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6. ★★★(2024·雅安中考)在数学课外实践活动中,某小组测量一栋楼房CD的高度(如图),他们在A处仰望楼顶,测得仰角为$30°$,再往楼的方向前进50米至B处,测得仰角为$60°$,那么这栋楼的高度为(人的身高忽略不计)
(
A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
(
A
)A.$25\sqrt{3}$米
B.25米
C.$25\sqrt{2}$米
D.50米
答案
设 DC=x 米,在 Rt△ACD 中,∠A=30°,tan A=$\frac{DC}{AC}$,即 tan 30°=$\frac{x}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,整理得 AC=$\sqrt{3}x$ 米.在 Rt△BCD 中,∠DBC=60°,tan ∠DBC=$\frac{DC}{BC}$,即 tan 60°=$\frac{x}{BC}$=$\sqrt{3}$,整理得 BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 米.
∵ AB=50 米,
∴ AC-BC=50,即$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=50$,解得 x=$25\sqrt{3}$,则这栋楼的高度为$25\sqrt{3}$米.故选 A.
∵ AB=50 米,
∴ AC-BC=50,即$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=50$,解得 x=$25\sqrt{3}$,则这栋楼的高度为$25\sqrt{3}$米.故选 A.
解析
【分析】
本题属于利用仰角测高的解直角三角形问题，解题思路如下：首先观察图形可知，$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$共享直角边$CD$（即楼房高度），我们可以先设$CD$的长度为$x$米；再分别在两个直角三角形中，利用$30°$、$60°$角的正切值，将水平边$AC$、$BC$都用含$x$的代数式表示；最后根据“$AC-BC=AB=50$米”这一数量关系列方程，求解即可得到楼房高度。
【解析】
设楼房高度$DC=x$米，
1. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ A=30°$，根据正切函数定义：
$\tan A=\frac{DC}{AC}$，即$\tan30°=\frac{x}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
整理得：$AC=\sqrt{3}x$米。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，根据正切函数定义：
$\tan∠ DBC=\frac{DC}{BC}$，即$\tan60°=\frac{x}{BC}=\sqrt{3}$，
整理得：$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}x$米。
3. 已知$AB=50$米，且$AC-BC=AB$，代入得：
$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=50$
合并同类项得$\frac{2\sqrt{3}}{3}x=50$
解得$x=25\sqrt{3}$。
【答案】A
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数；仰角问题
【点评】
本题是测高类的典型题型，解题核心是抓住两个直角三角形的公共边作为未知量，结合已知角度的三角函数值表示出相关边长，再根据线段差的等量关系列方程求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
本题属于利用仰角测高的解直角三角形问题，解题思路如下：首先观察图形可知，$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$共享直角边$CD$（即楼房高度），我们可以先设$CD$的长度为$x$米；再分别在两个直角三角形中，利用$30°$、$60°$角的正切值，将水平边$AC$、$BC$都用含$x$的代数式表示；最后根据“$AC-BC=AB=50$米”这一数量关系列方程，求解即可得到楼房高度。
【解析】
设楼房高度$DC=x$米，
1. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ A=30°$，根据正切函数定义：
$\tan A=\frac{DC}{AC}$，即$\tan30°=\frac{x}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
整理得：$AC=\sqrt{3}x$米。
2. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ DBC=60°$，根据正切函数定义：
$\tan∠ DBC=\frac{DC}{BC}$，即$\tan60°=\frac{x}{BC}=\sqrt{3}$，
整理得：$BC=\frac{\sqrt{3}}{3}x$米。
3. 已知$AB=50$米，且$AC-BC=AB$，代入得：
$\sqrt{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x=50$
合并同类项得$\frac{2\sqrt{3}}{3}x=50$
解得$x=25\sqrt{3}$。
【答案】A
【知识点】
解直角三角形；锐角三角函数；仰角问题
【点评】
本题是测高类的典型题型，解题核心是抓住两个直角三角形的公共边作为未知量，结合已知角度的三角函数值表示出相关边长，再根据线段差的等量关系列方程求解，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
7. (2025·无锡模拟)如图,利用无人机测量雕像BF的高度,在点C处测得雕像底部点B的俯角为45°,水平前行9米到达点D,在点D处测得雕像顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°,若点C,D与雕像BF均在同一平面内,则雕像BF的高约为
(参考数据:$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$,$\tan 68° \approx \frac{5}{2}$)
$\frac{21}{2}$
米.(参考数据:$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$,$\tan 68° \approx \frac{5}{2}$)
答案
CD 延长线与 BF 延长线交于点 E,由题意得,∠CEB=90°,∠EDF=37°,∠EDB=68°,∵ ∠ECB=45°,
∴ tan ∠ECB=$\frac{BE}{CE}$=tan 45°=1,
∴ BE=CE,设 DE=a 米,
∵ 在 Rt△DEF 中,tan ∠EDF=$\frac{EF}{DE}$=tan 37°,
∴ EF=$a\tan 37°≈\frac{3}{4}a$(米).
