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8. 如图 3-2,长方形的长为 $a$,宽为 $b$。
(1)用含 $a,b$ 的代数式表示图中阴影部分的面积 $S$。
(2)当 $a=5\ \mathrm{cm},b=2\ \mathrm{cm}$ 时,求阴影部分面积 $S$ 的值(结果用含有 $π$ 的代数式表示)。
(1)用含 $a,b$ 的代数式表示图中阴影部分的面积 $S$。
(2)当 $a=5\ \mathrm{cm},b=2\ \mathrm{cm}$ 时,求阴影部分面积 $S$ 的值(结果用含有 $π$ 的代数式表示)。
答案
8. 解:(1)$S=ab-\frac{1}{2}π(\frac{b}{2})^2-\frac{1}{4}πb^2=ab-\frac{πb^2}{8}-\frac{πb^2}{4}=ab-\frac{3πb^2}{8}$。
(2)当$a=5\ \mathrm{cm},b=2\ \mathrm{cm}$时,$S=ab-\frac{3πb^2}{8}=5×2-\frac{3π×2^2}{8}=10-\frac{3π}{2}(\mathrm{cm}^2)$。
(2)当$a=5\ \mathrm{cm},b=2\ \mathrm{cm}$时,$S=ab-\frac{3πb^2}{8}=5×2-\frac{3π×2^2}{8}=10-\frac{3π}{2}(\mathrm{cm}^2)$。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，采用“整体减空白”的割补法求解：①先计算整体长方形的面积；②再识别两个空白部分的图形：左侧空白是直径为$b$的半圆，右侧空白是半径为$b$的四分之一圆，分别计算两个空白部分的面积；③用长方形面积减去两个空白面积的和，即可得到阴影面积。第二问只需将$a$、$b$的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形的面积为：$S_{\mathrm{长方形}}=ab$
左侧空白是直径为$b$的半圆，半径$r_1=\frac{b}{2}$，半圆面积为：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
右侧空白是半径为$b$的四分之一圆，面积为：
$S_{\mathrm{四分之一圆}}=\frac{1}{4}π r_2^2=\frac{1}{4}π b^2=\frac{2π b^2}{8}$
阴影面积等于长方形面积减去两个空白面积：
$S=ab-\frac{π b^2}{8}-\frac{2π b^2}{8}=ab-\frac{3π b^2}{8}$
(2) 把$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$代入$S=ab-\frac{3π b^2}{8}$得：
$S=5×2-\frac{3π×2^2}{8}=10-\frac{12π}{8}=10-\frac{3π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=ab-\dfrac{3π b^2}{8}}$
(2) $\boldsymbol{S=10-\dfrac{3π}{2}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
割补法求面积、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心思路是利用割补法将不规则面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确判断空白图形的类型及对应参数，代入计算时要注意运算顺序和化简的准确性。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，采用“整体减空白”的割补法求解：①先计算整体长方形的面积；②再识别两个空白部分的图形：左侧空白是直径为$b$的半圆，右侧空白是半径为$b$的四分之一圆，分别计算两个空白部分的面积；③用长方形面积减去两个空白面积的和，即可得到阴影面积。第二问只需将$a$、$b$的数值代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 长方形的面积为：$S_{\mathrm{长方形}}=ab$
左侧空白是直径为$b$的半圆，半径$r_1=\frac{b}{2}$，半圆面积为：
$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r_1^2=\frac{1}{2}π×(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$
右侧空白是半径为$b$的四分之一圆，面积为：
$S_{\mathrm{四分之一圆}}=\frac{1}{4}π r_2^2=\frac{1}{4}π b^2=\frac{2π b^2}{8}$
阴影面积等于长方形面积减去两个空白面积：
$S=ab-\frac{π b^2}{8}-\frac{2π b^2}{8}=ab-\frac{3π b^2}{8}$
(2) 把$a=5\ \mathrm{cm}$，$b=2\ \mathrm{cm}$代入$S=ab-\frac{3π b^2}{8}$得：
$S=5×2-\frac{3π×2^2}{8}=10-\frac{12π}{8}=10-\frac{3π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
(1) $\boldsymbol{S=ab-\dfrac{3π b^2}{8}}$
(2) $\boldsymbol{S=10-\dfrac{3π}{2}\ \mathrm{cm}^2}$
【知识点】
割补法求面积、圆的面积计算、代数式求值
【点评】
本题考查不规则图形面积的计算，核心思路是利用割补法将不规则面积转化为规则图形面积的和差，解题时需准确判断空白图形的类型及对应参数，代入计算时要注意运算顺序和化简的准确性。
【难度系数】
0.7
9. 某房子建筑平面图如图 3-3(单位:m):
(1)用含有 x,y 的代数式表示地面面积(写出必要的过程,结果保留最简形式);
(2)开发商想把所有房间的地面都铺上地砖,已知每平方米地砖费用为 80 元,则当 x=4,y=3 时,铺地砖的总费用是多少元?
