所以当∠B只有一个度数时,x的取值范围为90≤x＜180或x=60。
变式2:若∠A为顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=67.5°;若∠A为底角,∠B为顶角,则∠B=180°-2×45°=90°;若∠A为底角,∠B为底角,则∠B=45°;故∠B为67.5°或90°或45°。
(2)分两种情况:①当90≤x＜180时,∠A只能为顶角,所以∠B的度数只有一个;②当0＜x＜90时,当x=60时,等腰三角形ABC是等边三角形,所以∠B的度数只有一个,所以当∠B只有一个度数时,x的取值范围为90≤x＜180或x=60。
解析
【分析】
解决本题需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理分析：首先明确钝角不能作为等腰三角形的底角。对于（1）的变式1，先判断100°为钝角，只能是顶角，直接计算底角∠B即可；变式2中∠A=45°是锐角，需分三种情况讨论：∠A为顶角、∠A为底角且∠B为顶角、∠A和∠B均为底角，分别计算∠B的度数。对于（2），要找∠B只有一个度数的情况，分两类讨论：一是∠A≥90°时只能作为顶角，此时∠B值唯一；二是∠A＜90°时，只有当三角形为等边三角形（即x=60）时，∠B的度数唯一，综合两类情况得到x的取值范围。
【解析】
(1) 变式1：
∵ 等腰三角形ABC中，∠A=100°＞90°，
∴ ∠A只能为△ABC的顶角，
∵ 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-100°)=40°。
变式2：
分三种情况讨论：
① 若∠A为顶角，则∠B为底角，∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×∠A=180°-2×45°=90°；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=45°；
综上，∠B的度数为67.5°或90°或45°。
(2) 分两种情况探索：
① 当90≤x＜180时，∠A为钝角，只能作为△ABC的顶角，此时∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180-x)°，度数唯一；
② 当0＜x＜90时，若要∠B只有一个度数，需三种情况计算出的∠B度数相同，即等腰三角形为等边三角形，此时x=60，三个内角均为60°，∠B度数唯一；
综上，当∠B只有一个度数时，x的取值范围是90≤x＜180或x=60。
【答案】
(1) 变式1：$\boxed{40°}$；变式2：$\boxed{45°}$或$\boxed{67.5°}$或$\boxed{90°}$
(2) $\boxed{90≤x＜180}$或$\boxed{x=60}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题围绕等腰三角形角度计算展开，重点考查分类讨论的逻辑思维，解题时需注意钝角仅能作为等腰三角形的顶角，避免出现不符合内角和定理的情况，同时不要遗漏等边三角形这种特殊等腰三角形的情形。
【难度系数】
0.6
解决本题需结合等腰三角形“两底角相等”的性质和三角形内角和为180°的定理分析：首先明确钝角不能作为等腰三角形的底角。对于（1）的变式1，先判断100°为钝角，只能是顶角，直接计算底角∠B即可；变式2中∠A=45°是锐角，需分三种情况讨论：∠A为顶角、∠A为底角且∠B为顶角、∠A和∠B均为底角，分别计算∠B的度数。对于（2），要找∠B只有一个度数的情况，分两类讨论：一是∠A≥90°时只能作为顶角，此时∠B值唯一；二是∠A＜90°时，只有当三角形为等边三角形（即x=60）时，∠B的度数唯一，综合两类情况得到x的取值范围。
【解析】
(1) 变式1：
∵ 等腰三角形ABC中，∠A=100°＞90°，
∴ ∠A只能为△ABC的顶角，
∵ 等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴ ∠B=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-100°)=40°。
变式2：
分三种情况讨论：
① 若∠A为顶角，则∠B为底角，∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-45°)÷2=67.5°；
② 若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°-2×∠A=180°-2×45°=90°；
③ 若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=∠A=45°；
综上，∠B的度数为67.5°或90°或45°。
(2) 分两种情况探索：