∵ 在 Rt△DEB 中,tan ∠EDB=$\frac{BE}{DE}$=tan 68°,
∴ BE=$a\tan 68°≈\frac{5}{2}a$(米),
∴ BF=BE-EF=$\frac{5}{2}a-\frac{3}{4}a=\frac{7}{4}a$(米).
∵ BE=CE,
∴ $\frac{5}{2}a=9+a$,解得 a=6,
∴ BF=$\frac{7}{4}×6=\frac{21}{2}$(米),
∴ 雕像 BF 的高约为$\frac{21}{2}$米.
解析
【分析】
本题为俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先作辅助线构造直角三角形，延长CD交BF的延长线于点E，可得CE⊥BE，得到三个直角三角形Rt△CEB、Rt△DEB、Rt△DEF；其次设DE的长度为a，利用各俯角的正切值，用含a的代数式分别表示EF、BE的长度；再结合∠C=45°的特殊角性质，得到BE=CE的等量关系，列方程求出a的值；最后利用BF=BE-EF计算即可得到雕像的高度。
【解析】
延长$CD$交$BF$的延长线于点$E$，由题意得$∠ CEB=90°$，$CD=9$米，$∠ ECB=45°$，$∠ EDF=37°$，$∠ EDB=68°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$\tan∠ ECB=\frac{BE}{CE}=\tan45°=1$，因此$BE=CE$。
设$DE=a$米，则$CE=CD+DE=(9+a)$米，即$BE=(9+a)$米。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$\tan∠ EDB=\frac{BE}{DE}\approx\frac{5}{2}$，因此$BE\approx\frac{5}{2}a$米。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$\tan∠ EDF=\frac{EF}{DE}\approx\frac{3}{4}$，因此$EF\approx\frac{3}{4}a$米。
结合$BE$的两个表达式列方程：$\frac{5}{2}a=9+a$，解得$a=6$。
雕像高度$BF=BE-EF\approx\frac{5}{2}a-\frac{3}{4}a=\frac{7}{4}a$，代入$a=6$得$BF=\frac{7}{4}×6=\frac{21}{2}$（米）。
【答案】
$\frac{21}{2}$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，方程思想
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题型，解题核心是合理构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度转化为直角三角形的边角关系，结合特殊角的性质和方程思想求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
本题为俯角相关的解直角三角形实际应用题，解题思路如下：首先作辅助线构造直角三角形，延长CD交BF的延长线于点E，可得CE⊥BE，得到三个直角三角形Rt△CEB、Rt△DEB、Rt△DEF；其次设DE的长度为a，利用各俯角的正切值，用含a的代数式分别表示EF、BE的长度；再结合∠C=45°的特殊角性质，得到BE=CE的等量关系，列方程求出a的值；最后利用BF=BE-EF计算即可得到雕像的高度。
【解析】
延长$CD$交$BF$的延长线于点$E$，由题意得$∠ CEB=90°$，$CD=9$米，$∠ ECB=45°$，$∠ EDF=37°$，$∠ EDB=68°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$中，$\tan∠ ECB=\frac{BE}{CE}=\tan45°=1$，因此$BE=CE$。
设$DE=a$米，则$CE=CD+DE=(9+a)$米，即$BE=(9+a)$米。
在$\mathrm{Rt}△ DEB$中，$\tan∠ EDB=\frac{BE}{DE}\approx\frac{5}{2}$，因此$BE\approx\frac{5}{2}a$米。
在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$\tan∠ EDF=\frac{EF}{DE}\approx\frac{3}{4}$，因此$EF\approx\frac{3}{4}a$米。
结合$BE$的两个表达式列方程：$\frac{5}{2}a=9+a$，解得$a=6$。
