6. 如图，$□ ABCD$中，AC，BD交于点E，F为AD中点，连接BF交AC于M，则$ME:AC=$。

6.$\frac{1}{6}$

【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对角线交点E是AC中点，且AD与BC平行且相等；再结合F是AD中点的条件，通过平行线的角相等关系证明△AFM和△CBM相似，得到AM与MC的比例，进而求出AM占AC的比值；最后用AE减去AM得到ME的长度占AC的比值，即可求出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，对角线AC、BD互相平分，即E为AC中点，$AE=\frac{1}{2}AC$
∵F为AD中点
∴$AF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$
∵AD//BC
∴∠FAM=∠BCM，∠AFM=∠CBM
∴$△ AFM ∽ △ CBM$
∴$\frac{AM}{MC}=\frac{AF}{BC}=\frac{1}{2}$，即$AM=\frac{1}{1+2}AC=\frac{1}{3}AC$
∴$ME=AE-AM=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{3}AC=\frac{1}{6}AC$
∴$ME:AC=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础的几何比例计算题，核心是通过平行关系构造相似三角形，结合中点性质推导线段比例，只要熟练掌握平行四边形和相似三角形的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7

7.(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE//BC,BF=CF,AF交DE于点G.求证:DG=EG;
(2)如图2,在(1)的条件下,连结CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3.求$\frac{DE}{BC}$的值.

7.(1)$\because DE// BC,\therefore △ AGD∽ △ AFB,△ AFC∽ △ AGE,\therefore \frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF},\frac{GE}{FC}=\frac{AG}{AF}$,
$\therefore \frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC},\because BF=CF,\therefore DG=EG$
(2)$\because DG=EG,CG⊥ DE,\therefore CE=CD=6,\because DE// BC,\therefore △ ADE∽ △ ABC$,
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{3+6}=\frac{1}{3}$

【分析】
(1) 要证DG=EG，可结合DE//BC的条件找相似三角形推导线段比例关系：DE平行于BC可得到两组相似三角形，两组相似三角形的比例式中均含公共比例项$\frac{AG}{AF}$，结合已知BF=CF，通过等量代换即可证得结论。
(2) 由(1)可知G是DE中点，结合CG⊥DE可得CG是DE的垂直平分线，根据垂直平分线性质求出CE的长度，即可得到AC的总长；再利用DE//BC得到△ADE与△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{DE}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 证明：
$\because DE// BC$，
$\therefore △ AGD ∽ △ AFB$，$△ AGE ∽ △ AFC$，
$\therefore \frac{DG}{BF}=\frac{AG}{AF}$，$\frac{GE}{FC}=\frac{AG}{AF}$，
$\therefore \frac{DG}{BF}=\frac{GE}{FC}$，
又$\because BF=CF$，
$\therefore DG=EG$。
(2) 解：
$\because DG=EG$，$CG⊥ DE$，
$\therefore CG$是线段$DE$的垂直平分线，
$\therefore CE=CD=6$，
$\therefore AC=AE+CE=3+6=9$，
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) DG=EG，证明成立；
(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题核心是通过平行线构造相似三角形得到线段比例关系，同时结合垂直平分线的性质推导边长，考察学生对基础几何性质的运用能力。
【难度系数】
0.7

8. 如图，△ABC为正三角形，D，E分别是AC，BC上的点，∠BDE＝60°。
(1)求证：△DEC∽△BDA。
▲(2)若正三角形的边长为4，并设DC＝x，BE＝y，试求y与x之间的函数表达式及y的最小值。

8.(1)证明略 (2)$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$ 当$x=2$时，y的最小值为3

【分析】
(1) 要证明△DEC∽△BDA，先利用正三角形的性质得到∠A=∠C=60°，再结合∠BDE=60°，通过角的和差关系推出另一组对应角相等，即可用两角对应相等的判定定理证明相似。
(2) 求y与x的函数表达式时，借助(1)的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，将各边用含x、y的代数式表示后代入比例式，整理即可得到函数关系式，再根据二次函数的性质求y的最小值。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是正三角形，
∴∠A=∠C=60°，
在△ABD中，∠1 + ∠2 = 180° - ∠A = 120°，
又
∵∠BDE=60°，
∴∠2 + ∠3 = 180° - ∠BDE = 120°，
∴∠1=∠3，
∴△DEC∽△BDA（两角分别相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
∵正三角形ABC的边长为4，
∴AB=AC=BC=4，
∴AD = AC - DC = 4 - x，EC = BC - BE = 4 - y，
由(1)得△DEC∽△BDA，
∴$\frac{DC}{BA}=\frac{EC}{AD}$，
代入边长得$\frac{x}{4}=\frac{4-y}{4-x}$，
交叉相乘整理得：$4y=x^2-4x+16$，
配方得$y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$（$0＜x＜4$），
∵$\frac{1}{4}＞0$，二次函数开口向上，
∴当x=2时，y取得最小值，最小值为3。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $y=\frac{1}{4}(x-2)^2+3$，当$x=2$时，$y$的最小值为3
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是几何代数综合题，综合考查了等边三角形性质、相似三角形的判定与性质、二次函数求最值的知识，解题核心是找准相似三角形的对应边，建立边的等量关系转化为函数问题求解。
【难度系数】
0.6