图 3-3
(1)用含有 x,y 的代数式表示地面面积(写出必要的过程,结果保留最简形式);
(2)开发商想把所有房间的地面都铺上地砖,已知每平方米地砖费用为 80 元,则当 x=4,y=3 时,铺地砖的总费用是多少元?
图 3-3
答案
9. 解:(1)地面面积为:$(14-1-4)x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+3y$
$=9x+5x-10+4y+8+3y$
$=14x+7y-2(\mathrm{m}^2)$。
(2)当$x=4,y=3$时,
$14x+7y-2$
$=14×4+7×3-2$
$=56+21-2$
$=75(\mathrm{m}^2)$,
$80×75=6\ 000$(元),
即铺地砖的总费用是6 000元。
$=9x+5x-10+4y+8+3y$
$=14x+7y-2(\mathrm{m}^2)$。
(2)当$x=4,y=3$时,
$14x+7y-2$
$=14×4+7×3-2$
$=56+21-2$
$=75(\mathrm{m}^2)$,
$80×75=6\ 000$(元),
即铺地砖的总费用是6 000元。
解析
【分析】
(1)求地面总面积可采用分割法，将整体地面拆分为客厅、厨房、卧室、卫生间4个长方形区域，先根据图中标注的长度分别确定每个长方形的长和宽，再依据长方形面积公式计算各区域面积，最后将四个区域面积相加，合并同类项化简为最简代数式即可。
(2)第二问属于代数式求值问题，先将x=4、y=3代入第一问得到的总面积代数式中，算出地面的实际总面积，再用总面积乘每平方米地砖的费用，即可得到总费用。
【解析】
(1)分别计算四个区域的面积再求和：
客厅面积：长为$14-1-4=9\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为$9x\ \mathrm{m}^2$；
厨房面积：长为$4+1=5\ \mathrm{m}$，宽为$(x-2)\ \mathrm{m}$，面积为$5(x-2)\ \mathrm{m}^2$；
卧室面积：长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$(y+2)\ \mathrm{m}$，面积为$4(y+2)\ \mathrm{m}^2$；
卫生间面积：长为$3\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，面积为$3y\ \mathrm{m}^2$。
则地面总面积为：
$\begin{aligned}&(14-1-4)x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+3y\\=&9x+5x-10+4y+8+3y\\=&14x+7y-2(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2)当$x=4,y=3$时，代入总面积代数式：
$\begin{aligned}14x+7y-2&=14×4+7×3-2\\&=56+21-2\\&=75(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
铺地砖总费用为：$80×75=6000$（元）
【答案】
(1)地面面积为$\boldsymbol{(14x+7y-2)\ \mathrm{m}^2}$；
(2)铺地砖的总费用是$\boldsymbol{6000}$元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查组合图形的面积计算，解题的核心是准确识别图形各部分的长度关系，正确拆分图形计算面积，同时也考查了代数运算的准确性，是结合几何与代数的基础应用题。
【难度系数】
0.7
(1)求地面总面积可采用分割法，将整体地面拆分为客厅、厨房、卧室、卫生间4个长方形区域，先根据图中标注的长度分别确定每个长方形的长和宽，再依据长方形面积公式计算各区域面积，最后将四个区域面积相加，合并同类项化简为最简代数式即可。
(2)第二问属于代数式求值问题，先将x=4、y=3代入第一问得到的总面积代数式中，算出地面的实际总面积，再用总面积乘每平方米地砖的费用，即可得到总费用。
【解析】
(1)分别计算四个区域的面积再求和：
客厅面积：长为$14-1-4=9\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为$9x\ \mathrm{m}^2$；
厨房面积：长为$4+1=5\ \mathrm{m}$，宽为$(x-2)\ \mathrm{m}$，面积为$5(x-2)\ \mathrm{m}^2$；
卧室面积：长为$4\ \mathrm{m}$，宽为$(y+2)\ \mathrm{m}$，面积为$4(y+2)\ \mathrm{m}^2$；
卫生间面积：长为$3\ \mathrm{m}$，宽为$y\ \mathrm{m}$，面积为$3y\ \mathrm{m}^2$。
则地面总面积为：
$\begin{aligned}&(14-1-4)x+(4+1)(x-2)+4(y+2)+3y\\=&9x+5x-10+4y+8+3y\\=&14x+7y-2(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
(2)当$x=4,y=3$时，代入总面积代数式：
$\begin{aligned}14x+7y-2&=14×4+7×3-2\\&=56+21-2\\&=75(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