① 当90≤x＜180时，∠A为钝角，只能作为△ABC的顶角，此时∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180-x)°，度数唯一；
② 当0＜x＜90时，若要∠B只有一个度数，需三种情况计算出的∠B度数相同，即等腰三角形为等边三角形，此时x=60，三个内角均为60°，∠B度数唯一；
综上，当∠B只有一个度数时，x的取值范围是90≤x＜180或x=60。
【答案】
(1) 变式1：$\boxed{40°}$；变式2：$\boxed{45°}$或$\boxed{67.5°}$或$\boxed{90°}$
(2) $\boxed{90≤x＜180}$或$\boxed{x=60}$
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题围绕等腰三角形角度计算展开，重点考查分类讨论的逻辑思维，解题时需注意钝角仅能作为等腰三角形的顶角，避免出现不符合内角和定理的情况，同时不要遗漏等边三角形这种特殊等腰三角形的情形。
【难度系数】
0.6
原题2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5cm,AC=4cm,动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动,设运动的时间为t s。
(1)求BC边的长。
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值。
(3)当△ABP为等腰三角形时,请直接写出此时t的值。
(1)求BC边的长。
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值。
(3)当△ABP为等腰三角形时,请直接写出此时t的值。
答案
(1)因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=4cm,所以BC=√(AB²-AC²)=3cm。
(2)由题意可知,分两种情况:①∠APB=90°;②∠BAP=90°。BP=3t cm,①当∠APB=90°时,易知点P与点C重合,所以BP=BC,即3t=3,所以t=1; ②当∠PAB=90°时,
,所以CP=BP-BC=(3t-3)cm,因为AC²+CP²=AP²=BP²-AB²,即4²+(3t-3)²=(3t)²-5²,解得t=25/9,综上所述,当△ABP为直角三角形时,t值为1或25/9。(3)由题意可知,分三种情况:①BA=BP;②AB=AP;③PA=PB。①当BA=BP=5cm时,
,t=5/3;②当AB=AP=5cm时,
,根据等腰三角形“三线合一”可知,AC是△ABP边BP上的中线,所以BP=2BC=6cm,所以t=6/3=2;③当PA=PB时,
,设PC=x,则PB=BC+PC=3+x=PA,在Rt△APC中,∠ACP=90°,PC=x,PA=x+3,AC=4,则由勾股定理可得AC²+PC²=PA²,即4²+x²=(x+3)²,解得x=7/6,所以BP=BC+PC=3+7/6=25/6(cm),所以t=25/6÷3=25/18,综上所述,t值为5/3或2或25/18。解析
【分析】
(1)第一问可直接利用勾股定理求解：在Rt△ABC中已知斜边AB和直角边AC的长度，代入勾股定理公式即可算出BC的长。
(2)第二问为直角三角形存在性问题，由于∠ABP是固定锐角，因此直角仅可能为∠APB或∠BAP，分两类讨论：①当∠APB=90°时，点P与点C重合，可直接得到BP长度求t；②当∠BAP=90°时，用t表示出CP的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
(3)第三问为等腰三角形存在性问题，按腰的组合分三类讨论：①BA=BP；②AB=AP；③PA=PB，每种情况结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，用t表示对应边的长度列方程求解，注意动点沿射线BC运动，不要遗漏P在C点右侧的情况。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$。
(2) 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$BP=3t\ \mathrm{cm}$，△ABP为直角三角形分两种情况：
① 当∠APB=90°时，点P与点C重合，$BP=BC=3\mathrm{cm}$，即$3t=3$，解得$t=1$；
② 当∠PAB=90°时，点P在BC延长线上，$CP=BP-BC=(3t-3)\mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中$AP^2=AC^2+CP^2=4^2+(3t-3)^2$，
