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原题4:如图所示，等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25cm/s的速度移动，请你探究:当点P运动
7或25
s时，点P与顶点A的连线AP与腰垂直。答案
分类讨论,AP分别与两个腰垂直,利用勾股定理计算时间。应分两种情况:①设当点P运动t(0≤t≤32)s时,AP与腰AC垂直,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
。因为△ABC为等腰三角形,所以D为BC的中点,则BD=CD=4cm,根据勾股定理得AD=3cm。在Rt△ACP中,AP²=CP²-AC²=(8-0.25t)²-5²,在Rt△ADP中,AP²=AD²+DP²=3²+(4-0.25t)²,所以(8-0.25t)²-5²=3²+(4-0.25t)²,解得t=7。因此当点P运动7s时,AP与腰AC垂直;②设当点P运动t(0≤t≤32)s时,AP与腰AB垂直,过点A作AD⊥BC,垂足为D,
。因为△ABC为等腰三角形,所以D为BC的中点,则BD=CD=4cm,根据勾股定理得AD=3cm。在Rt△ABP中,AP²=BP²-AB²=(0.25t)²-5²,在Rt△ADP中,AP²=AD²+DP²=3²+(0.25t-4)²,所以(0.25t)²-5²=3²+(0.25t-4)²,解得t=25。因此当点P运动25s时,AP与腰AB垂直。综上所述,当点P运动7s或25s时,点P与顶点A的连线AP与腰垂直。故答案为7或25。解析
【分析】
本题是等腰三角形中的动点探究题，解题思路如下：首先明确AP与腰垂直存在两种情况：AP垂直AC、AP垂直AB，避免漏解；其次利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，先求出AD的长度；最后分两种情况，分别在含AP的两个直角三角形中用勾股定理表示AP²，建立方程求解运动时间t，再验证t是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
首先计算基础量：过点A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，
∴D是BC中点，BD=CD=4cm，在Rt△ABD中，AB=5cm，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3cm$。
动点P总运动时间为$8÷0.25=32s$，故t的取值范围是$0≤ t≤32$。
分两种情况讨论：
① 当AP⊥AC时，：
设此时P运动时间为t s，则$BP=0.25t\ \mathrm{cm}$，$CP=(8-0.25t)\ \mathrm{cm}$，$DP=|4-0.25t|\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=CP^2-AC^2=(8-0.25t)^2-5^2$；
在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2=3^2+(4-0.25t)^2$；
联立等式：$(8-0.25t)^2-5^2=3^2+(4-0.25t)^2$，化简后解得$t=7$，符合取值范围。
② 当AP⊥AB时，：
设此时P运动时间为t s，则$BP=0.25t\ \mathrm{cm}$，$DP=|0.25t-4|\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABP中，由勾股定理得$AP^2=BP^2-AB^2=(0.25t)^2-5^2$；
在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2=3^2+(0.25t-4)^2$；
联立等式：$(0.25t)^2-5^2=3^2+(0.25t-4)^2$，化简后解得$t=25$，符合取值范围。
【答案】
7或25
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题是特殊三角形的典型探究题，解题核心是要考虑到AP与两条腰分别垂直的两种情况，避免漏解，通过作等腰三角形底边的高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程是这类问题的常用解法，能有效考查分类讨论和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形中的动点探究题，解题思路如下：首先明确AP与腰垂直存在两种情况：AP垂直AC、AP垂直AB，避免漏解；其次利用等腰三角形三线合一的性质，作底边BC的高AD，先求出AD的长度；最后分两种情况，分别在含AP的两个直角三角形中用勾股定理表示AP²，建立方程求解运动时间t，再验证t是否在动点的运动时间范围内即可。
【解析】
首先计算基础量：过点A作AD⊥BC于D，
∵△ABC是等腰三角形，底边BC=8cm，
∴D是BC中点，BD=CD=4cm，在Rt△ABD中，AB=5cm，由勾股定理得$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3cm$。
动点P总运动时间为$8÷0.25=32s$，故t的取值范围是$0≤ t≤32$。
分两种情况讨论：
① 当AP⊥AC时，
：设此时P运动时间为t s，则$BP=0.25t\ \mathrm{cm}$，$CP=(8-0.25t)\ \mathrm{cm}$，$DP=|4-0.25t|\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ACP中，由勾股定理得$AP^2=CP^2-AC^2=(8-0.25t)^2-5^2$；
在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2=3^2+(4-0.25t)^2$；
联立等式：$(8-0.25t)^2-5^2=3^2+(4-0.25t)^2$，化简后解得$t=7$，符合取值范围。
② 当AP⊥AB时，