铺地砖总费用为：$80×75=6000$（元）
【答案】
(1)地面面积为$\boldsymbol{(14x+7y-2)\ \mathrm{m}^2}$；
(2)铺地砖的总费用是$\boldsymbol{6000}$元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题结合生活实际考查组合图形的面积计算，解题的核心是准确识别图形各部分的长度关系，正确拆分图形计算面积，同时也考查了代数运算的准确性，是结合几何与代数的基础应用题。
【难度系数】
0.7
10. 梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴交流。
答案
解：以北师大版七年级上册《有理数及其运算》章节为例，全章知识结构可梳理如下：
1. 有理数基础概念
① 有理数定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数
② 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，任意有理数都可以用数轴上的点表示
③ 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a，0的相反数是0
④ 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，性质为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
⑤ 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小
2. 有理数运算
① 运算法则：包含加法、减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法、除法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）、乘方（求n个相同因数a的积的运算）的对应计算规则
② 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
③ 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先计算括号内的部分，同级运算从左到右依次计算
3. 拓展内容：科学记数法，将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中$1≤ a＜10$，n为正整数
1. 有理数基础概念
① 有理数定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数
② 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，任意有理数都可以用数轴上的点表示
③ 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a，0的相反数是0
④ 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，性质为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
⑤ 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小
2. 有理数运算
① 运算法则：包含加法、减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法、除法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）、乘方（求n个相同因数a的积的运算）的对应计算规则
② 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
③ 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先计算括号内的部分，同级运算从左到右依次计算
3. 拓展内容：科学记数法，将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中$1≤ a＜10$，n为正整数
解析
【分析】
梳理章节知识结构需遵循“从基础到应用、从概念到运算”的内在逻辑：首先明确整章的核心主题，再将内容拆分为几个逻辑独立的大模块，接着把每个模块下的细分知识点按从属关系逐一补充完整，最后核对核心知识点无遗漏，保证结构清晰易懂，方便记忆和交流。
【解析】
我们以北师大版七年级上册《有理数及其运算》章节为例，按以下步骤梳理：
1. 拆分核心模块：将整章内容分为有理数基础概念、有理数运算、拓展应用三个逻辑模块；
2. 填充基础概念模块：依次整理有理数的定义与分类、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较的核心定义、性质；
3. 填充运算模块：分别梳理加减乘除乘方的运算法则、5种常用运算律、有理数混合运算的优先级规则；
4. 填充拓展应用模块：整理科学记数法的表示规则及取值要求。
【答案】
解：以北师大版七年级上册《有理数及其运算》章节为例，全章知识结构可梳理如下：
1. 有理数基础概念
① 有理数定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数
