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15.(青岛中考)小磊和小明练习打网球. 在一次击球过程中,小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作是二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为2,纵坐标$y$大于或等于1.8时,$p$的取值范围为
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O为原点,OA在y轴上,球的运动路线可以看作是二次函数$y=ax^2+bx+1.8$($a,b$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离,图象经过点$(2,3.2),(4,4.2)$.
信息二:球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)($0≤t≤1.6$)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:
(1)求$y$与$x$的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当$t$为1.6秒时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数$y=-0.02x^2+px+m$($p,m$为常数)图象的一部分,其中$y$(米)是球的高度,$x$(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标$x$为2,纵坐标$y$大于或等于1.8时,$p$的取值范围为
p≤0.36
.(直接写出结果)答案
15. 解:(1)$\because$ 图象经过点$(2,3.2)$,$(4,4.2)$,
$\therefore \begin{cases}4a+2b+1.8=3.2,\\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.05,\\b=0.8,\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$.
(2) 由表格,可知$t=0$时,$x=0$,
$\therefore$ 设球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)的关系式为$x=kt(k≠0)$,
代入$(0.4,4)$,得$0.4k=4$,解得$k=10$,
$\therefore x=10t$.
对于$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$,$a=-0.05＜0$,
$\therefore$ 二次函数图象开口向下.
$\because$ 对称轴为直线$x=-\frac{0.8}{2×(-0.05)}=8$,
$\therefore$ 当$x=8$时,$y_{\mathrm{max}}=-0.05×8^2+0.8×8+1.8=5$,
此时$10t=8$,解得$t=0.8$,
$\therefore$ 网球被击出后经过0.8秒达到最大高度,最大高度是5米.
(3) 由题意得,当$t=1.6$时,$x=1.6×10=16$,
$\therefore y=-0.05×16^2+0.8×16+1.8=1.8$,
$\therefore$ 击球点位置为$(16,1.8)$.
将$(16,1.8)$代入$y=-0.02x^2+px+m$,
得$-0.02×16^2+16p+m=1.8$,
$\therefore m=6.92-16p$,
$\therefore y=-0.02x^2+px+6.92-16p$.
$\because x=2$时,$y≥1.8$,
$\therefore -0.02×2^2+2p+6.92-16p≥1.8$,
解得$p≤0.36$.
答案:$p≤0.36$
$\therefore \begin{cases}4a+2b+1.8=3.2,\\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-0.05,\\b=0.8,\end{cases}$
$\therefore y$与$x$的函数关系式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$.
(2) 由表格,可知$t=0$时,$x=0$,
$\therefore$ 设球和原点的水平距离$x$(米)与时间$t$(秒)的关系式为$x=kt(k≠0)$,
代入$(0.4,4)$,得$0.4k=4$,解得$k=10$,
$\therefore x=10t$.
对于$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$,$a=-0.05＜0$,
$\therefore$ 二次函数图象开口向下.
$\because$ 对称轴为直线$x=-\frac{0.8}{2×(-0.05)}=8$,
$\therefore$ 当$x=8$时,$y_{\mathrm{max}}=-0.05×8^2+0.8×8+1.8=5$,
此时$10t=8$,解得$t=0.8$,
$\therefore$ 网球被击出后经过0.8秒达到最大高度,最大高度是5米.
(3) 由题意得,当$t=1.6$时,$x=1.6×10=16$,
$\therefore y=-0.05×16^2+0.8×16+1.8=1.8$,
$\therefore$ 击球点位置为$(16,1.8)$.
将$(16,1.8)$代入$y=-0.02x^2+px+m$,
得$-0.02×16^2+16p+m=1.8$,
$\therefore m=6.92-16p$,
$\therefore y=-0.02x^2+px+6.92-16p$.
$\because x=2$时,$y≥1.8$,
$\therefore -0.02×2^2+2p+6.92-16p≥1.8$,
解得$p≤0.36$.
答案:$p≤0.36$
16. (德州中考)已知抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$（$m,n$为常数）过点$(1,5)$。
(1)若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$。
①求该抛物线的解析式。
②已知$A(x_1,y_1),B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围。
(2)若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长。
(1)若该抛物线与$y$轴交于点$(0,-1)$。
①求该抛物线的解析式。
②已知$A(x_1,y_1),B(2,y_2)$在该抛物线上，若对于$3t-1＜x_1＜3t+2$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围。
(2)若对于任意实数$x$，都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$，此时抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$与直线$y=4$交于$M,N$两点，求$MN$的长。
答案
16. 解:(1) ①$\because$ 抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$过点$(1,5)$和$(0,-1)$,
$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+5x-1$.
②$\because$ 抛物线$y=x^2+5x-1$的对称轴为直线$x=-\frac{5}{2}$,
$\therefore B(2,y_2)$关于对称轴的对称点为点$B'(-7,y_2)$.
$\because$ 对于$3t-1＜x_1＜3t+2$,都有$y_1＞y_2$,
$\therefore 3t+2≤-7$或$3t-1≥2$,解得$t≤-3$或$t≥1$.
(2)$\because$ 抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$过点$(1,5)$,
$\therefore 1+2m+3+n=5$,则$n=1-2m$.
$\because$ 对于任意实数$x$,都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,
$\therefore x^2+2mx-1-2m≥0$对任意实数$x$都成立,
$\therefore \Delta=4m^2-4(-1-2m)≤0$,
$\therefore (m+1)^2≤0$,$\therefore m=-1$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+x+3$.
联立$y=x^2+x+3$与$y=4$,
得$x^2+x+3=4$,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore$ 交点$M,N$的横坐标分别为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
$\therefore \begin{cases}1+2m+3+n=5,\\n=-1,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=1,\\n=-1,\end{cases}$
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+5x-1$.
②$\because$ 抛物线$y=x^2+5x-1$的对称轴为直线$x=-\frac{5}{2}$,
$\therefore B(2,y_2)$关于对称轴的对称点为点$B'(-7,y_2)$.
$\because$ 对于$3t-1＜x_1＜3t+2$,都有$y_1＞y_2$,
$\therefore 3t+2≤-7$或$3t-1≥2$,解得$t≤-3$或$t≥1$.
(2)$\because$ 抛物线$y=x^2+(2m+3)x+n$过点$(1,5)$,
$\therefore 1+2m+3+n=5$,则$n=1-2m$.
$\because$ 对于任意实数$x$,都有$x^2+(2m+3)x+n≥3x+2$,
$\therefore x^2+2mx-1-2m≥0$对任意实数$x$都成立,
$\therefore \Delta=4m^2-4(-1-2m)≤0$,
$\therefore (m+1)^2≤0$,$\therefore m=-1$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为$y=x^2+x+3$.
联立$y=x^2+x+3$与$y=4$,
得$x^2+x+3=4$,解得$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore$ 交点$M,N$的横坐标分别为$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$和$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore MN=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}-\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$.