在Rt△ABP中$AP^2=BP^2-AB^2=(3t)^2-5^2$，
联立得$4^2+(3t-3)^2=(3t)^2-5^2$，
化简解得$t=\frac{25}{9}$。
综上，t的值为1或$\frac{25}{9}$。
(3) △ABP为等腰三角形分三种情况：
① 当$BA=BP=5\mathrm{cm}$时，$3t=5$，解得$t=\frac{5}{3}$；
② 当$AB=AP=5\mathrm{cm}$时，$AC⊥ BP$，由等腰三角形三线合一得$BC=CP=3\mathrm{cm}$，$BP=6\mathrm{cm}$，即$3t=6$，解得$t=2$；
③ 当$PA=PB$时，设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PB=PA=(3+x)\mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中由勾股定理得$4^2+x^2=(x+3)^2$，解得$x=\frac{7}{6}$，
$BP=3+\frac{7}{6}=\frac{25}{6}\mathrm{cm}$，即$3t=\frac{25}{6}$，解得$t=\frac{25}{18}$。
综上，t的值为$\frac{5}{3}$或2或$\frac{25}{18}$。
【答案】
(1)因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=4cm,所以BC=√(AB²-AC²)=3cm。
(2)由题意可知,分两种情况:①∠APB=90°;②∠BAP=90°。BP=3t cm,①当∠APB=90°时,易知点P与点C重合,所以BP=BC,即3t=3,所以t=1; ②当∠PAB=90°时,,所以CP=BP-BC=(3t-3)cm,因为AC²+CP²=AP²=BP²-AB²,即4²+(3t-3)²=(3t)²-5²,解得t=25/9,综上所述,当△ABP为直角三角形时,t值为1或25/9。
(3)由题意可知,分三种情况:①BA=BP;②AB=AP;③PA=PB。①当BA=BP=5cm时,,t=5/3;②当AB=AP=5cm时,,根据等腰三角形“三线合一”可知,AC是△ABP边BP上的中线,所以BP=2BC=6cm,所以t=6/3=2;③当PA=PB时,,设PC=x,则PB=BC+PC=3+x=PA,在Rt△APC中,∠ACP=90°,PC=x,PA=x+3,AC=4,则由勾股定理可得AC²+PC²=PA²,即4²+x²=(x+3)²,解得x=7/6,所以BP=BC+PC=3+7/6=25/6(cm),所以t=25/6÷3=25/18,综上所述,t值为5/3或2或25/18。
【知识点】
勾股定理、分类讨论思想、等腰三角形性质
【点评】
本题属于特殊三角形的动点探究题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时需根据直角、等腰三角形的不确定条件明确分类标准，结合几何性质和勾股定理建立方程求解，注意不要遗漏动点在射线延长线上的情况。
【难度系数】
0.6
(1)第一问可直接利用勾股定理求解：在Rt△ABC中已知斜边AB和直角边AC的长度，代入勾股定理公式即可算出BC的长。
(2)第二问为直角三角形存在性问题，由于∠ABP是固定锐角，因此直角仅可能为∠APB或∠BAP，分两类讨论：①当∠APB=90°时，点P与点C重合，可直接得到BP长度求t；②当∠BAP=90°时，用t表示出CP的长度，再结合勾股定理列方程求解即可。
(3)第三问为等腰三角形存在性问题，按腰的组合分三类讨论：①BA=BP；②AB=AP；③PA=PB，每种情况结合等腰三角形三线合一的性质和勾股定理，用t表示对应边的长度列方程求解，注意动点沿射线BC运动，不要遗漏P在C点右侧的情况。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=4cm，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\mathrm{cm}$。
(2) 设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，则$BP=3t\ \mathrm{cm}$，△ABP为直角三角形分两种情况：
① 当∠APB=90°时，点P与点C重合，$BP=BC=3\mathrm{cm}$，即$3t=3$，解得$t=1$；
② 当∠PAB=90°时，点P在BC延长线上，$CP=BP-BC=(3t-3)\mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中$AP^2=AC^2+CP^2=4^2+(3t-3)^2$，
在Rt△ABP中$AP^2=BP^2-AB^2=(3t)^2-5^2$，
联立得$4^2+(3t-3)^2=(3t)^2-5^2$，