② 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，任意有理数都可以用数轴上的点表示
③ 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a，0的相反数是0
④ 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，性质为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
⑤ 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小
2. 有理数运算
① 运算法则：包含加法、减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法、除法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）、乘方（求n个相同因数a的积的运算）的对应计算规则
② 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
③ 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先计算括号内的部分，同级运算从左到右依次计算
3. 拓展内容：科学记数法，将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中$1≤ a＜10$，n为正整数
【知识点】
1. 有理数基本概念
2. 有理数的运算
3. 科学记数法
【点评】
本题属于知识归纳类题目，引导学生自主梳理整章内容，理清知识点之间的逻辑关联，建立完整的知识体系，同时能有效提升归纳总结与结构化思维能力。
【难度系数】
0.8
梳理章节知识结构需遵循“从基础到应用、从概念到运算”的内在逻辑：首先明确整章的核心主题，再将内容拆分为几个逻辑独立的大模块，接着把每个模块下的细分知识点按从属关系逐一补充完整，最后核对核心知识点无遗漏，保证结构清晰易懂，方便记忆和交流。
【解析】
我们以北师大版七年级上册《有理数及其运算》章节为例，按以下步骤梳理：
1. 拆分核心模块：将整章内容分为有理数基础概念、有理数运算、拓展应用三个逻辑模块；
2. 填充基础概念模块：依次整理有理数的定义与分类、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较的核心定义、性质；
3. 填充运算模块：分别梳理加减乘除乘方的运算法则、5种常用运算律、有理数混合运算的优先级规则；
4. 填充拓展应用模块：整理科学记数法的表示规则及取值要求。
【答案】
解：以北师大版七年级上册《有理数及其运算》章节为例，全章知识结构可梳理如下：
1. 有理数基础概念
① 有理数定义与分类：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数
② 数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线，任意有理数都可以用数轴上的点表示
③ 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，数a的相反数是-a，0的相反数是0
④ 绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离，性质为：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
⑤ 有理数大小比较：数轴上右边的数总比左边的数大；正数＞0＞负数，两个负数比较，绝对值大的反而小
2. 有理数运算
① 运算法则：包含加法、减法（减去一个数等于加上这个数的相反数）、乘法、除法（除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数）、乘方（求n个相同因数a的积的运算）的对应计算规则
② 运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律
③ 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先计算括号内的部分，同级运算从左到右依次计算
3. 拓展内容：科学记数法，将大于10的数表示为$a×10^n$的形式，其中$1≤ a＜10$，n为正整数
【知识点】
1. 有理数基本概念
2. 有理数的运算
3. 科学记数法
【点评】
本题属于知识归纳类题目，引导学生自主梳理整章内容，理清知识点之间的逻辑关联，建立完整的知识体系，同时能有效提升归纳总结与结构化思维能力。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
11. 定义:若$a+b=2$,则称$a$与$b$是关于1的平衡数。
(1)4与
(2)若$a=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4, b=2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$,判断$a$与$b$是不是关于1的平衡数,并说明理由。
11. 定义:若$a+b=2$,则称$a$与$b$是关于1的平衡数。
(1)4与
-2
是关于1的平衡数,$3-x$与$x-1$
是关于1的平衡数(第二个空用含$x$的代数式表示)。(2)若$a=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4, b=2x - [3x - (4x + x^2) - 2]$,判断$a$与$b$是不是关于1的平衡数,并说明理由。