雕像高度$BF=BE-EF\approx\frac{5}{2}a-\frac{3}{4}a=\frac{7}{4}a$，代入$a=6$得$BF=\frac{7}{4}×6=\frac{21}{2}$（米）。
【答案】
$\frac{21}{2}$
【知识点】
解直角三角形应用，锐角三角函数，方程思想
【点评】
本题是解直角三角形的典型实际应用题型，解题核心是合理构造直角三角形，将实际场景中的角度、长度转化为直角三角形的边角关系，结合特殊角的性质和方程思想求解，能有效考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
8. ★★(2024·河北中考)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离$BQ=4\ \mathrm{m}$,仰角为$α$;淇淇向前走了$3\ \mathrm{m}$后到达点$D$,透过点$P$恰好看 到月亮,仰角为$β$,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面$BQ$的距离$AB=CD=1.6\ \mathrm{m}$,点$P$到$BQ$的距离$PQ=2.6\ \mathrm{m}$,$AC$的延长线交$PQ$于点$E$.(注:图中所有点均在同一平面)
(1)求$β$的大小及$\tan α$的值;
(2)求$CP$的长及$\sin∠ APC$的值.
(1)求$β$的大小及$\tan α$的值;
(2)求$CP$的长及$\sin∠ APC$的值.
答案
(1)由题意可得,PQ ⊥ AE,PQ=2.6 m,AB=CD=EQ=1.6 m,AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m,∴ CE=4-3=1( m ),PE=2.6-1.6=1( m ),∠CEP=90°,
∴ CE=PE,
∴ β=∠PCE=45°,tan α=tan ∠PAE=$\frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$.
(2)
∵ CE=PE=1 m,∠CEP=90°,
∴ CP=$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$( m ).如图,过 C 作 CH ⊥ AP 于 H,
∵ tan α=tan ∠PAE=$\frac{CH}{AH}=\frac{1}{4}$,
∴ 设 CH=x m,则 AH=4x m,
∴ $x^2+(4x)^2=AC^2=9$,解得 x=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$,
∴ CH=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$ m,
∴ sin ∠APC=$\frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$.
解析
【分析】
解题时先利用矩形的性质确定相关线段的长度：首先由题意可知ABDC、ABQE均为矩形，可先求出PE、CE、AE的长度。第一问在Rt△CEP中，根据CE和PE相等的关系可直接得到β的度数，再在Rt△AEP中利用正切的定义即可求出tanα的值；第二问先借助勾股定理计算等腰Rt△CEP的斜边CP的长度，要求sin∠APC，需要构造以∠APC为锐角的直角三角形，因此过点C作CH⊥AP于H，结合tanα的比值设未知数，用勾股定理求出CH的长度，最后根据正弦的定义计算sin∠APC即可。
【解析】
(1) 由题意可得，$PQ ⊥ AE$，$PQ=2.6\ \mathrm{m}$，$AB=CD=EQ=1.6\ \mathrm{m}$，$AE=BQ=4\ \mathrm{m}$，$AC=BD=3\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=AE-AC=4-3=1(\mathrm{m})$，$PE=PQ-EQ=2.6-1.6=1(\mathrm{m})$，$∠ CEP=90°$，
∴ $CE=PE$，
∴ $β=∠ PCE=45°$，$\tanα=\tan∠ PAE=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$。
(2)
∵ $CE=PE=1\ \mathrm{m}$，$∠ CEP=90°$，
∴ 由勾股定理得 $CP=\sqrt{CE^2+PE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
如图，过$C$作$CH ⊥ AP$于$H$，
∵ $\tanα=\tan∠ PAE=\frac{CH}{AH}=\frac{1}{4}$，
