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1. 如图,一艘轮船航行至O点时,测得某灯塔A位于它的北偏东$40°$方向,且它与灯塔A相距13海里,继续沿正东方向航行,航行至点B处时,测得灯塔A恰好在它的正北方向,则AB的距离可表示为 (
A.$13\cos 40°$海里
B.$13\sin 40°$海里
C.$\frac{13}{\sin 50°}$海里
D.$\frac{13}{\cos 50°}$海里
A
)A.$13\cos 40°$海里
B.$13\sin 40°$海里
C.$\frac{13}{\sin 50°}$海里
D.$\frac{13}{\cos 50°}$海里
答案
1. A 解析:由题意可知,∠AOB=90°-40°=50°,在Rt△ABO中,
∵ ∠ABO=90°,∠A=90°-50°=40°,OA=13海里,
∴ AB=OA·sin ∠AOB= 13sin 50°(海里),AB = OA · cos A =13cos 40°(海里).故选 A.
∵ ∠ABO=90°,∠A=90°-50°=40°,OA=13海里,
∴ AB=OA·sin ∠AOB= 13sin 50°(海里),AB = OA · cos A =13cos 40°(海里).故选 A.
解析
【分析】
解题时首先根据方向角的定义确定直角三角形的内角度数：由A在O点北偏东40°，可得∠AOB=90°-40°=50°，再结合B处测得A在正北方向，可知△OAB为∠B=90°的直角三角形。已知斜边OA长为13海里，要求直角边AB的长度，可根据锐角三角函数的定义列式，再利用互余两角的三角函数关系转换为对应选项的形式即可。
【解析】
由题意可知△ABO为直角三角形，∠ABO=90°。
∵ 灯塔A位于O点北偏东40°方向，
∴ ∠AOB=90°-40°=50°，
∴ ∠OAB=90°-∠AOB=40°。
在Rt△ABO中，OA=13海里，根据锐角三角函数的定义：
$\cos∠ OAB = \frac{AB}{OA}$，
∴ $AB = OA·\cos∠ OAB = 13\cos40°$（海里），与选项A一致。
也可由$\sin∠ AOB=\frac{AB}{OA}$得$AB=13\sin50°$，根据互余两角的三角函数关系$\sin50°=\cos40°$，结果相同。
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别；锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在方向角问题中的实际应用，解题核心是准确根据方向角得到直角三角形的内角度数，再结合三角函数的定义列式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据方向角的定义确定直角三角形的内角度数：由A在O点北偏东40°，可得∠AOB=90°-40°=50°，再结合B处测得A在正北方向，可知△OAB为∠B=90°的直角三角形。已知斜边OA长为13海里，要求直角边AB的长度，可根据锐角三角函数的定义列式，再利用互余两角的三角函数关系转换为对应选项的形式即可。
【解析】
由题意可知△ABO为直角三角形，∠ABO=90°。
∵ 灯塔A位于O点北偏东40°方向，
∴ ∠AOB=90°-40°=50°，
∴ ∠OAB=90°-∠AOB=40°。
在Rt△ABO中，OA=13海里，根据锐角三角函数的定义：
$\cos∠ OAB = \frac{AB}{OA}$，
∴ $AB = OA·\cos∠ OAB = 13\cos40°$（海里），与选项A一致。
也可由$\sin∠ AOB=\frac{AB}{OA}$得$AB=13\sin50°$，根据互余两角的三角函数关系$\sin50°=\cos40°$，结果相同。
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别；锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在方向角问题中的实际应用，解题核心是准确根据方向角得到直角三角形的内角度数，再结合三角函数的定义列式求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
2. 如图,小明在C处看到西北方向上有一凉亭A,北偏东$35°$的方向上有一棵大树B,已知凉亭A在大树B的正西方向,若$BC=50$米,则AB的长等于 (
A.$(\frac{50}{\sin 35°} - \frac{50}{\cos 35°})$米
B.$(\frac{50}{\sin 35°} + \frac{50}{\cos 35°})$米
C.$50(\cos 35° - \sin 35°)$米
D.$50(\cos 35° + \sin 35°)$米
D
)A.$(\frac{50}{\sin 35°} - \frac{50}{\cos 35°})$米
B.$(\frac{50}{\sin 35°} + \frac{50}{\cos 35°})$米
C.$50(\cos 35° - \sin 35°)$米
D.$50(\cos 35° + \sin 35°)$米
答案
2. D 解析:过点 C 作 CD ⊥ AB 于 D,由题意,∠BCD = 35°,∠ACD = 45°, 在 Rt △BCD 中, BD = BC · sin 35° =50sin35°(米), CD = BC · cos 35° = 50cos 35°(米),在Rt△ACD中, AD = CD = 50cos 35°米,
∴ AB = BD + AD =50 sin35°+50cos 35°=50( cos 35°+sin 35°)(米),故选 D.