化简解得$t=\frac{25}{9}$。
综上，t的值为1或$\frac{25}{9}$。
(3) △ABP为等腰三角形分三种情况：
① 当$BA=BP=5\mathrm{cm}$时，$3t=5$，解得$t=\frac{5}{3}$；
② 当$AB=AP=5\mathrm{cm}$时，$AC⊥ BP$，由等腰三角形三线合一得$BC=CP=3\mathrm{cm}$，$BP=6\mathrm{cm}$，即$3t=6$，解得$t=2$；
③ 当$PA=PB$时，设$PC=x\ \mathrm{cm}$，则$PB=PA=(3+x)\mathrm{cm}$，
在Rt△ACP中由勾股定理得$4^2+x^2=(x+3)^2$，解得$x=\frac{7}{6}$，
$BP=3+\frac{7}{6}=\frac{25}{6}\mathrm{cm}$，即$3t=\frac{25}{6}$，解得$t=\frac{25}{18}$。
综上，t的值为$\frac{5}{3}$或2或$\frac{25}{18}$。
【答案】
(1)因为在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,AC=4cm,所以BC=√(AB²-AC²)=3cm。
(2)由题意可知,分两种情况:①∠APB=90°;②∠BAP=90°。BP=3t cm,①当∠APB=90°时,易知点P与点C重合,所以BP=BC,即3t=3,所以t=1; ②当∠PAB=90°时,
,所以CP=BP-BC=(3t-3)cm,因为AC²+CP²=AP²=BP²-AB²,即4²+(3t-3)²=(3t)²-5²,解得t=25/9,综上所述,当△ABP为直角三角形时,t值为1或25/9。(3)由题意可知,分三种情况:①BA=BP;②AB=AP;③PA=PB。①当BA=BP=5cm时,
,t=5/3;②当AB=AP=5cm时,,根据等腰三角形“三线合一”可知,AC是△ABP边BP上的中线,所以BP=2BC=6cm,所以t=6/3=2;③当PA=PB时,,设PC=x,则PB=BC+PC=3+x=PA,在Rt△APC中,∠ACP=90°,PC=x,PA=x+3,AC=4,则由勾股定理可得AC²+PC²=PA²,即4²+x²=(x+3)²,解得x=7/6,所以BP=BC+PC=3+7/6=25/6(cm),所以t=25/6÷3=25/18,综上所述,t值为5/3或2或25/18。【知识点】
勾股定理、分类讨论思想、等腰三角形性质
【点评】
本题属于特殊三角形的动点探究题，核心考查分类讨论思想的应用，解题时需根据直角、等腰三角形的不确定条件明确分类标准，结合几何性质和勾股定理建立方程求解，注意不要遗漏动点在射线延长线上的情况。
【难度系数】
0.6
原题3:在四边形ABDE中,C是BD边的中点。
(1)如图1,若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,则线段AE,AB,DE之间存在怎样的数量关系?写出结论并证明。
(2)如图2,AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°,则线段AB,BD,DE,AE之间存在怎样的数量关系?写出结论并证明。
(3)如图3,BC=8,AB=3,DE=7,若∠ACE=120°,求线段AE长度的最大值。
(1)如图1,若AC平分∠BAE,∠ACE=90°,则线段AE,AB,DE之间存在怎样的数量关系?写出结论并证明。
(2)如图2,AC平分∠BAE,EC平分∠AED,若∠ACE=120°,则线段AB,BD,DE,AE之间存在怎样的数量关系?写出结论并证明。
(3)如图3,BC=8,AB=3,DE=7,若∠ACE=120°,求线段AE长度的最大值。
答案
(1)AE=AB+DE。证明：
,在AE上取一点F,使AF=AB。因为AC平分∠BAE,所以∠BAC=∠FAC。在△ACB和△ACF中,因为{AB=AF,∠BAC=∠FAC,AC=AC,所以△ACB≌△ACF(SAS),所以BC=FC,∠ACB=∠ACF。因为C是BD边的中点。所以BC=CD,所以CF=CD。因为∠ACE=90°,所以∠ACB+∠DCE=90°,∠ACF+∠ECF=90°,所以∠ECF=∠ECD。在△CEF和△CED中,因为{CF=CD,∠ECF=∠ECD,CE=CE,所以△CEF≌△CED(SAS),所以EF=ED。因为AE=AF+EF,所以AE=AB+DE。(2)AE=AB+DE+1/2 BD。证明:
