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1. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15，则这两个三角形（
A.一定相似
B.不一定相似
C.一定不相似
D.无法判断
A
）A.一定相似
B.不一定相似
C.一定不相似
D.无法判断
答案
1. A 解析:
∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,
∴这个直角三角形的斜边长为5.
∵另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15,
∴$\frac{3}{9}=\frac{5}{15}$,
∴这两个直角三角形相似.故选 A.
∵一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,
∴这个直角三角形的斜边长为5.
∵另一个直角三角形一条直角边与斜边的长分别为9和15,
∴$\frac{3}{9}=\frac{5}{15}$,
∴这两个直角三角形相似.故选 A.
解析
【分析】
要判断两个直角三角形是否相似，我们可以按以下思路推导：第一步，先利用勾股定理求出仅已知两条直角边的直角三角形的斜边长，得到这个三角形的三边长度；第二步，将两个直角三角形的已知对应边作比，验证比例是否相等；第三步，结合直角三角形的直角为公共相等角，根据相似三角形的判定规则判断是否相似即可。
【解析】
解：
∵第一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
∴由勾股定理可得，该三角形的斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵另一个直角三角形一条直角边与斜边长分别为9和15，
∴计算对应边的比值可得：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$，即两个直角三角形的一组直角边和斜边对应成比例。
又
∵两个三角形均为直角三角形，直角均为90°相等，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，因此这两个三角形一定相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类考题，解题关键是先通过勾股定理求出未知边的长度，再准确对应两组边验证比例关系，做题时要注意边的对应性，避免对错边出现判断错误。
【难度系数】
0.8
要判断两个直角三角形是否相似，我们可以按以下思路推导：第一步，先利用勾股定理求出仅已知两条直角边的直角三角形的斜边长，得到这个三角形的三边长度；第二步，将两个直角三角形的已知对应边作比，验证比例是否相等；第三步，结合直角三角形的直角为公共相等角，根据相似三角形的判定规则判断是否相似即可。
【解析】
解：
∵第一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
∴由勾股定理可得，该三角形的斜边长为$\sqrt{3^2+4^2}=5$。
∵另一个直角三角形一条直角边与斜边长分别为9和15，
∴计算对应边的比值可得：$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$，即两个直角三角形的一组直角边和斜边对应成比例。
又
∵两个三角形均为直角三角形，直角均为90°相等，符合两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，因此这两个三角形一定相似。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类考题，解题关键是先通过勾股定理求出未知边的长度，再准确对应两组边验证比例关系，做题时要注意边的对应性，避免对错边出现判断错误。
【难度系数】
0.8
2. ★★ 如图，AB⊥CB于点B，AC⊥CD于点C，AB = 6，AC = 10，当AD =
$\frac{50}{3}$
时，△ABC∽△ACD.答案
2. $\frac{50}{3}$ 解析:
∵ $AB ⊥ CB,AC ⊥ CD,AB = 6,AC = 10$,
∴ $∠ B = ∠ACD=90°$,要使$△ABC∽△ACD$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$,即$\frac{6}{10}=\frac{10}{AD}$,解得$AD=\frac{50}{3}$.
∵ $AB ⊥ CB,AC ⊥ CD,AB = 6,AC = 10$,
∴ $∠ B = ∠ACD=90°$,要使$△ABC∽△ACD$,
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$,即$\frac{6}{10}=\frac{10}{AD}$,解得$AD=\frac{50}{3}$.
解析
【分析】首先观察图形可知△ABC和△ACD都是直角三角形，已知∠B和∠ACD均为90°，已经满足一组对应角相等。要使△ABC∽△ACD，根据相似三角形的判定定理，需让夹这组等角的两组对应边成比例，首先明确相似的顶点对应关系：△ABC∽△ACD时，对应顶点为A对应A、B对应C、C对应D，因此可得对应边的比例关系为$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，代入已知数值求解即可得到AD的长度。
【解析】
∵ $AB ⊥ CB$，$AC ⊥ CD$，
∴ $∠ B = ∠ACD=90°$，
要使$△ABC∽△ACD$，需满足夹等角的两组对应边成比例，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
将$AB = 6$，$AC = 10$代入比例式，得$\frac{6}{10}=\frac{10}{AD}$，
交叉相乘计算得：$6AD=100$，解得$AD=\frac{50}{3}$。
【答案】$\frac{50}{3}$
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例式计算
【点评】本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是准确识别相似三角形的对应边和对应关系，避免因对应边匹配错误列出错误比例式失分。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ $AB ⊥ CB$，$AC ⊥ CD$，
∴ $∠ B = ∠ACD=90°$，
要使$△ABC∽△ACD$，需满足夹等角的两组对应边成比例，即$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$，
将$AB = 6$，$AC = 10$代入比例式，得$\frac{6}{10}=\frac{10}{AD}$，
交叉相乘计算得：$6AD=100$，解得$AD=\frac{50}{3}$。
【答案】$\frac{50}{3}$
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例式计算
【点评】本题属于相似三角形应用的基础题，解题核心是准确识别相似三角形的对应边和对应关系，避免因对应边匹配错误列出错误比例式失分。
【难度系数】0.7
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$是$BC$上一点,已知$CD=1$,$AD=\sqrt{5}$,$AB=2\sqrt{5}$.求证:$\mathrm{Rt}△ ADC ∽ \mathrm{Rt}△ BAC$.