解析
【分析】
这是一道方向角结合解直角三角形的题目，解题思路如下：首先根据方向角的定义，确定∠ACD=45°，∠BCD=35°，要计算水平线段AB的长度，可通过作辅助线CD⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；接着在Rt△BCD中，已知BC的长度，利用锐角三角函数分别求出BD和CD的长度；再根据Rt△ACD是含45°角的等腰直角三角形，得到AD=CD，最后将AD和BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=35°，∠ACD=45°。
在Rt△BCD中，BC=50米，根据锐角三角函数定义：
$BD = BC·\sin35° = 50\sin35°$（米），
$CD = BC·\cos35° = 50\cos35°$（米）。
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，故△ACD为等腰直角三角形，
∴ $AD = CD = 50\cos35°$（米）。
因此$AB = BD + AD = 50\sin35° + 50\cos35° = 50(\cos35° + \sin35°)$（米）。
【答案】D
【知识点】
1. 方向角
2. 解直角三角形
3. 锐角三角函数
【点评】
本题以实际场景为背景，考查利用解直角三角形解决方向角相关问题，将不规则三角形通过作高转化为直角三角形求解是这类题的常用技巧，解题时要准确识别方向角对应角的位置，熟练运用三角函数的定义列式计算。
【难度系数】
0.7
这是一道方向角结合解直角三角形的题目，解题思路如下：首先根据方向角的定义，确定∠ACD=45°，∠BCD=35°，要计算水平线段AB的长度，可通过作辅助线CD⊥AB，将△ABC拆分为两个直角三角形Rt△ACD和Rt△BCD；接着在Rt△BCD中，已知BC的长度，利用锐角三角函数分别求出BD和CD的长度；再根据Rt△ACD是含45°角的等腰直角三角形，得到AD=CD，最后将AD和BD相加即可得到AB的长度。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，由题意得：∠BCD=35°，∠ACD=45°。
在Rt△BCD中，BC=50米，根据锐角三角函数定义：
$BD = BC·\sin35° = 50\sin35°$（米），
$CD = BC·\cos35° = 50\cos35°$（米）。
在Rt△ACD中，∠ACD=45°，故△ACD为等腰直角三角形，
∴ $AD = CD = 50\cos35°$（米）。
因此$AB = BD + AD = 50\sin35° + 50\cos35° = 50(\cos35° + \sin35°)$（米）。
【答案】D
【知识点】
1. 方向角
2. 解直角三角形
3. 锐角三角函数
【点评】
本题以实际场景为背景，考查利用解直角三角形解决方向角相关问题，将不规则三角形通过作高转化为直角三角形求解是这类题的常用技巧，解题时要准确识别方向角对应角的位置，熟练运用三角函数的定义列式计算。
【难度系数】
0.7
3. ★★★ 某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东30°方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A北偏东60°方向上且距离10 km处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东30°的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为 
A.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ km
B.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ km
C.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ km
D.$10\sqrt{3}$ km
A.$\frac{5\sqrt{3}}{3}$ km
B.$\frac{10\sqrt{3}}{3}$ km
C.$\frac{20\sqrt{3}}{3}$ km
D.$10\sqrt{3}$ km
答案
3. C 解析:
∵ 可疑船只C在港口A北偏东30°方向,驱逐舰B在港口A北偏东60°方向,
∴ ∠CAB=60°-30°=30°.
∵ 驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30°的方向上,
∴ ∠ACB=30°+30°=60°,
∴ ∠ABC=180°-30°-60°=90°.
∵ $\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$,AB=10 km,
∴ $AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{10}{\sin 60°}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$ (km).故选 C.
∵ 可疑船只C在港口A北偏东30°方向,驱逐舰B在港口A北偏东60°方向,
∴ ∠CAB=60°-30°=30°.
∵ 驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30°的方向上,
∴ ∠ACB=30°+30°=60°,
∴ ∠ABC=180°-30°-60°=90°.
∵ $\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$,AB=10 km,
∴ $AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{10}{\sin 60°}=\frac{20\sqrt{3}}{3}$ (km).故选 C.
