登录
1.若将分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$与分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后，分式$\frac{x}{2(x - y)}$的分母变为$2(x - y)(x + y)$，则分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为(
A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
C
).A.$6x^2(x - y)^2$
B.$2(x - y)$
C.$6x^2$
D.$6x^2(x + y)$
答案
1.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆通分的相关规则：通分的依据是分式的基本性质，需先确定几个分式的最简公分母，再将各分式的分子分母同乘合适的整式，使分母变为最简公分母。首先对第一个分式的分母因式分解，结合题目给出的第二个分式通分后的分母，确定本次通分的最简公分母；再看第一个分式的分母要变为最简公分母需要乘的数，根据分式基本性质，分子也要乘相同的数，即可算出变化后的分子。
【解析】
1. 因式分解分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
2. 由题意，分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后分母为$2(x - y)(x + y)$，可知两个分式通分的最简公分母为$2(x - y)(x + y)$。
3. 观察$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的原分母$(x + y)(x - y)$，要变为最简公分母，需要给分母乘2。
4. 根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$3x^2$也要乘2，即$3x^2 × 2 = 6x^2$。
所以分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为$6x^2$，选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础应用题，解题的核心是先准确确定最简公分母，再结合分式的基本性质计算分子的变化结果，掌握因式分解是找最简公分母的前提。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆通分的相关规则：通分的依据是分式的基本性质，需先确定几个分式的最简公分母，再将各分式的分子分母同乘合适的整式，使分母变为最简公分母。首先对第一个分式的分母因式分解，结合题目给出的第二个分式通分后的分母，确定本次通分的最简公分母；再看第一个分式的分母要变为最简公分母需要乘的数，根据分式基本性质，分子也要乘相同的数，即可算出变化后的分子。
【解析】
1. 因式分解分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分母：
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
2. 由题意，分式$\frac{x}{2(x - y)}$通分后分母为$2(x - y)(x + y)$，可知两个分式通分的最简公分母为$2(x - y)(x + y)$。
3. 观察$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的原分母$(x + y)(x - y)$，要变为最简公分母，需要给分母乘2。
4. 根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，因此分子$3x^2$也要乘2，即$3x^2 × 2 = 6x^2$。
所以分式$\frac{3x^2}{x^2 - y^2}$的分子应变为$6x^2$，选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；因式分解；分式通分
【点评】
本题是分式通分的基础应用题，解题的核心是先准确确定最简公分母，再结合分式的基本性质计算分子的变化结果，掌握因式分解是找最简公分母的前提。
【难度系数】
0.8
2.将分式$\frac{1}{a^2 - 2a + 1},\frac{1}{a^2 - 1},\frac{1}{a^2 + 2a + 1}$通分，最简公分母是(
A.$(a^2 - 1)^2$
B.$(a^2 - 1)(a^2 + 1)$
C.$(a^2 + 1)^2$
D.$(a - 1)^4$
A
).A.$(a^2 - 1)^2$
B.$(a^2 - 1)(a^2 + 1)$
C.$(a^2 + 1)^2$
D.$(a - 1)^4$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定几个分式的最简公分母，遵循以下思路：首先将每个分式的分母因式分解，再找出所有出现过的不同因式，取每个因式的最高次幂，它们的乘积就是最简公分母。本题先对三个分母分别用乘法公式分解，再按规则计算即可。
【解析】
第一步：分别分解三个分式的分母：
1. $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$（完全平方差公式）
2. $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$（平方差公式）
3. $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$（完全平方和公式）
第二步：确定所有不同的因式为$(a-1)$和$(a+1)$，两个因式的最高次幂均为2次，因此最简公分母为：
$(a-1)^2(a+1)^2 = [(a-1)(a+1)]^2 = (a^2 - 1)^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公式法因式分解，最简公分母确定，分式通分
【点评】
本题考查分式通分中最简公分母的求解，解题核心是先正确对分母因式分解，再准确提取各因式的最高次幂，需熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解公式。
【难度系数】
0.8
要确定几个分式的最简公分母，遵循以下思路：首先将每个分式的分母因式分解，再找出所有出现过的不同因式，取每个因式的最高次幂，它们的乘积就是最简公分母。本题先对三个分母分别用乘法公式分解，再按规则计算即可。
【解析】
第一步：分别分解三个分式的分母：
1. $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$（完全平方差公式）
2. $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$（平方差公式）
3. $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$（完全平方和公式）
第二步：确定所有不同的因式为$(a-1)$和$(a+1)$，两个因式的最高次幂均为2次，因此最简公分母为：