答案
3.
∵ $∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5}$,
∴ $AC=2$.
∵ $AB=2\sqrt{5}$,
∴ $\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.又
∵ $∠DCA=∠ACB=90°$,
∴ $\mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.
∵ $∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5}$,
∴ $AC=2$.
∵ $AB=2\sqrt{5}$,
∴ $\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.又
∵ $∠DCA=∠ACB=90°$,
∴ $\mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.
解析
【分析】
要证明两个直角三角形相似，首先观察到两个三角形有公共的直角∠C，因此只需验证对应边成比例即可完成证明。解题思路如下：第一步，先在Rt△ADC中，利用勾股定理求出未知边AC的长度；第二步，分别计算两组对应边的比值，确认比值相等；第三步，结合相等的直角∠C，根据相似三角形的判定定理得出相似结论，注意找对应边时不要混淆两个三角形的边的对应关系。
【解析】
证明：
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$。
已知$AB=2\sqrt{5}$，计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠ DCA=∠ ACB=90°$，
根据相似三角形判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ADC ∽ \mathrm{Rt}△BAC$。
【答案】
$\because ∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5}$,
$\therefore AC=2$.
$\because AB=2\sqrt{5}$,
$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.
又$\because ∠ DCA=∠ ACB=90°$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、直角三角形性质
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，核心考察勾股定理的应用和相似三角形判定定理的掌握，解题的关键是先通过勾股定理求出AC的长度，再正确找到对应边验证比例关系，解题时要注意对应边不要找错，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明两个直角三角形相似，首先观察到两个三角形有公共的直角∠C，因此只需验证对应边成比例即可完成证明。解题思路如下：第一步，先在Rt△ADC中，利用勾股定理求出未知边AC的长度；第二步，分别计算两组对应边的比值，确认比值相等；第三步，结合相等的直角∠C，根据相似三角形的判定定理得出相似结论，注意找对应边时不要混淆两个三角形的边的对应关系。
【解析】
证明：
在$\mathrm{Rt}△ADC$中，$∠ C=90°$，$CD=1$，$AD=\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=\sqrt{(\sqrt{5})^2-1^2}=\sqrt{5-1}=2$。
已知$AB=2\sqrt{5}$，计算对应边比值：
$\frac{CD}{AC}=\frac{1}{2}$，$\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$，因此$\frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
又$\because ∠ DCA=∠ ACB=90°$，
根据相似三角形判定定理，可得$\mathrm{Rt}△ADC ∽ \mathrm{Rt}△BAC$。
【答案】
$\because ∠ C=90°,CD=1,AD=\sqrt{5}$,
$\therefore AC=2$.
$\because AB=2\sqrt{5}$,
$\therefore \frac{CD}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.
又$\because ∠ DCA=∠ ACB=90°$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ADC∽\mathrm{Rt}△BAC$.
【知识点】
勾股定理、相似三角形的判定、直角三角形性质
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，核心考察勾股定理的应用和相似三角形判定定理的掌握，解题的关键是先通过勾股定理求出AC的长度，再正确找到对应边验证比例关系，解题时要注意对应边不要找错，属于必须掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 下列条件,不能判定$△ ABC$与$△ DEF$相似的是 (
A.$∠ C=∠ F=90°, ∠ A=55°, ∠ D=35°$
B.$∠ C=∠ F=90°, AB=10, BC=6, DE=15, EF=9$
C.$∠ C=∠ F=90°, \frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
D.$∠ B=∠ E=90°, \frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$
D
)A.$∠ C=∠ F=90°, ∠ A=55°, ∠ D=35°$
B.$∠ C=∠ F=90°, AB=10, BC=6, DE=15, EF=9$
C.$∠ C=∠ F=90°, \frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$
D.$∠ B=∠ E=90°, \frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$
答案
4. D 解析:A.相似:
∵ $∠ A = 55°$,
∴ $∠ B = 90° - 55° = 35°$.