答案
11. 解:(1)$-2$ $x-1$ 解析:设4与$a$是关于1的平衡数,则$4+a=2$,解得$a=-2$,
所以4与$-2$是关于1的平衡数。
设$3-x$与$b$是关于1的平衡数,则$3-x+b=2$,解得$b=2-(3-x)=x-1$,
所以$3-x$与$x-1$是关于1的平衡数。
(2)$a$与$b$不是关于1的平衡数,理由如下:
因为$a=2x^2-3(x^2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,所以$a+b=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6≠2$,
所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
所以4与$-2$是关于1的平衡数。
设$3-x$与$b$是关于1的平衡数,则$3-x+b=2$,解得$b=2-(3-x)=x-1$,
所以$3-x$与$x-1$是关于1的平衡数。
(2)$a$与$b$不是关于1的平衡数,理由如下:
因为$a=2x^2-3(x^2+x)+4,b=2x-[3x-(4x+x^2)-2]$,所以$a+b=2x^2-3(x^2+x)+4+2x-[3x-(4x+x^2)-2]=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2=6≠2$,
所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
解析
【分析】
首先明确题目给出的新定义规则：若两个数的和为2，则这两个数是关于1的平衡数。第一问已知其中一个平衡数，直接根据定义用2减去已知数，即可求出对应的另一个平衡数；第二问要判断a与b是否符合要求，只需先化简a、b的表达式，再计算a+b的结果，若结果等于2则是关于1的平衡数，否则不是，计算过程中要严格遵循去括号、合并同类项的法则，注意符号变化。
【解析】
(1) 设4对应的关于1的平衡数为$a$，根据定义可得：
$4+a=2$，解得$a=2-4=-2$；
设$3-x$对应的关于1的平衡数为$b$，根据定义可得：
$3-x+b=2$，解得$b=2-(3-x)=x-1$。
(2) $a$与$b$不是关于1的平衡数，理由如下：
计算$a+b$的结果：
$\begin{aligned}a+b&=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4+2x - [3x - (4x + x^2) - 2]\\&=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2\\&=6\end{aligned}$
因为$6≠2$，不符合关于1的平衡数的定义，所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{x-1}$
(2) $\boldsymbol{a与b不是关于1的平衡数}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题结合新定义考查整式的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，熟练掌握去括号、合并同类项的操作，计算时需注意多重括号的去括号顺序及符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
首先明确题目给出的新定义规则：若两个数的和为2，则这两个数是关于1的平衡数。第一问已知其中一个平衡数，直接根据定义用2减去已知数，即可求出对应的另一个平衡数；第二问要判断a与b是否符合要求，只需先化简a、b的表达式，再计算a+b的结果，若结果等于2则是关于1的平衡数，否则不是，计算过程中要严格遵循去括号、合并同类项的法则，注意符号变化。
【解析】
(1) 设4对应的关于1的平衡数为$a$，根据定义可得：
$4+a=2$，解得$a=2-4=-2$；
设$3-x$对应的关于1的平衡数为$b$，根据定义可得：
$3-x+b=2$，解得$b=2-(3-x)=x-1$。
(2) $a$与$b$不是关于1的平衡数，理由如下：
计算$a+b$的结果：
$\begin{aligned}a+b&=2x^2 - 3(x^2 + x) + 4+2x - [3x - (4x + x^2) - 2]\\&=2x^2-3x^2-3x+4+2x-3x+4x+x^2+2\\&=6\end{aligned}$
因为$6≠2$，不符合关于1的平衡数的定义，所以$a$与$b$不是关于1的平衡数。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{x-1}$
(2) $\boldsymbol{a与b不是关于1的平衡数}$
【知识点】
新定义运算，整式的加减，去括号法则
【点评】
本题结合新定义考查整式的运算，解题核心是准确理解新定义的规则，熟练掌握去括号、合并同类项的操作，计算时需注意多重括号的去括号顺序及符号变化，避免因符号出错导致结果错误。
【难度系数】
0.7
12. 如图3-4,在一条数轴上,点A,B,C表示的数分别是$2m+1$,$3-m$,$7-3m$。
(1)求AC的长度(用含$m$的代数式表示)。
(2)若$AB=10$,求$BC$的长度。
(3)小明认为$2AB-3BC$的值与$m$无关,你认为他的说法正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明理由。