$(a-1)^2(a+1)^2 = [(a-1)(a+1)]^2 = (a^2 - 1)^2$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公式法因式分解，最简公分母确定，分式通分
【点评】
本题考查分式通分中最简公分母的求解，解题核心是先正确对分母因式分解，再准确提取各因式的最高次幂，需熟练掌握平方差、完全平方等常用因式分解公式。
【难度系数】
0.8
3.通分：$\frac{3y}{4x}=\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{4x^2}$；$\frac{x-y}{7x}=\frac{(x-y)^2}{(\_\_\_\_\_\_)}$；$\frac{-4x}{2-3x}=\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{3x^2-2x}$
答案
3.$3xy$；$7x^2-7xy$；$4x^2$
解析
【分析】
这道题需运用分式的基本性质解题，解题思路为：先观察等号一侧已知的分子/分母到另一侧对应项的变化，确定乘的非零整式，再将另一侧的分子/分母乘同一个整式，即可得到所求内容，变形时注意符号处理。
【解析】
1. 求第一个空：
左边分母为$4x$，右边分母为$4x^2$，分母乘了$x$（$x\ne0$），根据分式基本性质，分子$3y$也需乘$x$，即$3y· x=3xy$。
2. 求第二个空：
左边分子为$x-y$，右边分子为$(x-y)^2$，分子乘了$x-y$（$x-y\ne0$），根据分式基本性质，分母$7x$也需乘$x-y$，即$7x·(x-y)=7x^2-7xy$。
3. 求第三个空：
先对右边分母因式分解：$3x^2-2x=x(3x-2)=-x(2-3x)$，即左边分母$2-3x$乘了$-x$（$x\ne0$），根据分式基本性质，分子$-4x$也需乘$-x$，即$(-4x)·(-x)=4x^2$。
【答案】
$3xy$；$7x^2-7xy$；$4x^2$
【知识点】
分式的基本性质；整式乘法；因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题，解题核心是准确判断分子、分母的同乘整式，变形时注意符号变化，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.85
这道题需运用分式的基本性质解题，解题思路为：先观察等号一侧已知的分子/分母到另一侧对应项的变化，确定乘的非零整式，再将另一侧的分子/分母乘同一个整式，即可得到所求内容，变形时注意符号处理。
【解析】
1. 求第一个空：
左边分母为$4x$，右边分母为$4x^2$，分母乘了$x$（$x\ne0$），根据分式基本性质，分子$3y$也需乘$x$，即$3y· x=3xy$。
2. 求第二个空：
左边分子为$x-y$，右边分子为$(x-y)^2$，分子乘了$x-y$（$x-y\ne0$），根据分式基本性质，分母$7x$也需乘$x-y$，即$7x·(x-y)=7x^2-7xy$。
3. 求第三个空：
先对右边分母因式分解：$3x^2-2x=x(3x-2)=-x(2-3x)$，即左边分母$2-3x$乘了$-x$（$x\ne0$），根据分式基本性质，分子$-4x$也需乘$-x$，即$(-4x)·(-x)=4x^2$。
【答案】
$3xy$；$7x^2-7xy$；$4x^2$
【知识点】
分式的基本性质；整式乘法；因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题，解题核心是准确判断分子、分母的同乘整式，变形时注意符号变化，避免因符号疏漏出错。
【难度系数】
0.85
4.分式$\frac{2}{x-1},\frac{3x-1}{2x-2},\frac{2x+1}{x^2-2x+1}$的最简公分母是
$2(x-1)^2$
。答案
4.$2(x-1)^2$
解析
【分析】
要找几个分式的最简公分母，首先需要先把每个分式的分母进行因式分解，再按两个规则选取：①取各分母系数的最小公倍数；②取所有出现过的因式的最高次幂，最后将两者相乘就是最简公分母。我们先逐个分解三个分式的分母，再按规则计算即可。
【解析】
步骤1：因式分解各分式的分母：
分式$\frac{2}{x-1}$的分母为$x-1$，无需再分解；
分式$\frac{3x-1}{2x-2}$的分母$2x-2$，提取公因式2得：$2x-2=2(x-1)$；
分式$\frac{2x+1}{x^2-2x+1}$的分母$x^2-2x+1$，用完全平方公式分解得：$x^2-2x+1=(x-1)^2$。
步骤2：取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为1、2、1，最小公倍数是2。
步骤3：取所有因式的最高次幂：分解后出现的因式只有$(x-1)$，最高次数为2，即$(x-1)^2$。
步骤4：将系数最小公倍数与因式最高次幂相乘，得到最简公分母为$2×(x-1)^2=2(x-1)^2$。
【答案】
$2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，最简公分母的确定
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题核心是先准确对各分母进行因式分解，再严格按照最简公分母的确定规则计算即可，熟练掌握因式分解的方法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
要找几个分式的最简公分母，首先需要先把每个分式的分母进行因式分解，再按两个规则选取：①取各分母系数的最小公倍数；②取所有出现过的因式的最高次幂，最后将两者相乘就是最简公分母。我们先逐个分解三个分式的分母，再按规则计算即可。
【解析】
步骤1：因式分解各分式的分母：
分式$\frac{2}{x-1}$的分母为$x-1$，无需再分解；
分式$\frac{3x-1}{2x-2}$的分母$2x-2$，提取公因式2得：$2x-2=2(x-1)$；
分式$\frac{2x+1}{x^2-2x+1}$的分母$x^2-2x+1$，用完全平方公式分解得：$x^2-2x+1=(x-1)^2$。
步骤2：取各分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为1、2、1，最小公倍数是2。
步骤3：取所有因式的最高次幂：分解后出现的因式只有$(x-1)$，最高次数为2，即$(x-1)^2$。
步骤4：将系数最小公倍数与因式最高次幂相乘，得到最简公分母为$2×(x-1)^2=2(x-1)^2$。
【答案】
$2(x-1)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，公式法分解因式，最简公分母的确定
【点评】
本题是分式相关的基础题型，解题核心是先准确对各分母进行因式分解，再严格按照最简公分母的确定规则计算即可，熟练掌握因式分解的方法是正确解题的前提。
【难度系数】
0.8
5.已知分式$\frac{1}{3x^2 - 3}$与$\frac{2}{x - 1}$，$a$是这两个分式中分母的公因式，$b$是这两个分式的最简公分母，且$\frac{b}{a}=3$，试求这两个分式的值.