解析
【分析】
解题时首先结合方向角的定义确定△ABC的各个内角度数：第一步，根据港口A观测B和C的方向角，计算出∠CAB的度数；第二步，结合C观测B的方向角和A、C的相对方位，算出∠ACB的度数；第三步，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，确定△ABC为直角三角形；最后在直角三角形中利用锐角三角函数的定义，结合已知AB的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 可疑船只C在港口A北偏东30°方向，驱逐舰B在港口A北偏东60°方向，
∴ $∠ CAB=60°-30°=30°$。
∵ 驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30°方向，A在C的南偏西30°方向，
∴ $∠ ACB=30°+30°=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ ACB=180°-30°-60°=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，已知$AB=10\ \mathrm{km}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{km}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；三角形内角和；解直角三角形
【点评】
本题是方向角结合解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过方向角的几何含义确定三角形的内角度数，将实际方位问题转化为几何解三角形问题，能较好考查学生的图形转化能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合方向角的定义确定△ABC的各个内角度数：第一步，根据港口A观测B和C的方向角，计算出∠CAB的度数；第二步，结合C观测B的方向角和A、C的相对方位，算出∠ACB的度数；第三步，利用三角形内角和定理求出∠ABC的度数，确定△ABC为直角三角形；最后在直角三角形中利用锐角三角函数的定义，结合已知AB的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵ 可疑船只C在港口A北偏东30°方向，驱逐舰B在港口A北偏东60°方向，
∴ $∠ CAB=60°-30°=30°$。
∵ 驱逐舰B在可疑船只C的南偏东30°方向，A在C的南偏西30°方向，
∴ $∠ ACB=30°+30°=60°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ABC=180°-∠ CAB-∠ ACB=180°-30°-60°=90°$，即$△ ABC$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\sin∠ ACB=\frac{AB}{AC}$，已知$AB=10\ \mathrm{km}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $AC=\frac{AB}{\sin∠ ACB}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{km}$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别；三角形内角和；解直角三角形
【点评】
本题是方向角结合解直角三角形的典型实际应用题，解题核心是通过方向角的几何含义确定三角形的内角度数，将实际方位问题转化为几何解三角形问题，能较好考查学生的图形转化能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
4. ★★★ (临沂中考)如图,灯塔A周围9海里内有暗礁.一渔船由东向西航行至B处,测得灯塔A在北偏西58°方向上,继续航行6海里后到达C处,测得灯塔A在西北方向上.如果渔船不改变航线继续向西航行,有没有触礁的危险?(参考数据:$\sin 32° \approx 0.530, \cos 32° \approx 0.848, \tan 32° \approx 0.625; \sin 58° \approx 0.848, \cos 58° \approx 0.530, \tan 58° \approx 1.600$)
答案
4. 过点 A 作 AD ⊥ BC,交 BC 的延长线于点 D,由题意得∠ABC=90°-58°=32°,∠ACD=45°,BC=6 海里,设 AD =x 海里,在 Rt△ADC 中,∠ACD=45°,
∴ AD = CD = x 海里,
∴ BD=(x+6)海里.在 Rt△ADB 中,tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}=\frac{x}{x+6}$≈0.625,
∴ x≈10,
∴ AD=10 海里.
∵ 10＞9,
∴ 渔船没有触礁的危险.
∴ AD = CD = x 海里,
∴ BD=(x+6)海里.在 Rt△ADB 中,tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}=\frac{x}{x+6}$≈0.625,
∴ x≈10,
∴ AD=10 海里.
∵ 10＞9,
∴ 渔船没有触礁的危险.
解析
【分析】
要判断渔船是否有触礁危险，核心是求灯塔A到渔船航行航线BC的最短距离，即过A作BC的垂线段AD，只需比较AD的长度与9海里的大小即可。首先根据方向角的定义，将题中给出的北偏西58°、西北方向转化为三角形内角：∠ABD=90°-58°=32°，∠ACD=45°；再设AD=x海里，利用等腰直角三角形的性质可得CD=AD=x，进而表示出BD=x+6；最后在Rt△ADB中利用正切三角函数列方程求解x，再和9比较大小即可得到结论。
【解析】
过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
由题意得：$∠ ABC=90°-58°=32°$，$∠ ACD=45°$，$BC=6$海里，
设$AD =x$海里，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ACD=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD = CD = x$ 海里，
$\therefore BD=BC+CD=(x+6)$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
代入数据得$\frac{x}{x+6}=\tan32°\approx0.625$，
解得$x\approx10$，即$AD\approx10$海里。
$\because 10＞9$，
$\therefore$ 渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险。
【答案】
渔船没有触礁的危险
【知识点】
方向角问题；锐角三角函数应用；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用题，解题核心是通过作高将斜三角形问题转化为两个直角三角形问题，结合方向角确定三角形内角，利用三角函数建立方程求解，将实际问题转化为数学计算问题，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.6
要判断渔船是否有触礁危险，核心是求灯塔A到渔船航行航线BC的最短距离，即过A作BC的垂线段AD，只需比较AD的长度与9海里的大小即可。首先根据方向角的定义，将题中给出的北偏西58°、西北方向转化为三角形内角：∠ABD=90°-58°=32°，∠ACD=45°；再设AD=x海里，利用等腰直角三角形的性质可得CD=AD=x，进而表示出BD=x+6；最后在Rt△ADB中利用正切三角函数列方程求解x，再和9比较大小即可得到结论。
【解析】
过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，
由题意得：$∠ ABC=90°-58°=32°$，$∠ ACD=45°$，$BC=6$海里，
设$AD =x$海里，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ACD=45°$，$∠ ADC=90°$，
$\therefore AD = CD = x$ 海里，
$\therefore BD=BC+CD=(x+6)$海里。
在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$∠ ADB=90°$，$\tan∠ ABD=\frac{AD}{BD}$，
代入数据得$\frac{x}{x+6}=\tan32°\approx0.625$，
解得$x\approx10$，即$AD\approx10$海里。
$\because 10＞9$，
$\therefore$ 渔船不改变航线继续向西航行，没有触礁的危险。
【答案】
渔船没有触礁的危险
【知识点】
方向角问题；锐角三角函数应用；等腰直角三角形性质
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用题，解题核心是通过作高将斜三角形问题转化为两个直角三角形问题，结合方向角确定三角形内角，利用三角函数建立方程求解，将实际问题转化为数学计算问题，考查了数学建模的能力。
【难度系数】
0.6