∴ 设$CH=x\ \mathrm{m}$，则$AH=4x\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得 $x^2+(4x)^2=AC^2=9$，解得$x=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴ $CH=\frac{3\sqrt{17}}{17}\ \mathrm{m}$，
∴ $\sin∠ APC=\frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$。
【答案】
【知识点】
1.解直角三角形的应用 2.锐角三角函数 3.勾股定理
【点评】
本题以探月工程为背景，结合生活中的观测场景考查仰角相关的计算，将实际问题转化为直角三角形的边角关系是解题的核心，通过构造辅助线即可结合所学三角函数、勾股定理知识求解，贴近生活，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
解题时先利用矩形的性质确定相关线段的长度：首先由题意可知ABDC、ABQE均为矩形，可先求出PE、CE、AE的长度。第一问在Rt△CEP中，根据CE和PE相等的关系可直接得到β的度数，再在Rt△AEP中利用正切的定义即可求出tanα的值；第二问先借助勾股定理计算等腰Rt△CEP的斜边CP的长度，要求sin∠APC，需要构造以∠APC为锐角的直角三角形，因此过点C作CH⊥AP于H，结合tanα的比值设未知数，用勾股定理求出CH的长度，最后根据正弦的定义计算sin∠APC即可。
【解析】
(1) 由题意可得，$PQ ⊥ AE$，$PQ=2.6\ \mathrm{m}$，$AB=CD=EQ=1.6\ \mathrm{m}$，$AE=BQ=4\ \mathrm{m}$，$AC=BD=3\ \mathrm{m}$，
∴ $CE=AE-AC=4-3=1(\mathrm{m})$，$PE=PQ-EQ=2.6-1.6=1(\mathrm{m})$，$∠ CEP=90°$，
∴ $CE=PE$，
∴ $β=∠ PCE=45°$，$\tanα=\tan∠ PAE=\frac{PE}{AE}=\frac{1}{4}$。
(2)
∵ $CE=PE=1\ \mathrm{m}$，$∠ CEP=90°$，
∴ 由勾股定理得 $CP=\sqrt{CE^2+PE^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}(\mathrm{m})$。
如图，过$C$作$CH ⊥ AP$于$H$，
∵ $\tanα=\tan∠ PAE=\frac{CH}{AH}=\frac{1}{4}$，
∴ 设$CH=x\ \mathrm{m}$，则$AH=4x\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ ACH$中，由勾股定理得 $x^2+(4x)^2=AC^2=9$，解得$x=\frac{3\sqrt{17}}{17}$，
∴ $CH=\frac{3\sqrt{17}}{17}\ \mathrm{m}$，
∴ $\sin∠ APC=\frac{CH}{CP}=\frac{\frac{3\sqrt{17}}{17}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}$。
【答案】
【知识点】
1.解直角三角形的应用 2.锐角三角函数 3.勾股定理
【点评】
本题以探月工程为背景，结合生活中的观测场景考查仰角相关的计算，将实际问题转化为直角三角形的边角关系是解题的核心，通过构造辅助线即可结合所学三角函数、勾股定理知识求解，贴近生活，能锻炼学生的数学建模能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图是某大型商场一层到二层的自动扶梯侧面示意图,小明在一层的A处用测角仪(测角仪高度忽略不计)测得天花板上的日光灯P的仰角为$27°$,他向正前方走了5米来到扶梯起点B处,乘坐扶梯BD上行13米到达二层的D处,此时用测角仪测得日光灯P的仰角为$53°$,已知自动扶梯BD的坡度为$1:2.4$.
(参考数据: $\sin 27° \approx \frac{9}{20}$, $\cos 27° \approx \frac{9}{10}$,
$\tan 27° \approx \frac{1}{2}$, $\sin 53° \approx \frac{4}{5}$, $\cos 53° \approx \frac{3}{5}$,
$\tan 53° \approx \frac{4}{3}$)
(1)求图中点D到一层地面的高度；
(2)根据规定,商场两层总楼高要大于10米,判断该商场楼高是否符合规定,并说明理由.