,在AE上取点F,使AF=AB,连结CF,在AE上取点G,使EG=ED,连结CG。因为C是BD边的中点,所以CB=CD=1/2 BD。因为AC平分∠BAE,所以∠BAC=∠FAC。在△ACB和△ACF中,因为{AB=AF,∠BAC=∠FAC,AC=AC,所以△ACB≌△ACF(SAS),所以CF=CB,所以∠BCA=∠FCA。同理可证CD=CG,∠DCE=∠GCE。因为CB=CD,所以CG=CF,因为∠ACE=120°,所以∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°。所以∠FCA+∠GCE=60°,所以∠FCG=60°,所以△FGC是等边三角形。所以FG=FC=1/2 BD。因为AE=AF+EG+FG。所以AE=AB+DE+1/2 BD。(3)
,将△ABC沿AC翻折得△AFC,将△ECD沿EC翻折得△ECG,所以AF=AB=3,GE=ED=7。同(2)可得△CFG是等边三角形,FG=FC=CG=BC=8。当点A,F,G,E共线时,AE有最大值=AF+FG+GE=3+8+7=18。解析
【分析】
本题是特殊三角形的探究类问题，可通过构造全等三角形转化线段关系求解：
(1) 已知角平分线和90°角，采用截长补短法，在AE上截取与AB相等的线段，先证△ACB与△ACF全等，再证△CEF与△CED全等，将AB、DE转化为AE上的两段，即可得到数量关系。
(2) 类比(1)的思路，在AE上分别截取与AB、DE相等的线段，两次证明全等得到CF=CG，结合∠ACE=120°推出△FCG为等边三角形，将BD的一半转化为中间的FG段，即可得到四条线段的关系。
(3) 利用翻折变换将△ABC、△ECD分别沿AC、EC翻折，把AB、DE转化到AE方向上，结合(2)的结论得△CFG为等边三角形，当A、F、G、E四点共线时，AE取最大值。
【解析】
(1) 结论：$\boldsymbol{AE=AB+DE}$
证明：，在AE上取一点F，使$AF=AB$。
∵AC平分$∠BAE$，
∴$∠BAC=∠FAC$。
在$△ ACB$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AF \\∠BAC=∠FAC \\AC=AC\end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
∴$BC=FC$，$∠ACB=∠ACF$。
∵C是BD边的中点，
∴$BC=CD$，
∴$CF=CD$。
∵$∠ACE=90°$，
∴$∠ACB+∠DCE=90°$，$∠ACF+∠ECF=90°$，
∴$∠ECF=∠ECD$。
在$△ CEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}CF=CD \\∠ECF=∠ECD \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CEF≌△ CED(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=ED$。
∵$AE=AF+EF$，
∴$AE=AB+DE$。
(2) 结论：$\boldsymbol{AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD}$
证明：，在AE上取点F，使$AF=AB$，连结CF；在AE上取点G，使$EG=ED$，连结CG。
∵C是BD边的中点，
∴$CB=CD=\dfrac{1}{2}BD$。
∵AC平分$∠BAE$，
∴$∠BAC=∠FAC$。
在$△ ACB$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AF \\∠BAC=∠FAC \\AC=AC\end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
∴$CF=CB$，$∠BCA=∠FCA$。
同理可证$△ ECD≌△ ECG$，
∴$CD=CG$，$∠DCE=∠GCE$。
∵$CB=CD$，
∴$CG=CF$。
∵$∠ACE=120°$，
∴$∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°$，
∴$∠FCA+∠GCE=60°$，
∴$∠FCG=∠ACE-(∠FCA+∠GCE)=60°$，
∴$△ FGC$是等边三角形，
∴$FG=FC=\dfrac{1}{2}BD$。
∵$AE=AF+EG+FG$，
∴$AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD$。
(3)，将$△ ABC$沿AC翻折得$△ AFC$，将$△ ECD$沿EC翻折得$△ ECG$，
∴$AF=AB=3$，$GE=ED=7$，$FC=BC=8$，$CG=CD=BC=8$，$∠ACF=∠ACB$，$∠ECG=∠ECD$。
同(2)可得$∠FCG=60°$，
∴$△ CFG$是等边三角形，
∴$FG=FC=8$。
当点A、F、G、E共线时，AE的长度最大，最大值为$AF+FG+GE=3+8+7=18$。
【答案】
(1) $AE=AB+DE$；