：设此时P运动时间为t s，则$BP=0.25t\ \mathrm{cm}$，$DP=|0.25t-4|\ \mathrm{cm}$。
在Rt△ABP中，由勾股定理得$AP^2=BP^2-AB^2=(0.25t)^2-5^2$；
在Rt△ADP中，由勾股定理得$AP^2=AD^2+DP^2=3^2+(0.25t-4)^2$；
联立等式：$(0.25t)^2-5^2=3^2+(0.25t-4)^2$，化简后解得$t=25$，符合取值范围。
【答案】
7或25
【知识点】
等腰三角形性质、勾股定理、分类讨论思想
【点评】
本题是特殊三角形的典型探究题，解题核心是要考虑到AP与两条腰分别垂直的两种情况，避免漏解，通过作等腰三角形底边的高构造直角三角形，利用勾股定理建立方程是这类问题的常用解法，能有效考查分类讨论和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
变式:如图1,在$4×8$的网格纸中,每个小正方形的边长都为1,动点$P,Q$分别从点$D,A$同时出发向右移动,点$P$的运动速度为每秒1个单位长度,点$Q$的运动速度为每秒0.5个单位长度,当点$P$运动到点$C$时,两个点都停止运动,设运动时间为$t(0＜t＜8)$秒。
(1)请在$4×8$的网格纸图2中画出$t$为6秒时的线段$PQ$,并求其长度。
(2)当$t$为多少时,$△ PQB$是以$PQ$为腰的等腰三角形？
(1)请在$4×8$的网格纸图2中画出$t$为6秒时的线段$PQ$,并求其长度。
(2)当$t$为多少时,$△ PQB$是以$PQ$为腰的等腰三角形？
答案
(1)
,PQ即为运动6秒时的线段,由勾股定理得PQ=√(3²+4²)=5。(2)在t秒时,点P运动了t格,点Q运动了1/2 t格,由题意得,当PQ=BQ时,即(t-1/2 t)²+4²=(8-1/2 t)²,解得t=6。当PQ=BP时,则点P在BQ的垂直平分线上,即有BQ=2CP,所以有8-0.5t=2(8-t),解得t=16/3,综上所述,t为6或16/3时,△PQB是以PQ为腰的等腰三角形。
解析
【分析】
(1) 解决第一问先根据运动时间、速度计算t=6秒时P、Q的移动距离，确定两点在网格中的位置，连接PQ后，将PQ作为直角三角形斜边，利用勾股定理即可计算其长度。
(2) 解决第二问需先明确：△PQB以PQ为腰分两种情况，分别是PQ=BQ、PQ=BP。先用含t的代数式表示出各边相关长度，再根据等量关系列方程求解，最后验证解是否符合0＜t＜8的运动范围即可。
【解析】
(1) 当t=6时，点P移动距离为$1×6=6$，即$DP=6$；点Q移动距离为$0.5×6=3$，即$AQ=3$。
在网格中对应位置标记P、Q，连接得到线段PQ（如图）。
此时P、Q的水平距离为$6-3=3$，竖直距离为4，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) 运动t秒时，$DP=t$，$AQ=0.5t$，因此$BQ=AB-AQ=8-0.5t$，P、Q的水平距离为$t-0.5t=0.5t$。
△PQB以PQ为腰，分两种情况讨论：
① 当$PQ=BQ$时：
由勾股定理得$PQ^2=(0.5t)^2+4^2$，列方程：
$(0.5t)^2+4^2=(8-0.5t)^2$
展开化简得$16=64-8t$，解得$t=6$，符合$0＜t＜8$的要求。
② 当$PQ=BP$时：
此时点P在BQ的垂直平分线上，即$BQ=2CP$（$CP=8-t$），列方程：
$8-0.5t=2(8-t)$
展开化简得$1.5t=8$，解得$t=\frac{16}{3}$，符合$0＜t＜8$的要求。
【答案】
(1)，PQ的长度为$\boxed{5}$；
(2) t为$\boxed{6}$或$\boxed{\frac{16}{3}}$时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论
【点评】
本题结合网格动点考查勾股定理和等腰三角形的应用，解题核心是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要验证解是否符合运动的时间限制，能较好锻炼学生的逻辑思维和方程计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问先根据运动时间、速度计算t=6秒时P、Q的移动距离，确定两点在网格中的位置，连接PQ后，将PQ作为直角三角形斜边，利用勾股定理即可计算其长度。
(2) 解决第二问需先明确：△PQB以PQ为腰分两种情况，分别是PQ=BQ、PQ=BP。先用含t的代数式表示出各边相关长度，再根据等量关系列方程求解，最后验证解是否符合0＜t＜8的运动范围即可。
【解析】
(1) 当t=6时，点P移动距离为$1×6=6$，即$DP=6$；点Q移动距离为$0.5×6=3$，即$AQ=3$。
在网格中对应位置标记P、Q，连接得到线段PQ（如图
）。此时P、Q的水平距离为$6-3=3$，竖直距离为4，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
(2) 运动t秒时，$DP=t$，$AQ=0.5t$，因此$BQ=AB-AQ=8-0.5t$，P、Q的水平距离为$t-0.5t=0.5t$。
△PQB以PQ为腰，分两种情况讨论：
① 当$PQ=BQ$时：
由勾股定理得$PQ^2=(0.5t)^2+4^2$，列方程：
$(0.5t)^2+4^2=(8-0.5t)^2$
展开化简得$16=64-8t$，解得$t=6$，符合$0＜t＜8$的要求。
② 当$PQ=BP$时：
此时点P在BQ的垂直平分线上，即$BQ=2CP$（$CP=8-t$），列方程：
$8-0.5t=2(8-t)$
展开化简得$1.5t=8$，解得$t=\frac{16}{3}$，符合$0＜t＜8$的要求。
【答案】
(1)
，PQ的长度为$\boxed{5}$；(2) t为$\boxed{6}$或$\boxed{\frac{16}{3}}$时，△PQB是以PQ为腰的等腰三角形。
【知识点】
勾股定理；等腰三角形性质；分类讨论
【点评】
本题结合网格动点考查勾股定理和等腰三角形的应用，解题核心是对等腰三角形的腰进行分类讨论，同时要验证解是否符合运动的时间限制，能较好锻炼学生的逻辑思维和方程计算能力。
【难度系数】
0.6