(参考数据: $\sin 27° \approx \frac{9}{20}$, $\cos 27° \approx \frac{9}{10}$,
$\tan 27° \approx \frac{1}{2}$, $\sin 53° \approx \frac{4}{5}$, $\cos 53° \approx \frac{3}{5}$,
$\tan 53° \approx \frac{4}{3}$)
(1)求图中点D到一层地面的高度；
(2)根据规定,商场两层总楼高要大于10米,判断该商场楼高是否符合规定,并说明理由.
答案
(1)如图,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q,交 DE 于点 M,∴ ∠DFB=∠DFC=90°.
∵ 自动扶梯 BD 的坡度为 1 : 2.4,在 Rt△BDF 中,BD=13 米,DF : BF=1 : 2.4,
∴ BF=2.4DF,$DF^2+BF^2=BD^2$,即$DF^2+(2.4DF)^2=13^2$,解得 DF=5 或 DF=-5(舍去),
∴ BF=12 米,
∴ 图中点 D 到一层地面的高度为 5 米.
(2)该商场楼高符合规定.理由:
∵ PQ ⊥ AC,DE // AC,DF ⊥ AC,
∴ PQ ⊥ DE,DF // MQ,∠AQP=90°,
∴ 四边形 DMQF 是矩形,∠PMD=∠QMD=90°,
∴ MQ=DF,FQ=DM.由题意知,在 D 处用测角仪测得日光灯 P 的仰角为 53°,
∴ tan ∠PDE=$\frac{PM}{DM}$=tan 53°≈$\frac{4}{3}$,
∴ 设 PM=4x 米,则 DM=3x 米.
∵ MQ=DF=5 米,
∴ PQ=PM+MQ=(4x+5)米.
∵ AB=5 米,FQ=DM=3x 米,
∴ AQ=AB+BF+FQ=5+12+3x=(17+3x)米.由题意知,在 A 处用测角仪测得天花板上的日光灯 P 的仰角为 27°,
∴ 在 Rt△APQ 中,tan A=$\frac{PQ}{AQ}$=tan 27°≈$\frac{1}{2}$,
∴ PQ≈$\frac{1}{2}AQ$,
∴ 4x+5≈$\frac{1}{2}(17+3x)$,解得 x≈$\frac{7}{5}$,
∴ PQ=4x+5≈4×$\frac{7}{5}$+5=10.6(米)＞10 米,
∴ 该商场楼高符合规定.
解析
【分析】
(1) 求点D到一层地面的高度，可通过作辅助线DF⊥AC构造直角三角形BDF，结合扶梯BD的坡度得到垂直高度DF与水平宽度BF的数量关系，再利用勾股定理列方程求解DF即可。
(2) 要判断商场楼高是否符合规定，需先求出天花板到一层地面的高度PQ。过P作PQ⊥AC交DE于M，可得四边形DMQF为矩形，结合两处的仰角的正切值，用含未知数的式子分别表示PQ、AQ的长度，再利用三角函数关系列方程求解PQ，最后与10米比较即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q,交 DE 于点 M,
∴ ∠DFB=∠DFC=90°.
∵ 自动扶梯 BD 的坡度为 1 : 2.4,在 Rt△BDF 中,BD=13 米,DF : BF=1 : 2.4,
∴ BF=2.4DF,$DF^2+BF^2=BD^2$,即$DF^2+(2.4DF)^2=13^2$,解得 DF=5 或 DF=-5(舍去),
∴ BF=12 米,
∴ 图中点 D 到一层地面的高度为 5 米.
(2) 该商场楼高符合规定.理由:
∵ PQ ⊥ AC,DE // AC,DF ⊥ AC,
∴ PQ ⊥ DE,DF // MQ,∠AQP=90°,
∴ 四边形 DMQF 是矩形,∠PMD=∠QMD=90°,
∴ MQ=DF,FQ=DM.由题意知,在 D 处用测角仪测得日光灯 P 的仰角为 53°,
∴ tan ∠PDE=$\frac{PM}{DM}$=tan 53°≈$\frac{4}{3}$,
∴ 设 PM=4x 米,则 DM=3x 米.