图3-4
(1)求AC的长度(用含$m$的代数式表示)。
(2)若$AB=10$,求$BC$的长度。
(3)小明认为$2AB-3BC$的值与$m$无关,你认为他的说法正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明理由。
图3-4
答案
12. 解:(1)$AC=(2m+1)-(7-3m)$
$=2m+1-7+3m$
$=5m-6$。
(2)因为$AB=(2m+1)-(3-m)$
$=2m+1-3+m$
$=3m-2=10$,
所以$m=4$。
所以$BC=(3-m)-(7-3m)$
$=3-m-7+3m$
$=2m-4$。
因为$m=4$,
所以$BC=2m-4=2×4-4=4$。
(3)正确。证明如下:由(2)知$2AB-3BC=2(3m-2)-3(2m-4)$
$=6m-4-6m+12$
$=8$,
所以小明的说法正确。
$=2m+1-7+3m$
$=5m-6$。
(2)因为$AB=(2m+1)-(3-m)$
$=2m+1-3+m$
$=3m-2=10$,
所以$m=4$。
所以$BC=(3-m)-(7-3m)$
$=3-m-7+3m$
$=2m-4$。
因为$m=4$,
所以$BC=2m-4=2×4-4=4$。
(3)正确。证明如下:由(2)知$2AB-3BC=2(3m-2)-3(2m-4)$
$=6m-4-6m+12$
$=8$,
所以小明的说法正确。
解析
【分析】
解题思路基于数轴的基本性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。
(1)求AC长度：找到A、C对应的数，A在右侧，直接用A的数减C的数，再合并同类项化简即可。
(2)求BC长度：先按同样方法写出AB的表达式，结合AB=10列方程求出m的值，再写出BC的表达式，代入m的值计算即可。
(3)判断2AB-3BC是否与m有关：将前两问得到的AB、BC的代数式代入式子，合并同类项后，若结果不含m则说明与m无关，反之则有关。
【解析】
(1) 数轴上点A在点C右侧，因此AC的长度为A表示的数减去C表示的数：
$AC=(2m+1)-(7-3m)$
$=2m+1-7+3m$
$=5m-6$
(2) 先计算AB的长度：点A在点B右侧，因此
$AB=(2m+1)-(3-m)$
$=2m+1-3+m$
$=3m-2$
已知$AB=10$，因此列方程：
$3m-2=10$
解得$m=4$
再计算BC的长度：点B在点C右侧，因此
$BC=(3-m)-(7-3m)$
$=3-m-7+3m$
$=2m-4$
将$m=4$代入得：$BC=2×4-4=4$
(3) 小明的说法正确，证明如下：
将$AB=3m-2$，$BC=2m-4$代入$2AB-3BC$得：
$2AB-3BC=2(3m-2)-3(2m-4)$
$=6m-4-6m+12$
$=8$
化简结果为常数8，不含m，因此$2AB-3BC$的值与m无关，小明的说法正确。
【答案】
(1) $5m-6$
(2) $4$
(3) 正确，$2AB-3BC$的值为定值8，与m无关。
【知识点】
数轴两点距离计算，一元一次方程求解，整式加减运算
【点评】
本题结合数轴考察代数运算能力，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，整式化简时注意去括号的符号规则，是数轴与整式运算结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题思路基于数轴的基本性质：数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数，两点间的距离等于右侧点表示的数减去左侧点表示的数。
(1)求AC长度：找到A、C对应的数，A在右侧，直接用A的数减C的数，再合并同类项化简即可。
(2)求BC长度：先按同样方法写出AB的表达式，结合AB=10列方程求出m的值，再写出BC的表达式，代入m的值计算即可。
(3)判断2AB-3BC是否与m有关：将前两问得到的AB、BC的代数式代入式子，合并同类项后，若结果不含m则说明与m无关，反之则有关。
【解析】
(1) 数轴上点A在点C右侧，因此AC的长度为A表示的数减去C表示的数：
$AC=(2m+1)-(7-3m)$
$=2m+1-7+3m$
$=5m-6$
(2) 先计算AB的长度：点A在点B右侧，因此
$AB=(2m+1)-(3-m)$
$=2m+1-3+m$
$=3m-2$
已知$AB=10$，因此列方程：
$3m-2=10$
解得$m=4$
再计算BC的长度：点B在点C右侧，因此
$BC=(3-m)-(7-3m)$
$=3-m-7+3m$
$=2m-4$
将$m=4$代入得：$BC=2×4-4=4$
(3) 小明的说法正确，证明如下：
将$AB=3m-2$，$BC=2m-4$代入$2AB-3BC$得：
$2AB-3BC=2(3m-2)-3(2m-4)$
$=6m-4-6m+12$
$=8$
化简结果为常数8，不含m，因此$2AB-3BC$的值与m无关，小明的说法正确。
【答案】
(1) $5m-6$
(2) $4$
(3) 正确，$2AB-3BC$的值为定值8，与m无关。
【知识点】
数轴两点距离计算，一元一次方程求解，整式加减运算
【点评】
本题结合数轴考察代数运算能力，核心是掌握数轴上两点距离的计算规则，整式化简时注意去括号的符号规则，是数轴与整式运算结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