(2) $AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD$；
(3) 线段AE长度的最大值为18。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的递进式几何探究题，从特殊角度到一般角度，再到最值问题，渗透了截长补短、图形变换的数学思想，需要学生灵活运用全等、等边三角形的相关知识转化线段关系，对逻辑推理和综合运用知识的能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
本题是特殊三角形的探究类问题，可通过构造全等三角形转化线段关系求解：
(1) 已知角平分线和90°角，采用截长补短法，在AE上截取与AB相等的线段，先证△ACB与△ACF全等，再证△CEF与△CED全等，将AB、DE转化为AE上的两段，即可得到数量关系。
(2) 类比(1)的思路，在AE上分别截取与AB、DE相等的线段，两次证明全等得到CF=CG，结合∠ACE=120°推出△FCG为等边三角形，将BD的一半转化为中间的FG段，即可得到四条线段的关系。
(3) 利用翻折变换将△ABC、△ECD分别沿AC、EC翻折，把AB、DE转化到AE方向上，结合(2)的结论得△CFG为等边三角形，当A、F、G、E四点共线时，AE取最大值。
【解析】
(1) 结论：$\boldsymbol{AE=AB+DE}$
证明：
，在AE上取一点F，使$AF=AB$。∵AC平分$∠BAE$，
∴$∠BAC=∠FAC$。
在$△ ACB$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AF \\∠BAC=∠FAC \\AC=AC\end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
∴$BC=FC$，$∠ACB=∠ACF$。
∵C是BD边的中点，
∴$BC=CD$，
∴$CF=CD$。
∵$∠ACE=90°$，
∴$∠ACB+∠DCE=90°$，$∠ACF+∠ECF=90°$，
∴$∠ECF=∠ECD$。
在$△ CEF$和$△ CED$中：
$\begin{cases}CF=CD \\∠ECF=∠ECD \\CE=CE\end{cases}$
∴$△ CEF≌△ CED(\mathrm{SAS})$，
∴$EF=ED$。
∵$AE=AF+EF$，
∴$AE=AB+DE$。
(2) 结论：$\boldsymbol{AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD}$
证明：
，在AE上取点F，使$AF=AB$，连结CF；在AE上取点G，使$EG=ED$，连结CG。∵C是BD边的中点，
∴$CB=CD=\dfrac{1}{2}BD$。
∵AC平分$∠BAE$，
∴$∠BAC=∠FAC$。
在$△ ACB$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}AB=AF \\∠BAC=∠FAC \\AC=AC\end{cases}$
∴$△ ACB≌△ ACF(\mathrm{SAS})$，
∴$CF=CB$，$∠BCA=∠FCA$。
同理可证$△ ECD≌△ ECG$，
∴$CD=CG$，$∠DCE=∠GCE$。
∵$CB=CD$，
∴$CG=CF$。
∵$∠ACE=120°$，
∴$∠BCA+∠DCE=180°-120°=60°$，
∴$∠FCA+∠GCE=60°$，
∴$∠FCG=∠ACE-(∠FCA+∠GCE)=60°$，
∴$△ FGC$是等边三角形，
∴$FG=FC=\dfrac{1}{2}BD$。
∵$AE=AF+EG+FG$，
∴$AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD$。
(3)
，将$△ ABC$沿AC翻折得$△ AFC$，将$△ ECD$沿EC翻折得$△ ECG$，∴$AF=AB=3$，$GE=ED=7$，$FC=BC=8$，$CG=CD=BC=8$，$∠ACF=∠ACB$，$∠ECG=∠ECD$。
同(2)可得$∠FCG=60°$，
∴$△ CFG$是等边三角形，
∴$FG=FC=8$。
当点A、F、G、E共线时，AE的长度最大，最大值为$AF+FG+GE=3+8+7=18$。
【答案】
(1) $AE=AB+DE$
；(2) $AE=AB+DE+\dfrac{1}{2}BD$
；(3) 线段AE长度的最大值为18
。【知识点】
全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的递进式几何探究题，从特殊角度到一般角度，再到最值问题，渗透了截长补短、图形变换的数学思想，需要学生灵活运用全等、等边三角形的相关知识转化线段关系，对逻辑推理和综合运用知识的能力有较高要求。
【难度系数】
0.4