∵ $∠ D=35°$,
∴ $∠ B = ∠ D$.
∵ $∠ C = ∠ F$,
∴ $△ ABC∽△EDF$;
B.相似:
∵ $AB = 10, BC = 6, DE = 15, EF = 9$,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$,$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.又
∵ $∠ C = ∠ F$,
∴ $△ ABC∽△DEF$;
C.相似:
∵ $∠ C = ∠ F=90°$,$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$,
∴ $△ ABC∽△DEF$;D.不相似:
∵ $∠ B = ∠ E=90°$,$\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$,不满足两个三角形相似的条件,故不相似.故选 D.
∵ $∠ A = 55°$,
∴ $∠ B = 90° - 55° = 35°$.
∵ $∠ D=35°$,
∴ $∠ B = ∠ D$.
∵ $∠ C = ∠ F$,
∴ $△ ABC∽△EDF$;
B.相似:
∵ $AB = 10, BC = 6, DE = 15, EF = 9$,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$,$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$,
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$.又
∵ $∠ C = ∠ F$,
∴ $△ ABC∽△DEF$;
C.相似:
∵ $∠ C = ∠ F=90°$,$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$,
∴ $△ ABC∽△DEF$;D.不相似:
∵ $∠ B = ∠ E=90°$,$\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$,不满足两个三角形相似的条件,故不相似.故选 D.
解析
【分析】
本题要求选出不能判定两个直角三角形相似的选项，解题思路为：结合相似三角形的判定定理（包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例，以及直角三角形特有的斜边直角边对应成比例等判定规则），对四个选项逐一验证是否满足相似判定条件，最终选出不符合要求的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 能判定相似：
∵ $∠C=∠F=90°$，$∠A=55°$，
∴ $∠B=90°-55°=35°$，
又
∵ $∠D=35°$，
∴ $∠B=∠D$，
结合$∠C=∠F$，两角对应相等，故$△ABC∽△EDF$。
B. 能判定相似：
∵ $AB=10$，$BC=6$，$DE=15$，$EF=9$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
又
∵ $∠C=∠F=90°$，两边对应成比例且夹角相等，故$△ABC∽△DEF$。
C. 能判定相似：
∵ $∠C=∠F=90°$，$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，两组直角边对应成比例且夹角相等，故$△ABC∽△DEF$。
D. 不能判定相似：
∵ $∠B=∠E=90°$，给出的比例式$\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$不满足相似三角形判定的对应边成比例要求，无对应判定定理支持，故无法判定两三角形相似。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定方法，解题时需准确对应两个三角形的角和边的关系，熟练掌握相似判定定理是解题核心，要注意避免因边的对应关系混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.75
本题要求选出不能判定两个直角三角形相似的选项，解题思路为：结合相似三角形的判定定理（包括两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例，以及直角三角形特有的斜边直角边对应成比例等判定规则），对四个选项逐一验证是否满足相似判定条件，最终选出不符合要求的选项。
【解析】
逐一分析各选项：
A. 能判定相似：
∵ $∠C=∠F=90°$，$∠A=55°$，
∴ $∠B=90°-55°=35°$，
又
∵ $∠D=35°$，
∴ $∠B=∠D$，
结合$∠C=∠F$，两角对应相等，故$△ABC∽△EDF$。
B. 能判定相似：
∵ $AB=10$，$BC=6$，$DE=15$，$EF=9$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$，
又
∵ $∠C=∠F=90°$，两边对应成比例且夹角相等，故$△ABC∽△DEF$。
C. 能判定相似：
∵ $∠C=∠F=90°$，$\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$，两组直角边对应成比例且夹角相等，故$△ABC∽△DEF$。
D. 不能判定相似：
∵ $∠B=∠E=90°$，给出的比例式$\frac{AB}{EF}=\frac{DF}{AC}$不满足相似三角形判定的对应边成比例要求，无对应判定定理支持，故无法判定两三角形相似。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 直角三角形的性质
【点评】
本题考查直角三角形相似的判定方法，解题时需准确对应两个三角形的角和边的关系，熟练掌握相似判定定理是解题核心，要注意避免因边的对应关系混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.75
5. |教材P101习题T10变式（苏州中考）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：$△ ABE ∽ △ DFA$；
(2)若$AB=6$，$BC=4$，求$DF$的长.
(1)求证：$△ ABE ∽ △ DFA$；
(2)若$AB=6$，$BC=4$，求$DF$的长.