∵ MQ=DF=5 米,
∴ PQ=PM+MQ=(4x+5)米.
∵ AB=5 米,FQ=DM=3x 米,
∴ AQ=AB+BF+FQ=5+12+3x=(17+3x)米.由题意知,在 A 处用测角仪测得日光灯 P 的仰角为 27°,
∴ 在 Rt△APQ 中,tan A=$\frac{PQ}{AQ}$=tan 27°≈$\frac{1}{2}$,
∴ PQ≈$\frac{1}{2}AQ$,
∴ 4x+5≈$\frac{1}{2}(17+3x)$,解得 x≈$\frac{7}{5}$,
∴ PQ=4x+5≈4×$\frac{7}{5}$+5=10.6(米)＞10 米,
∴ 该商场楼高符合规定.
【答案】
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题结合商场扶梯的实际场景，考查了解直角三角形的相关知识，要求学生准确理解坡度、仰角的定义，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数建立方程求解，能够有效培养学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求点D到一层地面的高度，可通过作辅助线DF⊥AC构造直角三角形BDF，结合扶梯BD的坡度得到垂直高度DF与水平宽度BF的数量关系，再利用勾股定理列方程求解DF即可。
(2) 要判断商场楼高是否符合规定，需先求出天花板到一层地面的高度PQ。过P作PQ⊥AC交DE于M，可得四边形DMQF为矩形，结合两处的仰角的正切值，用含未知数的式子分别表示PQ、AQ的长度，再利用三角函数关系列方程求解PQ，最后与10米比较即可得出结论。
【解析】
(1) 如图,过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,过点 P 作 PQ ⊥ AC 于点 Q,交 DE 于点 M,
∴ ∠DFB=∠DFC=90°.
∵ 自动扶梯 BD 的坡度为 1 : 2.4,在 Rt△BDF 中,BD=13 米,DF : BF=1 : 2.4,
∴ BF=2.4DF,$DF^2+BF^2=BD^2$,即$DF^2+(2.4DF)^2=13^2$,解得 DF=5 或 DF=-5(舍去),
∴ BF=12 米,
∴ 图中点 D 到一层地面的高度为 5 米.
(2) 该商场楼高符合规定.理由:
∵ PQ ⊥ AC,DE // AC,DF ⊥ AC,
∴ PQ ⊥ DE,DF // MQ,∠AQP=90°,
∴ 四边形 DMQF 是矩形,∠PMD=∠QMD=90°,
∴ MQ=DF,FQ=DM.由题意知,在 D 处用测角仪测得日光灯 P 的仰角为 53°,
∴ tan ∠PDE=$\frac{PM}{DM}$=tan 53°≈$\frac{4}{3}$,
∴ 设 PM=4x 米,则 DM=3x 米.
∵ MQ=DF=5 米,
∴ PQ=PM+MQ=(4x+5)米.
∵ AB=5 米,FQ=DM=3x 米,
∴ AQ=AB+BF+FQ=5+12+3x=(17+3x)米.由题意知,在 A 处用测角仪测得日光灯 P 的仰角为 27°,
∴ 在 Rt△APQ 中,tan A=$\frac{PQ}{AQ}$=tan 27°≈$\frac{1}{2}$,
∴ PQ≈$\frac{1}{2}AQ$,
∴ 4x+5≈$\frac{1}{2}(17+3x)$,解得 x≈$\frac{7}{5}$,
∴ PQ=4x+5≈4×$\frac{7}{5}$+5=10.6(米)＞10 米,
∴ 该商场楼高符合规定.
【答案】
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角问题，仰角俯角问题
【点评】
本题结合商场扶梯的实际场景，考查了解直角三角形的相关知识，要求学生准确理解坡度、仰角的定义，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理与三角函数建立方程求解，能够有效培养学生将实际问题转化为数学问题的建模能力。
【难度系数】
0.7