答案
5.解:两个分式中分母的公因式$a=x-1$,
最简公分母$b=3(x+1)(x-1)$,
∴$\frac{b}{a}=\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$.
∴$x+1=1$,即 $x=0$.
∴$\frac{1}{3x^2-3}=-\frac{1}{3}$,$\frac{2}{x-1}=-2$.
最简公分母$b=3(x+1)(x-1)$,
∴$\frac{b}{a}=\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$.
∴$x+1=1$,即 $x=0$.
∴$\frac{1}{3x^2-3}=-\frac{1}{3}$,$\frac{2}{x-1}=-2$.
解析
【分析】
解题时首先对两个分式的分母进行因式分解，据此确定分母的公因式a和最简公分母b；再结合题目给出的$\frac{b}{a}=3$的等量关系列方程求解x的值，求解后需验证x是否使原分式分母不为0（保证分式有意义）；最后将符合条件的x代入两个分式计算即可得到结果。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：$3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$，第二个分式的分母为$x-1$。
1. 确定公因式和最简公分母：
两个分母共有的因式为$x-1$，即$a=x-1$；
最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的乘积，即$b=3(x+1)(x-1)$。
2. 列方程求解x：
由$\frac{b}{a}=3$，代入a、b的表达式得：
$\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$（隐含条件$x≠1$，否则分式无意义）
解得$x+1=1$，即$x=0$。
3. 检验并代入求值：
当$x=0$时，$3x^2-3=-3≠0$，$x-1=-1≠0$，分式均有意义。
代入第一个分式：$\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
代入第二个分式：$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}$的值为$-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}$的值为$-2$
【知识点】
因式分解、最简公分母、分式求值
【点评】
本题是分式部分的基础综合题，解题关键是正确分解分母确定公因式和最简公分母，求出未知数后要注意检验是否满足分式有意义的条件，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先对两个分式的分母进行因式分解，据此确定分母的公因式a和最简公分母b；再结合题目给出的$\frac{b}{a}=3$的等量关系列方程求解x的值，求解后需验证x是否使原分式分母不为0（保证分式有意义）；最后将符合条件的x代入两个分式计算即可得到结果。
【解析】
先对第一个分式的分母因式分解：$3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$，第二个分式的分母为$x-1$。
1. 确定公因式和最简公分母：
两个分母共有的因式为$x-1$，即$a=x-1$；
最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的乘积，即$b=3(x+1)(x-1)$。
2. 列方程求解x：
由$\frac{b}{a}=3$，代入a、b的表达式得：
$\frac{3(x+1)(x-1)}{x-1}=3(x+1)=3$（隐含条件$x≠1$，否则分式无意义）
解得$x+1=1$，即$x=0$。
3. 检验并代入求值：
当$x=0$时，$3x^2-3=-3≠0$，$x-1=-1≠0$，分式均有意义。
代入第一个分式：$\frac{1}{3x^2-3}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}$
代入第二个分式：$\frac{2}{x-1}=\frac{2}{-1}=-2$
【答案】
$\frac{1}{3x^2 - 3}$的值为$-\frac{1}{3}$，$\frac{2}{x - 1}$的值为$-2$
【知识点】
因式分解、最简公分母、分式求值
【点评】
本题是分式部分的基础综合题，解题关键是正确分解分母确定公因式和最简公分母，求出未知数后要注意检验是否满足分式有意义的条件，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