答案
5. (1)
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $∠ B = 90°, AD // BC$,
∴ $∠ AEB= ∠ DAF$.
∵ $DF ⊥ AE$,
∴ $∠ DFA = 90°$,
∴ $∠ B = ∠ DFA$,
∴ $△ ABE∽△DFA$.
(2)
∵ $△ ABE∽△DFA$,
∴ $\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$.
∵ $BC = 4, E$ 是 $BC$ 的中点,
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$,
∴ 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, $AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{6^2+2^2} = 2 \sqrt{10}$. 又
∵ $AD = BC = 4$,
∴ $\frac{6}{DF}=\frac{2 \sqrt{10}}{4}$,
∴ $DF=\frac{6 \sqrt{10}}{5}$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是矩形,
∴ $∠ B = 90°, AD // BC$,
∴ $∠ AEB= ∠ DAF$.
∵ $DF ⊥ AE$,
∴ $∠ DFA = 90°$,
∴ $∠ B = ∠ DFA$,
∴ $△ ABE∽△DFA$.
(2)
∵ $△ ABE∽△DFA$,
∴ $\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$.
∵ $BC = 4, E$ 是 $BC$ 的中点,
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$,
∴ 在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 中, $AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{6^2+2^2} = 2 \sqrt{10}$. 又
∵ $AD = BC = 4$,
∴ $\frac{6}{DF}=\frac{2 \sqrt{10}}{4}$,
∴ $DF=\frac{6 \sqrt{10}}{5}$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABE∽△DFA，首先从矩形性质入手，可得∠B为直角且AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠DAF；再结合DF⊥AE得到∠DFA为直角，即可得到两组对应角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证。
(2) 求DF的长可利用相似三角形对应边成比例求解：先根据E是BC中点求出BE的长度，再用勾股定理算出AE的长，最后将已知边长代入相似的比例式，即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = 90°，AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠DAF。
∵ DF ⊥ AE，
∴ ∠DFA = 90°，
∴ ∠B = ∠DFA，
∴ △ABE ∽ △DFA。
(2) 解：
∵ △ABE ∽ △DFA，
∴ $\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$。
∵ BC = 4，E是BC的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{6^2+2^2} = 2\sqrt{10}$，
又
∵ AD = BC = 4，
代入比例式得：$\frac{6}{DF}=\frac{2\sqrt{10}}{4}$，
解得：$DF=\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{DF=\frac{6\sqrt{10}}{5}}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与相似三角形结合的常规题型，核心是利用矩形的角、边性质推导相似所需的条件，再结合相似性质和勾股定理计算线段长度，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABE∽△DFA，首先从矩形性质入手，可得∠B为直角且AD//BC，进而推出内错角∠AEB=∠DAF；再结合DF⊥AE得到∠DFA为直角，即可得到两组对应角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证。
(2) 求DF的长可利用相似三角形对应边成比例求解：先根据E是BC中点求出BE的长度，再用勾股定理算出AE的长，最后将已知边长代入相似的比例式，即可求出DF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠B = 90°，AD // BC，
∴ ∠AEB = ∠DAF。
∵ DF ⊥ AE，
∴ ∠DFA = 90°，
∴ ∠B = ∠DFA，
∴ △ABE ∽ △DFA。
(2) 解：
∵ △ABE ∽ △DFA，
∴ $\frac{AB}{DF}=\frac{AE}{AD}$。
∵ BC = 4，E是BC的中点，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×4 = 2$，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{6^2+2^2} = 2\sqrt{10}$，
又
∵ AD = BC = 4，
代入比例式得：$\frac{6}{DF}=\frac{2\sqrt{10}}{4}$，
解得：$DF=\frac{6\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{DF=\frac{6\sqrt{10}}{5}}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与相似三角形结合的常规题型，核心是利用矩形的角、边性质推导相似所需的条件，再结合相似性质和勾股定理计算线段长度，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7
6. |分类讨论思想 如图,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=8 cm.点E,F,G分别从A,B,C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向移动.点E,G的速度均为2 cm/s,点F的速度为4 cm/s,设移动时间为t(s),若点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似?请说明理由.
答案
6. 当点 $F$ 在矩形的边 $BC$ 上移动时, $0 ⩽ t ⩽ 2$. 在 $△EBF$ 和 $△FCG$ 中, $∠ B = ∠ C=90°$.若$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$,即$\frac{12-2t}{8-4t}=\frac{4t}{2t}$,解得 $t=\frac{2}{3}$.又 $t=\frac{2}{3}$ 满足 $0 ⩽ t ⩽ 2$,所以当 $t=\frac{2}{3}$ 时, $△EBF∽△FCG$.
若$\frac{EB}{GC}=\frac{BF}{CF}$,即$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$,解得 $t=\frac{3}{2}$.又 $t=\frac{3}{2}$ 满足$0⩽t⩽2$,所以当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $△EBF∽△GCF$.综上所述,当 $t=\frac{2}{3}$ 或 $t=\frac{3}{2}$ 时,以点 $E,B,F$ 为顶点的三角形与以点 $F,C,G$ 为顶点的三角形相似.
若$\frac{EB}{GC}=\frac{BF}{CF}$,即$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$,解得 $t=\frac{3}{2}$.又 $t=\frac{3}{2}$ 满足$0⩽t⩽2$,所以当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $△EBF∽△GCF$.综上所述,当 $t=\frac{2}{3}$ 或 $t=\frac{3}{2}$ 时,以点 $E,B,F$ 为顶点的三角形与以点 $F,C,G$ 为顶点的三角形相似.
解析
【分析】
首先确定点F在BC上移动的时间范围：点F速度为4 cm/s，BC长8 cm，因此$0≤ t≤2$。已知$△ EBF$和$△ FCG$均为直角三角形，$∠ B=∠ C=90°$，直角顶点为固定对应顶点，但两组直角边的对应关系不唯一，因此需分两种情况讨论相似：①$△ EBF∽△ FCG$，②$△ EBF∽△ GCF$，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在时间范围内即可。
【解析】
当点F在BC边上移动时，$0≤ t≤2$，此时各线段长度为：
$EB=AB-AE=12-2t$，$BF=4t$，$FC=BC-BF=8-4t$，$CG=2t$，且$∠ B=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
1. 若$△ EBF∽△ FCG$，则对应边成比例$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$，
代入得：$\frac{12-2t}{8-4t}=\frac{4t}{2t}$，
化简得：$\frac{12-2t}{8-4t}=2$，
去分母解得$t=\frac{2}{3}$，经检验$t=\frac{2}{3}$满足$0≤ t≤2$，符合题意。
2. 若$△ EBF∽△ GCF$，则对应边成比例$\frac{EB}{GC}=\frac{BF}{CF}$，
代入得：$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$，
交叉相乘化简解得$t=\frac{3}{2}$，经检验$t=\frac{3}{2}$满足$0≤ t≤2$，符合题意。
【答案】
当$t=\frac{2}{3}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似。
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与相似结合的典型题型，解题关键是明确直角三角形相似时直角边的对应关系不唯一，需分类讨论，同时要注意动点的运动范围，求解后需验证解是否符合时间限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
首先确定点F在BC上移动的时间范围：点F速度为4 cm/s，BC长8 cm，因此$0≤ t≤2$。已知$△ EBF$和$△ FCG$均为直角三角形，$∠ B=∠ C=90°$，直角顶点为固定对应顶点，但两组直角边的对应关系不唯一，因此需分两种情况讨论相似：①$△ EBF∽△ FCG$，②$△ EBF∽△ GCF$，分别根据相似三角形对应边成比例列方程求解，最后验证解是否在时间范围内即可。
【解析】
当点F在BC边上移动时，$0≤ t≤2$，此时各线段长度为：
$EB=AB-AE=12-2t$，$BF=4t$，$FC=BC-BF=8-4t$，$CG=2t$，且$∠ B=∠ C=90°$，分两种情况讨论：
1. 若$△ EBF∽△ FCG$，则对应边成比例$\frac{EB}{FC}=\frac{BF}{CG}$，
代入得：$\frac{12-2t}{8-4t}=\frac{4t}{2t}$，
化简得：$\frac{12-2t}{8-4t}=2$，
去分母解得$t=\frac{2}{3}$，经检验$t=\frac{2}{3}$满足$0≤ t≤2$，符合题意。
2. 若$△ EBF∽△ GCF$，则对应边成比例$\frac{EB}{GC}=\frac{BF}{CF}$，
代入得：$\frac{12-2t}{2t}=\frac{4t}{8-4t}$，
交叉相乘化简解得$t=\frac{3}{2}$，经检验$t=\frac{3}{2}$满足$0≤ t≤2$，符合题意。
【答案】
当$t=\frac{2}{3}\ \mathrm{s}$或$t=\frac{3}{2}\ \mathrm{s}$时，以点E,B,F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似。
【知识点】
相似三角形的判定；矩形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是动点与相似结合的典型题型，解题关键是明确直角三角形相似时直角边的对应关系不唯一，需分类讨论，同时要注意动点的运动范围，求解后需验证解是否符合时间限制，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
